离散时间信号与系统.ppt

1、1,几本有用的参考书,丁玉美，高西全. 数字信号处理. 西安电子科技大学出版社 程佩青.数字信号处理教程.清华大学出版社 程佩青.数字信号处理教程习题分析及解答.清华大学出版社,教材：数字信号处理何方白等 高等教育出版社，2009,2,对连续信号抽样,3,第一章 离散时间信号与系统 1.1 离散时间信号序列 信号的幅度和时间可以取连续值也可以取离散值，据此信号可以分为： （1）连续时间信号：时间和幅度均取连续值的信号，也称为模拟信号。 （2）离散时间信号：时间上取离散值而幅度是连续变化的信号。 （3）数字信号：时间和幅度均取离散值的信号。,4,离散时间信号 定义 一个离散时间信号是自变量为整数

2、n的函数，称之为序列。 表示为： x(n) -n 为简便起见，直接写成x(n) 。 注意： x(n)仅仅当 n为整数时才有定义。,5,序列的变化规律可用公式表示，也可用图形来表示。图1.1.1表示了一个具体的离散时间信号序列，横轴为n。 图1.1.1 离散时间信号的图形表示,6,1.1.1几种常用序列 单位采样序列（单位冲激） （1.1.1） 类似于连续时间信号于系统中的单位冲激函数，但是t =0时脉宽趋于零、幅值趋于无穷大、面积为的信号，是极限概念的信号。而这里 在 时取值为 1。 单位采样序列如图1.1.2所示。 图1.1.2 单位采样序列,7,2. 单位阶跃序列 （1.1.2） 它类似于

3、连续时间信号与系统中的单位阶跃函数。但在t =0时常不给予定义，而在时定义为，如图1.1.3所示。 图1.1.3 单位阶跃序列,8,3. 矩形序列 （1.1.3） 如图1.1.4所示。一般N称为矩阵序列的长度。 图1.1.4 矩形序列 、 、 的关系如下：,9,4. 实指数序列 为实数 （1.1.4） 如图1.1.5所示。当 时序列是收敛的，而当 时序列时发散的。 图1.1.5 实指数序列,10,5.复指数序列 （1.1.5）式中 为数字域频率。 复指数序列也可以用其实部虚部或者极坐标表示： 如果 ， ，由于 只取整数，下面等式成立 上式表明当时，复指数序列的频率具有以为周期的周期性。,11,

4、6.正弦序列 其一般形式为 （1.1.6） 式中A为幅度， 为初始相位， 为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示二个相邻序列值之间变化的弧度数。,12,1.1.2序列的基本运算 序列的基本运算包括序列的移位、反转、和、积、卷积等。 1. 移位 序列的移位是指将原序列x(n)逐项依次平移 位而得到的一个新序列 。当 为正时， 为 依次左移（超前） 位， 为 依次右移（延时） 位。 为负时，则相反。 例1.1.1 ，则 ，如图1.1.6所示。 图1.1.6 序列移位,13,2. 反转 反转序列 是原序列 相对于纵轴的镜像。 例1.1.2 ，则 ，如图1.1.7所示。

5、图1.1.7 序列的反转,14,3. 和 两序列的和是指它们同序号（n）的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列。 例1.1.3 已知二序列如下： 则 如图1.1.8所示。,15,图1.1.8 两序列相加,16,4. 积 两序列之积是指它们同序号（n）的序列值逐项对应相乘得到的一个新序列。 例1.1.4 x(n),y(n) 序列，如上例中图1.1.8所示。则 5. 序列乘以常数a 序列乘以常数a是指序列x(n)的每一序号的值都乘以常数a所得到的新序列。,17,6. 卷积 设两序列为x(n)、h(n)，则它们的卷积定义为 (1.1.7) 其中，用“*”来表示卷积。卷积运算在图形表示上可以分为四步：

6、反转、移位、相乘、求和。 例1.1.5 试计算图1.1.9中二序列的卷积 图1.1.9 例1.1.5的两个序列,18,1.1.3 序列的周期性 如果对所有n存在一个最小的正整数N，使x(n)满足 （1.1.8） 则称序列x(n)是周期序列，其周期为N。 下面讨论正弦序列的周期性 由于 则 若 k为整数时，则 即,19,这时正弦序列就是周期序列，其周期满足 （N,K必须为整数）。具体可分以下三种情况： （1）当 为整数时，只要k =1， 就为最小正整数，故正弦序列的周期即为 。 （2）当 不是整数，而是一个有理数时， k值逐步增加，其取值使 为最小整数，这就是正弦序列的周期。此时 ，其中k,N是

7、互为素数的整数， （3）当 为无理数时，则任何k都不能使为正整数，此时正弦序列不是周期序列。这和连续信号时是不一样的。 同样，指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同。,20,例1.1.6 试确定以下序列的周期。 (1) (2) 1.1.4 序列的能量 序列x(n)的能量定义为序列各采样值的平方和，即 （1.1.9）,21,1.2 线性时（移）不变系统 一个离散时间系统可由图1.2.1来表示，即,我们研究的是 “线性时（移）不变”的离散时间系统,图1.2.1 离散时间系统,22,1.2.1 线性系统 输入分别为 和 时，其输出分别为 和 ，即，,当且仅当,(1.2.1),时，该系统

8、称为线性系统。式中a和b为任意常数。,23,1.2.2 时不变系统 若系统的响应与激励加于系统的时刻无关，则称为时不变系统 (或称移不变系统) 。,即若,则,(1.2.2),其中 为任意整数,24,例1.2.1 试根据 判断系统是否线性系统和时不变系统。 解: 判断系统的线性 因为,所以,而,因此,所以此系统不是线性系统。,25, 判断系统的时不变性 因为,而,由于二者相等，故此系统是时不变系统。,1.2.3 线性时不变系统输入输出的关系,假设系统输入为一般序列 x(n),系统输出为,26,根据线性系统的叠加性质,又根据时不变性质,（1.2.3）,(1.2.3)式说明，线性时不变系统的输出序列

9、等于输入序列和 系统的单位采样响应的卷积。,27,例1.2.2 设线性时不变系统的单位采样响应 ， ，其输入序列 ，求输出序列y(n)。 解: 根据线性时不变系统输入输出关系，有,对于,28,离散卷积运算服从交换律、结合律和分配律。即,29,1.2.4 系统的因果性和稳定性 1 因果性 指系统n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入序列无关 。 线性时（移）不变系统具有因果性的充要条件是,，,n0,(1.2.4),式中h(n)为系统的单位采样响应序列。,30,2 稳定性 指对于系统有界输入，系统输出也是有界的。 系统稳定的充要条件是系统的单位采样响应绝对可和，即

10、,(1.2.5),31,例1.2.3 已知线性时不变系统的单位采样响应 ，式中a是实常数，试分析系统的因果稳定性。,解：因为,所以,故该系统是因果系统,又因为,所以 时系统是稳定系统,32,1.3 线性时不变系统的输入输出描述法线性常系统差分方程 1.3.1 线性常系数差分方程 一个阶线性常系数差分方程形式如下:,(1.3.1),(1.3.2),或,33,1.3.2 线性常系数差分方程的求解 例1.3.1 设因果系统用一阶差分方程 描述，求输入 时系统的输出y(n)。假设初始条件为(1) ； (2) 。,解: (1) 当初始条件为 时，,n=0,n=1,n=2,n=n,所以,34,(2) 当初

11、始条件为 时，,n=0,n=1,n=2,n=n,所以,35,实际中的系统都是可实现系统，因此用递推法求解时，总是由初始条件开始向n0方向递推 。如不考虑因果性，由递推法解差分方程，可由初始条件向n0方向递推，此时得到的是非因果解。,例1.3.1中，设初始条件为y(n)=0，n0，求输出y(n)的递推 过程如下:,将n-1用n代替，得到,36,1.4 连续时间信号的采样,（a）采样器的原理,（b）实际采样,（c）理想采样,图1.4.1 连续时间信号的采样,37,1.4.1 理想采样 采样过程如图1.4.1（c）,(l.4.1),理想采样输出为,(1.4.2),把（1.4.1）式代人（1.4.2）

12、式，得,(1.4.3),由于 只在t=mT时不为零，故,(1.4.4),38,理想采样后信号频谱的变化,由频域卷积定理 ，若各傅里叶变换分别表示为,由（1.4.2）式的关系可知,（1.4.5),可表示为,（1.4.6),39,接下来求,而系数则可表示成,上面考虑到在 的区间内，只有一个冲激 ，,40,而,时,， 都在积分区间之外，且利用了以下关系,因而,（1.4.7),由此得出,由于,（1.4.8),所以,（1.4.9),41,图1.4.2表示了 和 。,图1.4.2 周期冲激序列 与它的傅里叶变换,42,将（1.4.9）式代入（l.4.5）式可得,（1.4.10）,43,（1.4.10）式表

13、明，一个连续时间信号经过理想采样后，其频谱将以 采样频率为间隔而重复，这就是频谱产生周期延拓，如图1.4.3所示,图1.4.3 连续时间信号采样后，频谱的周期延拓,(a）原限带信号； (b） 时； (c) 时产生频谱混叠现象,44,理想采样信号的频谱，是频率的周期函数，其周期为 ，而频谱的幅度则为原模拟信号幅度的 。由于T是常数（不是 的函数），所以除了一个常数因子区别外，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率上的交叠，则有可能恢复出原信号。也就是说，如果 是一个限带信号，其频谱如图1.4.3(a）所示。且最高频谱分量 不超过 ，即,（1.4.11）,4

14、5,（1）那么原信号的频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠，如图1.4.3(b）所示。这时采用一个截止频率为 的理想低通滤波器，可以不失真地还原出原来的连续信号。 （2）如果信号的最高频谱超过，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象，如图1.4.3(c）所示。 结论：要想采样后能够不失真的还原出原模拟信号，则采样频率必须大于两倍信号谱的最高频率（ ），这就是奈奎斯特采样定理。即,（1.4.13),46,采样的恢复 如果满足奈奎斯特采样定理，即信号谱的最高频率小于折叠频率，则采样后不会产生频谱混叠，由（1.4.10）式知,故将 通过以下理想低通滤波器（如图1.4.4所示）：,就可得到原信号频谱

15、，如图1.4.5所示，即,47,所以输出端即为原模拟信号,图1.4.4 理想低通滤波器特性,图1.4.5 采样的恢复图,48,下面讨论如何由采样值来恢复原来的模拟信号 理想低通滤波器的冲激响应为,49,由 与h(t）的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为,(1.4.15),50,这就是采样内插公式，即由信号的采样值 经此公式而得到连续信号 ，而 称为内插函数，如图1.4.6所示。在每一个采样点上，只有该点所对应的内插函数不为零，这使得各采样点上信号值不变，而采样点之间的信号则由各加权采样函数波形的延伸叠加而成，如图1.4.7所示。,图1.4.6 内插函数,图1.4.7 采样的内插恢复,51,1

16、.4.2 实际采样 由于p(t)是周期函数，故可展成傅里叶级数，有,(1.4.16),同样可求出p(t)的傅里叶系数 （注意，p(t)的幅度为l）,(1.4.17),如果 ，T一定，则随着k的变化， 的幅度 将按下式 变化，其中,52,类似推导，可以得到采样数据信号的频谱为,(l.4.18),图1.4.8 实际采样时，频谱包络的变化,53,由图可知,由于包络的第一个零点出现在,这要求,所以,由于 ，因此 包络的第一个零出现在k很大的地方。,54,1.4.3 正弦信号的采样 设连续时间正弦信号为,（1.4.19）,采样定理要求采样频率大于信号最高频率的两倍 ,能够无 失真地恢复出原始的正弦信号,

17、图1.4.9 正弦信号的采样（ ）,55,一些结论性的归纳： 1对（1.4.19）式的正弦信号，当采样频率 时，当 时无法恢复原信号x(t)；当 时可以由x(n)重建原信号；当 为已知，且 时，则恢复的不是原信号，而是 ，经过移位和幅度变换，仍可得到原信号；如果 未知，则根本得不到原信号。 2对（1.4.19）式的信号，由于有三个未知数，只要保证在它的一个周期内均匀地采得三个样值，即可由x(n)准确地重建x(t)。,56,3对离散周期的正弦信号，作截断时，其截断长度必须为此周期信号周期的整倍数，才不会产生离散频谱的泄漏。 4正弦信号的采样不宜补零，否则将产生频谱泄漏。 5考虑到做DFT时，要求数据点数N 最好为2的整数幂，因而对正弦信号采样时，一个周期内最好采4个点。,57,本章作业,1、设x(n)和y(n)分别表示一个系统的输入和输出，试确定下列系统 (a) y(n)=ax2(n) ； (b) y