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文档简介

1、Fourier变换是一种对连续时间函数的 积分变换,通过特定形式的积分建立函数之 间的对应关系. 它既能简化计算(如解微分 方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物 理意义(从频谱的角度来描述函数的特征), 因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速 Fourier变换在计算机时代更是特别重要,Fourier 变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier 级数的有关 内容，因此本节将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。,1 Fourier 级数与Fourier 积分,一、周期函数的 Fourier 级数,二、非周期函数的 Fourier级

2、数即Fourier积分,区间 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：,则在 的连续点处有,1. Fourier 级数的三角形式,在 的间断处，上式左端为,一、周期函数的 Fourier 级数,称之为基频。,其中,(A),( Dirichlet 定理),定理,2. Fourier 级数的物理含义,令,则 (A) 式变为,这些简谐波的(角)频率分别为一个基频 的倍数。,频率成份，其频率是以基频 为间隔离散取值的。”,这是周期信号的一个非常重要的特点。,这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。,所占有的份额；,沿时间轴移动的大小。,3. Fourier 级数的指数形式,代入 (A) 式

3、并整理得,根据 Euler 公式,可得,推导,则有,令,其中,若以 描述某种信号，,则 可以刻画 的特征频率。,4. 离散频谱与频谱图,得,即 的模与辐角正好是振幅和相位。,称 为频谱，记为,(1) 当 n = 0 时，,解,(3) 的 Fourier 级数为,解,(4) 振幅谱为,相位谱为,(5) 频谱图如下图所示。,解,借助 Fourier 级数展开，使得人们能够完全了解一个,信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对,信号的分析手段也称为频谱分析(或者谐波分析)。,但是，Fourier 级数要求被展开的函数必须是周期函,数， 而在工程实际问题中， 大量遇到的是非周期函数，,那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢?,二、非周期函数的傅立叶变换,(1) 非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数”。,1. 简单分析,当 T 越来越大时，取值间隔越来越小；,当 T 趋于无穷时，取值间隔趋向于零，,因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。,其频谱是以 为间隔离散取值的。,即频谱将连续取值。,(2) 当 时，频率特性发生了什么变化？,(3) 当 时，级数求和发生了什么变化

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