单元评估·质量检测(四)

1、四) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 （120分钟 150分,一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.如图，向量 - 等于（,解析】选D.设 、 的终点分别为A、B， 则,2.（2011绍兴模拟）如果复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i为纯虚数，那么实数a的值为（ ） (A)1 (B)2 (C)-2 (D)1或-2 【解析】选C.由纯虚数的概念得 解得a=-2,3.已知向量 =( ,1)， 是不平行于x轴的单位向量，且 = 则 =（ ） 【解析】选B.设 =(x,y)(y0)，则有 x+y= 且x2+y2

2、=1(y0,解析】选B. 这表明点M在直线AB上, 0, 同向, 又(1,2), 故选B,4.已知O，A，M，B为平面上四点，且 (1,2)，则( ) (A)点M在线段AB上 (B)点B在线段AM上 (C)点A在线段BM上 (D)O,A,M,B四点一定共线,5.设a是实数，且 是实数，则a等于（ ） (A) (B)1 (C) (D)2 【解析】选B,6.（2011郑州模拟）已知向量 要得到函数y=sin(2x+ ) 的图象，只需将f(x)的图象（ ） (A)向左平移 个单位 (B)向右平移 个单位 (C)向左平移 个单位 (D)向右平移 个单位,解题提示】先化简f(x)= ，再判断平移方向和距

3、离. 【解析】选C.由已知得f(x)= =2sinxcosx =sin2x，y=sin（2x+ ）=sin2(x+ ）， 只需把f(x)的图象向左平移 个单位,7.（2011潍坊模拟）设A(a,1)，B(2,b)，C(4,5)为坐 标平面上的三点，O为坐标原点，若 方向上 的投影相同，则a与b满足的关系式为（ ） (A)4a-5b=3 (B)5a-4b=3 (C)4a+5b=14 (D)5a+4b=14 【解析】选A.由 方向上的投影相同，可得： 即4a+5=8+5b，4a-5b=3,8.已知 其中m、n是实数，i是虚数单位，则 mni等于（ ） (A)12i (B)12i (C)2i (D)

4、2i 【解题提示】根据复数相等的充要条件，求出m，n. 【解析】选C. 故m2，n1，则mni2i,9.已知向量 =(1,n), =(-1,n)，若2 - 与 垂直，则| |的值为（ ） (A)1 (B) (C)2 (D)4 【解析】选C.2 - =(3,n),由2 - 与 垂直可得： (3,n)(-1,n)=-3+n2=0 | |=2,解析,11.(2011佛山模拟)已知全集U=R，i是虚数单位，集合 M=Z（整数集）和 的关系韦恩（Venn） 图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( ) (A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)无穷个,解析】选B. N=i,-1,-i,2 MN=-1

5、,2.故选B,解析,二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上) 13.若复数z1429i，z269i，其中i是虚数单位，则复数(z1-z2)i的实部为_. 【解析】(z1z2)i(220i)i202i， 故(z1z2)i的实部为20. 答案:20,14.(2011连云港模拟)已知向量 =(2,4), =(1,1).若向 量 （ + ），则实数=_. 【解析】已知向量 =(2,4), =(1,1).向量 + =(2+,4+)， ( + )，则2+4+=0， 实数=3. 答案:3,15.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和 OP2将该平面分割成四个部分、 （不

6、包括边界）.若 且点P落在第部分，则实数a，b满足a_0，b_0(用 “”，“0，b ,16.向量 (cos15，sin15)， (sin15， cos15)，则| - |=_. 【解析】由题设，| |1，| |1， sin(1515) | |2 112(- )3. | | 答案,三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（12分）在OAB中，延长BA到C，使 在OB上取 点D，使 DC与OA交于E，设 用 ， 表示向量,解析】因为A是BC的中点,解析,19.（12分）已知向量 =(2-k,-1), =(1,k). （1）若ABC为直角三角

7、形，求k的值； （2）若ABC为等腰直角三角形，求k的值. 【解题提示】注意按ABC的直角顶点的可能情况进行讨论,解析】（1） =(2-k,-1), =(1,k)， =(k-1,k+1). 若A=90，则 若B=90,则 无解； 若C=90, 则 综上所述，当k=1时，ABC是以A为直角顶点的直角三角形； 当 时，ABC是以C为直角顶点的直角三角形,2）当k=1时， =(1,-1), =(1,1) 当k=-1+ 时,当k=-1- 时， 综上所述，当k=1时，ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,方法技巧】巧用向量解决几何问题 (1)证明线段平行问题，用向量平行（或共线）的充要条件； (2)证明

8、垂直问题，用向量垂直的充要条件； (3)求夹角问题，用向量的夹角公式； (4)求线段的长度，用向量的模,20.(12分)若复数zsin2icos2，且z21 ( 为z的共轭复数)，求,解析,21.（12分）（2011潮州模拟）在直角坐标系中，已知 A（3，0），B（0，3），C（cos,sin）. (1)若为锐角，且 (2)若 求sin2. 【解题提示】求出点C的坐标，用三角函数知识解决,解析】(1,2) =(3-cos,-sin)， =(-cos,3-sin)， 由 =(3-cos)(-cos)+ (-sin)(3-sin)=0， 即3sin+3cos-1=0,sin+cos= 两边平方，得sin2+2sincos+cos2= 即1+sin2= sin2,22.（12分）如图，平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且 （1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程； （2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知 求证:1+2为定值,解题提示】(1)以FM的中点为原点O，线段FM所在直线为y轴建系. (2)设出过A、B两点的直线方程,利用向量相等,坐标法求解或转化相似比求解,解析】（1）方法一：如图，以线段FM的中点为原点O