全国青年教师观摩大赛数学赛课一等奖作品：《双曲线及其标准方程（1）》教案与说明

1、人教版高中数学第二册（上8.3 双曲线及其标准方程（一）甘肃省白银市实验中学 高波教学目标：（1）知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程；（2）过程与方法：通过定义及标准方程的深刻挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比发现及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；（3）情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用教学难点：双曲线定义中关于绝对值，2a0）。师： 在椭圆里到两个定点的距离的和这个常数是正数，那么，平面内到两定点的差这个常数还一定是正数吗

2、生：不一定。师：可能是什么数呢？（学生甲回答：是正数，负数或零） 师：当常数是零时动点的轨迹是什么？生：是线段F1F2的中垂线。老师做出的中垂线。师：当常数是正数时的点的位置在什么地方？生：在线段F1F2的中垂线的右侧。师：当常数是负数时的点的位置在什么地方？生：在线段F1F2的中垂线的左侧。 师：平面内与两个定点的距离之差等于非零常数的点的轨迹到底是是什么呢？我们一起做一个实验来探索。2、实验：（师生共同完成）道具：一根拉链具体做法：老师在拉开的拉链两侧各取一点打结（实验前已经测量好，使两结之间的距离小于两定点间的距离），请两位同学协助将两点分别固定在定点F1，F2处，使拉链头在的上方。将拉

3、链头看作动点M,使M到F1的距离比M到F2的距离远。 师：|MF1|比|MF2|长多少？ 请同学观察，将其中一侧拉链拉过来比较，学生可以很清楚的看到长出的部分。在|MF1|比|MF2|长出的地方用颜色鲜艳的小夹子做记号，在三次演示可以清楚的看到，在拉链的拉合中拉链头M到F1的距离与到F2的距离差始终是夹子到F1的距离，距离差记为2a（2a0），当拉链头在的下方时，两次演示在拉链的拉合中，动点拉链头M到F1的距离与到F2的距离差始终是夹子到F1的距离，即M到两定点的差始终是夹子到F1的距离2a。同学们通过演示观察得出,拉链头M到F1的距离与它到F2的距离的差始终是正常数.将粉笔放在拉链头处,随着

4、拉链的开合做出一条曲线(在作图过程中要保持将拉链拉直),老师在图的下方板书：|MF1|-|MF2|=2a(a0);调换两拉链的固定点，仍然请两位同学协助将两点分别固定在定点F1，F2处，这时拉链头M到F1的距离比M到F2的距离短，使拉链头在的上方。同样在两次演示过程中提问：|MF1|比|MF2|短多少？让同学们观察，在拉链的拉合中,|MF1|始终比|MF2|短夹子到F2的距离，记为2a（2a0），当拉链头在的下方时结果相同.同学们很容易观察到在拉链的拉合过程中，拉链头到F1的距离与它到F2的距离的差始终是负常数,这个常数是2a的相反数，记为-2a。将粉笔放在拉链头处,随着拉链的合开做出一条曲线

5、(在作图过程中要保持将拉链拉直),画出中垂线的左侧的一条曲线。在图的下方板书：|MF1|-|MF2|=-2a(a0)。 师：我们将这两条曲线叫双曲线,其中的一条叫双曲线的一支. 在黑板上板书课题： 8.3双曲线的定义及其标准方程。师：比较每条曲线满足的条件，这两支曲线，即双曲线上的动点M 满足的条件是什么？ 生：。老师板书 （2a0）。3、研究2a和2c的关系.师:平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数的动点的轨迹一定是双曲线吗?(原以为双曲线定义已经得到的同学们又开始思考)师:与椭圆类比,在椭圆里,到两个定点的距离之和等于常数2a,只有这个常数2a大于两定点的距离时,动点的轨迹才是椭圆,当两

6、个定点的距离之和等于两定点的距离时,动点的轨迹是之间的线段。在双曲线里,到两个定点的距离差2a与两定点的距离2c之间是否也有大小关系呢? (同学们的视线又回到刚才作出的双曲线图形上)师:在刚才所做的双曲线上任取一点M,它与构成了三角形, |MF1|与|MF2|的差也就是三角形两边的差,同学们欣喜的喊到:三角形两边的差小于第三边，2a2c.(若点刚好是双曲线与所在直线的焦点,没有构成三角形，同学们仍然很容易得到2a2c时，动点有轨迹吗？(若动点在之间,到F1与F2的距离的差在变化,不是定值,并且的总长为2c,动点到F1与F2的距离的差的绝对值2a不可能大于2c.生:当2a2c时，动点没有轨迹.师

7、:现在请同学们给出双曲线的准确定义.生(自信地):平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线 用投影仪展示双曲线图形及其定义,焦点,焦距概念。三、新课讲解1、双曲线定义： 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即，（2a2c）叫双曲线的焦点，=2c(2c0)叫做焦距。强调：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数2a小于” 2、双曲线的标准方程：师：与求椭圆的标准方程类似，我们根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程。求曲线方程的基本步骤是什么？生：（1）建系；（2）设点；（3）列式;（4）化简老师在投影仪上演示求双曲线标准方程的过程中，同学们在

8、练习本上书写求双曲线标准方程的过程。提醒同学们需要注意（1）牢牢抓住双曲线定义列式；（2）在化简到 ，结合双曲线定义中2a 0 )(2a0) 2a 2c教 案 说 明一、授课内容数学本质和教学目标定位通过老师创设情景、启发诱导，师生共同动手实验，使学生经历直观感知，观察发现，归纳类比，抽象概括，符号表示，运算求解数据处理，反思建构等思维过程，进一步体验类比发现法及数形结合等思想方法的运用，提高学生的实践，观察，思考，探究能力,特别是提高类比发现能力；通过教师指导下的师生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，体会数学的系统性、严密

9、性，崇尚数学的理性精神。对本节课的教学目标从以下几个方面进行定位：（1）知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；（2）过程与方法：通过定义及标准方程的深刻挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；（3）情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题，促进学生的数学交流能力，发展学生的创造力，培养学生提出问题的习惯和能力，培养独立思考，积极探索的习惯。依据教学目标和学生的认知规律，把理解和掌握双曲线的定义及其标准方程确定为本节课的重点，把对双曲线的定义的理解和掌握确定

10、为本节课的难点。二、学习本内容的基础及今后作用本节教材所处的地位作用 双曲线的定义及其标准方程内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程，以及课本中的例1；第二课时主要是课本中的例2、例3及几个变式例题。双曲线在社会生产、日常生活和科学技术上有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握 学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对圆锥曲线研究内容的进一步深化和提高。通过对椭圆的学习，学生已经对“由已知条件求曲线的方程，再从所得方程来研究曲线的几何性质”的解析法有了进一步的认识，为双曲线的学习在数学思想、方法等方面打好了基础，做好了铺垫。而在双曲线的学习中，如果把双曲线

11、的定义及其标准方程研究透彻、清楚了，不仅很容易解决双曲线的定义及其标准方程（2）中的例2、例3及几个变式例题，而且对双曲线的简单性质的学习打下了坚实基础。通过对双曲线的定义及其标准方程的学习，对已经学过的椭圆及其标准方程会有更深的理解，对抛物线的学习就会顺理成章,对圆锥曲线部分的解题的有很大帮助，所以这节课在本章中起着承前启后的作用。双曲线的定义与椭圆的定义相比难度增大，所以这节课在本章中的地位非常重要。三、教学诊断分析 学生在学习了椭圆后，利用类比发现法，学习本节教材中的下列知识点是比较容易的： 1、用求曲线方程的一般方法确定求双曲线的标准方程的基本步骤；2、应用双曲线定义求双曲线的标准方程

12、；3、双曲线方程的化简。在本节教材中，较难理解的地方主要集中在双曲线的定义部分：1、为什么在拉链的拉合过程中拉链头到两个定点的距离之差的绝对值为定值。2、为什么在定义中对差这个常数要加绝对值 ；3、为什么2a2c呢?四、教学特点和预期效果分析 1、通过实验，让学生主动参与、积极体验 。教材中虽然有拉链，有双曲线的图像, 但那是静态的，为什么在拉链的拉合过程中拉链头到两个定点的距离之差的绝对值为定值,学生对本质并没有一个直观的理解; 本人用几何画板或动画去做双曲线，不如直接实验得心应手，经过多次考虑决定用拉链画出双曲线的图像，变抽象为直观。（1）通过实验中的多次演示，以小夹子作为参照物，让学生清

13、楚的看到在拉链的拉合中拉链头M到F1的距离与到F2的距离差始终是定值，并且这个定值随着拉链固定点的调换，可正可负，互为相反数。（2）把拉链头看作动点M,先使M到F1的距离比M到F2的距离远，即|MF1|-|MF2|=2a(a0);将粉笔放在拉链头处,随着拉链的开合做出中垂线右侧一条曲线。调换两拉链的固定点，这时拉链头M到F1的距离比M到F2的距离短，即|MF1|-|MF2|=-2a(a0)，将粉笔放在拉链头处,随着拉链的合开画出中垂线的左侧的一条曲线。这两条曲线叫双曲线,其中的一条叫双曲线的一支. 这两支曲线，即双曲线上的动点M 满足的条件是 （2a0）。对定义中绝对值的理解就非常直观了。（3

14、）研究2a和2c的关系.在实验的过程中，能用拉链画出双曲线，实际上是需要条件的。在画图之前，我已经将两定点的距离以及差的绝对值的大小关系定好了，即2a2c，以保证不仅能画出双曲线，而且使画出的双曲线比较美观。结合图形，与椭圆类比设问：在椭圆里，在双曲线里,到两个定点的距离差2a与两定点的距离之间是否也有大小关系呢? 在双曲线上任取一点M,它与构成了三角形, |MF1|与|MF2|的差也就是三角形两边的差,三角形两边的差小于第三边，2a2c.(若点刚好是双曲线与所在直线的焦点,同学们仍然很容易得到2a2c时，动点没有轨迹.2、以类比发现思维作为教学的主线 (1) 双曲线的定义与椭圆定义类比, (

15、2)双曲线的标准方程与椭圆的标准方程类比(3)双曲线和椭圆中,2a与2c的意义及大小关系的类比(4)焦点在x轴上的方程与焦点在y轴上的方程类比。3、 结合投影仪等形式，加大一堂课的信息容量，提高教学的直观性和趣味性，提高课堂效益。4、教师创设和谐、愉悦的环境进行引导，用激发兴趣、自主探究的讲解讨论相结合，使学生始终处于问题探索研究状态之中，促进学生说、想、做，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题.进行主动探究学习，形成师生互动的教学氛围。 老师捕捉住学生发言中的闪光点和思维的火花，对学生的积极表现给予鼓励和肯定。预期教学实效：1、学生对双曲线的定义中的关键词：差，绝对值，2a2c有非常清晰的理解，对双曲线的标准方程及其标准方程中