勾股定理详解与经典例题解析

1、勾股定理（基础）学习目标1 掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2 能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题.要点梳理要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为门，斜边长为L那么二要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建 立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：要点二、勾股定理

2、的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.，所以二丁方法三：如图(3)所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.4abBJ异c，所以J齐周要点三、勾股定理的作用1已知直角三角形的任意两条边长，求第三边;2. 用于解决带有平方关系的证明问题；3与勾股定理有关的面积计算；4. 勾股定理在实际生活中的应用.典型例题类型一、勾股定理的直接应用1、在厶ABC中，/ C= 90,/ A、/ B、/ C的对边分别为、：、1 .(1) 若一. = 5, ； = 12,求一；(2) 若-=26, x = 24,求.举一反三【变式】在厶 A

3、BC中，/ C= 90,/ A、/ B、/ C的对边分别为、一：、】.(1) 已知：=6, - = 10,求丿;(2) 已知 一-： 一； 一，= 32,求“、.类型二、与勾股定理有关的证明2、如图所示，在 Rt ABC中，/ C= 90, AM是中线，MN丄AB垂足为N,试说明举一反三【变式】如图，在 ABC中，/ C= 90()A. AC2 B. BD2,D为BC边的中点,DE丄AB于E,则AE2-BE2等于C. B&类型三、与勾股定理有关的线段长3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD= 8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE,且EF= 3，则AB的长为（）A.

4、 3B . 4C . 5类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线I上有三个正方形为（ ）a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，贝U b的面积A.6C. 11D. 16类型五、利用勾股定理解决实际问题5、一圆形饭盒，底面半径为 8川，高为12川，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖?巩固练习一选择题1.在 ABC中，AB= 12, AC= 9, BC= 15,则厶 ABC的面积等于（）A. 108B. 90C. 180D. 542 若直角三角形的三边长分别为2, 4，丄，则丄的值可能有（）A. 1个B. 2个 C. 3个 D . 4个1米,当他把绳子的3

5、 .小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（）A. 12 米 B . 10 米 C . 8 米 D . 6 米4 . Rt ABC中，斜边 BC= 2,则一匚J 的值为（）A. 8B . 4C . 6D.无法计算5.如图， ABC中,AB= AC= 10, BD是AC边上的高线,DC= 2BD等于 (A. 4B . 6 C . 8D . 56.如图，Rt ABC中，/ C= 90,若AB= 15】川，则正方形 ADECCO正方形BCFG勺面 积和为（）A. 1501B. 200 C. 225D .无法计算二.填空题7甲、乙两人

6、同时从同一地点出发，已知甲往东走了4匸：，乙往南走了 3耳；，此时甲、乙两人相距切.&如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 米路，却踩伤了花草.mr),9如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位:计算两圆孔中心 A和B的距离为mm10.如图，有两棵树，一棵高 8匸，另一棵高2匸，两树相距 8：, 只小鸟从一棵树 的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞 削.11.如图，直线经过正方形 ABCD的顶点B,点A、C到直线.的距离分别是 6、8,则正方形的边长是12. 如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽2. 4m高3.

7、2m长15m棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积是m2.三解答题13.如图四边形 ABCD勺周长为 42, AB= AA 12, / A= 60, / D= 150 ,求BC的长.14.已知在三角形 ABC中，/ C= 90, AD平分/ BAC交 BC于 D, CD- 3, BD- 5，求 AC 的长.勾股定理逆定理（基础）学习目标1理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力 要点梳理要点一、勾股定理的逆定理如

8、果三角形的三条边长K c，满足，那么这个三角形是直角三角形要点诠释:（1 ）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为 直角三角形要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如:）.（2）验证F与/+M是否具有相等关系.若F二/ +M，则 ABC是/ C= 90的直 角三角形；若，则 ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当.；I j 一时，此三角形为锐角三角形，其中丨为三角形的最大边要点三、勾股数满足不定方程 /广-/的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥

9、拉斯数） 显然，以- ； 为三边长的三角形一定是直角三角形熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5;5、12、13; &15、17; 7、24、25; 9、40、41如果住、匕亡是勾股数，当f为正整数时，以此 址、血为三角形的三边长， 此三角形 必为直角三角形要点诠释：（1）旳一1, 2仏n +1（“1#是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）八再十1* : + 1 （是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）分+,2加 申 乩张刃是自然数）是直角三角形的三条边长； 典型例题类型一、勾股定理的逆定理1、判断由线段爲bi c组成的三角形是不是直角三角形.（1）= 7, & = 24, f =

10、25；t rr(2) 必=弓，1, C=4；(3) 二T , i一存；举一反三【变式】一个三角形的三边之比是3:4:5则这个三角形三边上的高之比是()A. 20:15:12 B. 3:4:5 C. 5:4:3 D. 10:8:2类型二、勾股定理逆定理的应用例3、已知:匕汗为的三边且满足+Aa+338 = 10a +24& + 26c，试判断的形状.例：4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行 12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？巩固练习一.选

11、择题1.在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是().A. 9 , 12, 15 B. 3, 4, 5C. 1.4 , 4.8,5D. 4, 7, 52.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是().A. CD EF、GHB. AB EF、GHC. AB CF、EFD. GH AB CD7/L23.下列说法：(1)在厶ABC中，若a2+b2 c2,则厶ABC不是直角三角形；(2)若厶ABC是直角三角形，/ C=90,贝U a2+b2=c2;( 3)在厶 ABC中，若 a2+b2=c2,则/ C=90( 4)直角三角形的两

12、条直角边的长分别为5和12,则斜边上的高为;.其中说法正确的有( ).A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是（）.A. 1 : 1 : 2C. 9 : 25 : 265已知三角形的三边长为:（其中T 门），则此三角形（）.A.定是等边三角形B .一定是等腰三角形C. 一定是直角三角形D 形状无法确定6.三角形的三边长分别为一；丨+、_二、孑（心都是正整数），则这个三D. 25 : 144 : 169角形是（）.A.直角三角形 B .钝角三角形 C 锐角三角形D 不能确定.填空题7.若一个三角形的三边长分别为6, 8,10,则这个三角形中最短边上的高为 &已知两条线段的长分别为1仁川和60川，当第三条线段的长为 时，这3条线段能组成一个直角三角形（要求三边长均为整数）9.已知 |-5|+|y-3|+|Z-4| = 0则由此二严二为边的三角形是三角形.10.在厶ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是.11.若一个三角形的三边之比为5: 12: 13,且周长为601&，则它的面积为 12.如图,AB= 5, AC= 3, BC边上的中线 AD= 2，则 ABC的面积为三.解答题113. 已知：如图，在正方形ABCD中,