数列前n项和的求法

1、专题二： 数列前n项和的求法一、倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列an，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为 倒序相加法。例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是倒序相加法”。例1:设等差数列an，公差为d,求证：an的前n项和Sn=n(ai+an)/2例 2：求 sin21 ： sin2 2 ： sin2 3 ：sin2 88 ： sin2 89 啲值二、用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围

2、，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 If例3：求数列2482 的前n项和Sn：_1例4：已知log3 x，求x x2 xxn的前n项和.log 2 3例 5：设 Sn= 1+2+3+n,Sn(n 32)Sn 1的最大值.点拨：这道题只要经过简单整理， 就可以很明显的看出： 这个数列可以分解成两个数列, 一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。三、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列例6：23n _1求和：Sn =1 3x 5x 7x -

3、(2n -1)x例7：求数列 ，2 , 3，；，前 n项的和.2 22 232n四、分组法求和(并项法)有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可例& 求 S = 12 - 22 + 32 - 42 + + (1)n-1n2(n N*)1 1 1例9：求数列的前n项和：11,_ 4,弋 7,rj 3n _2， a aan五、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例在各项均为正数的等比数列中，若a5a6 = 9,求Io

4、g3 a1 log 3 a?Iog3 aw的值.数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中 必须要掌握好几种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。六、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合， 使之能消去一些项,最终达到求和的目的 .通项分解（裂项）如:(1)an = f (n 1)-f (n)(2)sin 1 -tan(n 1) -tan n :cos n -cos(n 1)-(3)ann(n 1)(4)(2n)2an1 丄(1(2n -1)(2n 1)2 2n -1 2n 1 的前n项和.n 、n 11例10：求数列1 + 2例11：12n2在数列an中，an，又bn，求数列bn的前n +1 n +1n +1an 佔n项的和.七. 用构造法求数列的前 n项和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征， 然后再利用数列的通项揭示的