理科高考数学一轮复习北师大版第8章第8节曲线与方程教案

1、名校名 推荐第八节曲线与方程 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法 .3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程(对应学生用书第146 页 )基础知识填充 1曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线c(看作满足某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x，y) 0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这条曲线叫作方程的曲线；这个方程叫作曲线的方程2求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数

2、对 (x，y)表示曲线上任意一点m 的坐标(2)写出适合条件 p 的点 m 的集合 p m|p(m) (3)用坐标表示条件p(m)，列出方程 f(x，y) 0.(4)化方程 f(x， y)0 为最简形式(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上3圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.(1)当 0e1 时，圆锥曲线是椭圆(2)当 e1 时，圆锥曲线是双曲线(3)当 e1 时，圆锥曲线是抛物线4两曲线的交点设曲线 c1 的方程为 f1(x，y) 0，曲线 c2 的方程为 g(x， y)0，则f1 x，y 0，(1)曲线 c1，c2 的任意一个交点

3、坐标都满足方程组g x，y 0.(2) 反之，上述方程组的任何一组实数解都对应着两条曲线某一个交点的1名校名 推荐坐标基本能力自测 1(思考辨析 )判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0，y0) 0 是点 p(x0，y0)在曲线 f(x， y)0 上的充要条件 ()(2)方程 x2xy x 的曲线是一个点和一条直线 ()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的()(4)方程 2 表示同一曲线 ()yx与 x y 解析 对于 (2)，由方程得 x(xy1)0，即 x 0 或 xy10，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于 (4)，

4、曲线 yx是曲线 x y2 的一部分，错误 答案 (1)(2)(3)(4)112(教材改编 )已知点 f 4，0 ，直线 l：x 4，点 b 是 l 上的动点若过点b垂直于 y 轴的直线与线段bf 的垂直平分线交于点m，则点 m 的轨迹是 ()a双曲线b椭圆c圆d抛物线d 由已知 |mf| |mb|，根据抛物线的定义知， 点 m 的轨迹是以点 f 为焦点，直线 l 为准线的抛物线 3已知点 f(0,1)，直线 l：y 1，p 为平面上的动点，过点p 作直线 l 的垂线， ，则动点 p 的轨迹 c 的方程为 ()垂足为 q，且 qpfpqffqax2 4yby23xcx22ydy24xa 设点

5、p(x，y)，则 q(x， 1) ，qpfpqffq (0， y1) ( x,2)(x，y1) (x， 2)，即 2(y 1)x22(y1)，整理得 x24y，动点 p 的轨迹 c 的方程为 x2 4y.故选 a 4已知 abc 的顶点 b(0,0)，c(5,0)，ab 边上的中线长 |cd| 3，则顶点 a 的轨迹方程为 _2名校名 推荐(x 10)2y236(y0) 设 a(x， y)，x y则 d 2，2x2y2|cd|254 3，22化简得 (x10) y 36，由于 a， b， c 三点构成三角形，x2y2n，则线段5过椭圆 a b 1(ab0)上任意一点 m 作 x 轴的垂线，垂足

6、为22mn 中点的轨迹方程是 _x24y2a2 b2 1设 mn 的中点为 p(x，y)，则点 m(x,2y)，又点 m 在椭圆上，x22y 2x24y2 a2 b2 1，即所求的轨迹方程为a2 b2 1.(对应学生用书第147 页 )直接法求轨迹方程设 f(1,0)，m 点在 x 轴上， p 点在 y 轴上，且 mn2mp，pmpf，当点 p 在 y 轴上运动时，求点 n 的轨迹方程 .【导学号 ：79140299】解 设 m(x0,0)，p(0，y0)，n(x，y)， ，(1， y0，pmpf，pm (x0， y0)pf) (x0 ， y0) (1， y0) 0， x0 y20 0.由mn

7、 2mp得(x x0，y)2( x0，y0 ，)0 2x0，x0 x，x x即1y 2y0，y0 y，22 xy4 0，即 y2 4x.故所求的点 n 的轨迹方程是 y2 4x.3名校名 推荐 规律方法 用直接法求曲线方程的关键是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，但要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略. 跟踪训练 (1)设点 a 为圆 (x1)2 y21 上的动点，pa 是圆的切线，且 |pa|1，则 p 点的轨迹方程为 ()ay2 2xb(x1)2y2 4cy2 2xd(x1)2y2 2(2)已知 m( 2,0)，n(2,0

8、)，则以 mn 为斜边的直角三角形的直角顶点p 的轨迹方程为 ()ax2 y2 2bx2y2 4cx2y2 2(x2)dx2y24(x2)(1)d (2)d (1) 如图，设 p(x， y)，圆心为 m(1,0)连接 ma，pm ，则mapa，且 |ma|1，又 |pa|1， |pm| |ma|2|pa|2 2，即 |pm|2 2， (x 1)2y2 2.(2)设 p(x， y)， mpn 为以 mn 为斜边的直角三角形， |mp|2|np|2|mn|2， (x 2)2y2 (x2)2y216，整理得 x2 y24.m， n，p 不共线， x2，22定义法求轨迹方程如图 8-8-1 所示，已知

9、点 c 为圆 (x2)2 y24 的圆心，点 a(2，0)p4名校名 推荐 是圆上的动点，点 q 在圆的半径 cp 所在的直线上，且mq 0，ap2 am.ap当点 p 在圆上运动时，求点q 的轨迹方程图 8-8-1解 由 (x2)2 y2 4 知圆心 c(2，0)，半径 r 2.mq 0， ap 2am，apmq ap，点 m 为 ap 的中点，因此 qm 垂直平分线段 ap.如图，连接 aq，则 |aq| |qp|， |qc|qa|qc|qp| |cp|2.又 |ac| 2 22，根据双曲线的定义，点 q 的轨迹是以 c( 2，0)， a( 2， 0)为焦点，实轴长为 2 的双曲线由 c

10、2，a1，得 b21，因此点 q 的轨迹方程为 x2y21.若将本例中的条件“圆 c 的方程 (x 2)2 y2 4”改为“圆 c 的方程 (x 2)2y2 16”，其他条件不变，求点 q 的轨迹方程解 由 (x2)2 y2 16 知圆心 c(2， 0)，半径 r 4.5名校名 推荐mq 0， ap 2 am，apqm 垂直平分 ap，连接 aq，则 |aq| |qp|， |qc|qa|qc|qp| r4.根据椭圆定义，点q 的轨迹是以 c(2， 0)，a( 2，0)为焦点，长轴长为4 的椭圆由 c 2，a2，得 b 2.x2y2因此点 q 的轨迹方程为 4 2 1. 规律方法 定义法求轨迹方

11、程的方法、关键及注意点1 求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.2 关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.3 利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或 y 进行限制 . 跟踪训练 (1)若动点 m(x，y)到点 f(4,0)的距离比它到直线x 5 的距离小 1，则点 m 的轨迹方程是 ()ax 4bx4cy28xdy216x1 (2)已知 a(5,0)，b(5,0)，动点 p 满足 |pb|，2|pa|，8 成等差数列，则

12、点p的轨迹方程为 _x2y2(1)d(2)16 9 1(x4)(1) 依题意可知点m 到点 f 的距离等于点m到直线 x 4 的距离，因此点 m 的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上， p 8，所以点 m 的轨迹的方程为 y216x，故选 d6名校名 推荐(2)由已知得 |pa| |pb|8，所以点 p 的轨迹是以 a，b 为焦点的双曲线的右支，且 a 4，b3，c5，x2y2所以点 p 的轨迹方程为 16 9 1(x4)相关点 (代入 )法求轨迹方程2(2017 全国卷 )设 o 为坐标原点，动点m 在椭圆 c：x2 y2 1上，过 m 作 x 轴的垂线，垂足为n，点 p 满

13、足 np2nm.(1)求点 p 的轨迹方程；(2)设点 q 在直线 x 3 上，且 oppq 1.证明：过点 p 且垂直于 oq 的直线 l 过 c 的左焦点 f. 解(1)设 p(x，y)，m(x0，y0)，则 n(x0,，(xx0，y)，nm (0，y0 0)np)2由np2nm得 x0 x， y02 y.x2y2因为 m(x0， y0)在 c 上，所以2 2 1.因此点 p 的轨迹方程为 x2y22.(2)证明：由题意知 f( 1,0)设 q( 3，t)， p(m，n)，则 3 3m tn，(3， t)，pf(1 m， n)，oqoqpf(m， n)，pq(3 m，t n)op 22由o

14、p 1 得 3mm tnn 1，pq又由 (1)知 m2 n22，故 3 3m tn 0. 所以 oq 0，即 oqpf.pf又过点 p 存在唯一直线垂直于oq，所以过点 p 且垂直于 oq 的直线 l 过 c7名校名 推荐的左焦点 f. 规律方法 “相关点法 ” 求轨迹方程的基本步骤1 设点：设被动点坐标为 x，y，主动点坐标为1 ，y1.xx1 f x，y ，2 求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式y1 g x， y .3 代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.x2y2 跟踪训练 (2017 武汉模拟 )p 是椭圆 a2b2 1 上的任意一点， f1，f2 是它的两 个焦点， o 为坐标原点，有一动点 q 满足 oq