江苏省2020版高考数学第三章1第一节导数的概念及运算课件.pptx

1、第一节导数的概念及运算,1.导数的有关概念,2.导数的几何意义,3.基本初等函数的导数公式,4.导数的运算法则,教材研读,考点一 导数的计算,考点二 导数的几何意义,考点突破,1.导数的有关概念 (1)平均变化率:函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为,若记x2-x1=x, f(x2)-f(x1)=y,则平均变化率可表示为,教材研读,2)函数f(x)在x=x0处的导数:设函数f(x)在区间(a,b)上有定义,x0(a,b),当x无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常 数A,则称f(x)在点x=x0处可导,并称该常数A为函数 f(x)在点x=x0处的导数,记作f (x0). (3)导函数:

2、如果函数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,那么其导数值在(a,b)内构成一个新的函数,叫做f(x)在区间(a,b)内的导函数,记作f (x,2.导数的几何意义 函数f(x)在x=x0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0)处的切线的斜率,即k=f (x0),则切线方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0,3.基本初等函数的导数公式,4.导数的运算法则,1.(2018江苏南通海安高级中学阶段检测)已知曲线y=(x0)的一条切线 的斜率为-4,则切点的横坐标为,答案-1,解析y=-,x0,令-=4,解得x=-1,即切点的横坐标为-1,2.若f (x0)=2,则当k无限趋近于

3、0时,答案-1,解析f (x0)=2,=-f (x0)=-1,3.如图,曲线y=f(x)在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f (5),答案2,解析由题意可得f(5)+f (5)=3+(-1)=2,4.若直线y=-x+b为曲线y=的一条切线,则b,答案2,解析y=,则y=-,则有-=-1,解得x=1,则切点坐标为(1,1)或(-1,-1), 代入切线方程得b=2,5. 曲线y=x-cos x在x=处的切线方程为,答案y=x,解析当x=时,y=-,又y=+sin x,则当x=时,y=1,则所求的切线 方程为y-=x-,即y=x,6.(2019盐城高三模拟)已知函数f(x)=ex-f(0

4、)x+x2,则f (1),答案e,解析由题意得f(0)=e0-f(0)0+02=1,则f(x)=ex-x+x2,所以f (x)=ex-1+x, 所以f (1)=e1-1+1=e,考点一 导数的计算 典例1分别求下列函数的导数: (1)y=excos x;(2)y=x; (3)y=x-sincos,考点突破,解析(1)y=(ex)cos x+ex(cos x)=excos x-exsin x=ex(cos x-sin x). (2)y=x3+1+,y=3x2-. (3)y=x-sincos=x-sin x, y=1-cos x,方法技巧 1.求函数的导数的一般原则:(1)遇到连乘的形式,先展开化

5、为多项式形式,再求导;(2)遇到根式形式,先化为分数指数幂的形式,再求导;(3)遇到复杂的分式,先将分式化简,再求导. 2.求复合函数的导数的一般步骤:(1)分清复合关系,适当选定中间变量,正确分解关系;(2)分层求导,弄清每一步中是哪个变量对哪个变量求导数,1-1分别求下列函数的导数: (1)y=+; (2)y=sin2,解析(1)y=+=, y=. (2)y=sin2=(1-cos x)=-cos x, y=-(cos x)=-(-sin x)=sin x,考点二 导数的几何意义 角度一求切线方程 典例2(1)(2018江苏泰州中学高三月考)若幂函数f(x)的图象经过点 A(4,2),则它

6、在A点处的切线方程为. (2)已知曲线y=x3上一点P,则过点P的切线方程为,答案(1)x-4y+4=0(2)3x-3y+2=0或12x-3y-16=0,解析(1)设f(x)=xa,则由题意得4a=2,即a=, 所以f(x)=,则 f (x)=, 故曲线f(x)在A点处的切线的斜率k=, 所以曲线f(x)在A点处的切线的方程为y-2=(x-4), 即x-4y+4=0. (2)设切点坐标为,由y=x2,得y=,所以过点P的切线的 斜率为,已知切线过点P,若x02,则=,解得x0=-1,此时切线的斜率 为1;若x0=2,则切线的斜率为4. 故所求的切线方程是y-=x-2或y-=4(x-2), 即3

7、x-3y+2=0或12x-3y-16=0,易错警示 “在某点的切线”与“过某点的切线”不同:“在某点的切线”问题,该点一定在曲线上,而且一定是切点,求导后直接代入点的横坐标即可 求得切线的斜率;“过某点的切线”问题,该点不一定在曲线上,即使在曲线上,该点也不一定是切点,这时可设切点坐标为(x0, f(x0),求出切线的斜率k=f (x0),写出切线方程,再代入点的坐标求解,典例3(1)(2018江苏泰州中学月考)若曲线y=x2与曲线y=aln x在它们 的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a的值为. (2)(2018常州教育学会学业水平检测)已知函数f(x)=bx+ln x,其中bR.若

8、过原点且斜率为k的直线与曲线y=f(x)相切,则k-b的值为,角度二求参数的值,答案(1)1(2,解析(1)由题意可得解得 (2)f (x)=b+.设切点坐标为(x0,bx0+ln x0),则解得x0=e,则k-b,规律总结 参数可能在切点、切线方程或曲线方程中,但无论在哪里,都需要切点坐标(没有切点就设出切点坐标),再利用切点在切线上和在曲线上以及导数的几何意义建立方程组求解,典例4(1)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x0)上点P处的切 线垂直,则点P的坐标为. (2)(2019苏北四市模拟)已知P是曲线y=x2-ln x上的动点,Q是直线y=x-1上的动点,则|PQ|的最

9、小值为,角度三求切点坐标,答案(1)(1,1)(2,解析(1)函数y=ex的导函数为y=ex, 设曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率为k1,则k1=e0=1. 设P(x0,y0)(x00),易知函数y=的导函数为y=-, 设曲线y=(x0)在点P处的切线的斜率为k2,则k2=-. 易知k1k2=-1,即1=-1,解得=1,又x00, x0=1.又点P在曲线y=(x0)上, y0=1,故点P的坐标为(1,1,2)平移直线y=x-1,当与曲线y=x2-ln x相切时,切点到直线y=x-1的 距离即为|PQ|的最小值.函数y=x2-ln x的导函数y=x-,所以x-= ,x0,解得x=2,则切

10、点P,则|PQ|的最小值为,方法技巧 求切点坐标的方法 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先对函数求导,然后让导函数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标,角度四切线的应用 典例5已知方程kx+1=|ln x|在(0,e3)上有三个不等的实根,则实数k的取值范围是,答案,解析令f(x)=kx+1、g(x)=|ln x|,x(0,e3),易知函数f(x)=kx+1与g(x)=|ln x|的图象在(0,1)上一定有一个交点,依题意得只需函数f(x)=kx+1,g(x)=ln x的图象在(1,e3)上有2个交点即可.作出函数f(x)=kx+1,g(x)=l

11、n x的图象如图所示.设直线f(x)=kx+1与曲线g(x)=ln x相切于点(a,b),则解得 k=e-2.对数函数g(x)=ln x的增长速度越来越慢,直线f(x)=kx+1过定点(0,1),方程|ln x|=kx+1中取x=e3得k=2e-3,实数k的取值范围是. 方法技巧 这类求参数的取值范围问题的实质是过定点作曲线的切线,利用导数的几何意义求出切线的斜率即可,2-1曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为,答案x-y+1=0,解析y=x2+,y=2x-,y|x=1=2-1=1,所求的切线方程为y-2=x-1, 即x-y+1=0,2-2(2017南京期中)若曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0 垂直,则实数a的值为,答案-2,解析y=,y=-,则当x=3时,y=-, 由切线与直线ax+y+3=0垂直得-a=2,a=-2,2-3曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为,答案(1,3)或(-1,3,解析由题意可得f (x)=3x2-1.令f (x)=2,解得x=1或x=-1.又f(1)=f(-1)=3,则点P的坐标是(1,3