13空间几何体的表面积与体积学案

1、 高二数学文科备课组学案 必修二第一章 1.3空间几何体的表面积与体积（第1课时）设计人：楚凌霞 使用时间：2012.09.071.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 学习目标 1. 理解和掌握柱、锥、台的表面积、体积计算公式；2. 能运用柱、锥、台的表面积、体积公式进行计算和解决有关实际问题. 学习过程 一、课前准备（预习教材P23 P25，找出疑惑之处）复习：斜二测画法画的直观图中，轴与轴的夹角为_ _，在原图中平行于轴或轴的线段画成与_ _和_ _保持平行；其中平行于轴的线段长度保持_，平行于轴的线段长度_.引入：研究空间几何体，除了研究结构特征和视图以外，还得研究它的表面积和体积.

2、表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？二、新课导学 探索新知探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（下图），你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗？结论： 正方体、长方体是 围成的多面体，其表面积就是 ，也就是展开图的面积.新知1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是其 正四棱锥正四棱台正六棱柱试试1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？ 探究2：圆柱、圆锥、圆台的表面积问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它

3、们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？新知2：（1）设圆柱的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于 ，即 S= .（2）设圆锥的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于 ，即S= .试试2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？（能否看作是个大扇形减去个小扇形呢）你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？ （3）设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，则它的表面积等于 ，即S= .反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？ 典型例题例1 已知棱长为，各面均为等边三角形的四面体，求它的表面积.例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径为20,盆底直径为1

4、5,底部渗水圆孔直径为,盆壁长15.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(取3.14,结果精确到1毫升)? 动手试试练习: 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为，求它的表面积.探究3：主体、锥体与台体的体积引入：初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式（为底面面积，为高），是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？新知：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理)柱体体积公式为： ，（为底面积，为高）锥体体积公式为： ，（为底面积，为高）台体体积公式为： （，分别为上、下底面面积，为高）补充：柱体的高是指 的距离；锥体的高

5、是 的距离；台体的高是指 的距离.反思：思考下列问题比较柱体和锥体的体积公式，你发现什么结论？比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？ 典型例题例1 如图所示，三棱锥的顶点为，是它的三条侧棱,且A在面ABC上的投影为点P，且PC垂直PB，又，求三棱锥的体积.变式：如图(2)，在边长为4的立方体中，求三棱锥的体积.图(2)例2 高12的圆台，它的中截面(过高的中点且平行于底面的平面与圆台的截面)面积为225,体积为，求截得它的圆锥的体积.变式：已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，求截得它的的正六棱锥的体积.小结：对于台体和其对应锥体之间的关系，可通过轴截面中对应边

6、的关系，用相似三角形的知识来解. 动手试试练1. 在中,若将绕直线旋转一周，求所形成的旋转体的体积.练2. 直三棱柱高为6,底面三角形的边长分别为3，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值.小结：求解锥体体积时,要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥(四面体)，它的每一个面都可以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积法，通常运用此法可以求点到平面的距离(后面将会学习)，它会给我们的计算带来方便. 知识拓展 祖暅及祖暅原理祖暅，祖冲之（求圆周率的人）之子，河北人，南北朝时代的伟大科学家. 柱体、锥体,包括球的体积都可以用祖暅原理推导出来.祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的

7、任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.结论: 等底等高的柱体或锥体的体积相等三、总结提升 学习小结1. 棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积计算公式；2. 将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法.3. 柱体、锥体、台体体积公式及应用，公式不要死记，要在理解的基础上掌握；4. 求体积要注意顶点、底面、高的合理选择. 学习评价 当堂检测1. 正方体的表面积是64,则它对角线的长为（ ）. A. B. C. D.2. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）. A. B. C. D.3. 圆柱的高增

8、大为原来的3倍，底面直径增大为原来的2倍，则圆柱的体积增大为原来的（ ） A.6倍 B.9倍 C.12倍 D.16倍4. 已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为,，则它的体积为（ ）.A. B. C. D.45. 一个斜棱柱的的体积是30，和它等底等高的棱锥的体积为_. 课后作业 1. 一个正四棱台的两底面边长分别为,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为（ ）.A. B. C. D. 2. 如果圆锥的轴截面是正三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比是_.3. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为44,母线长为10,则圆台的侧面积为_. 4. 各棱长均为的三棱锥中，任意一个顶点到其对应面的距离为

9、（ ）.A. B. C. D.5. 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是)六角螺帽共重，已知底面是正六边形，边长为12，内孔直径为10，高为10，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14).1.3空间几何体的表面积与体积（第2课时）设计人：楚凌霞 使用时间：2012.09.101.3.2 球的体积和表面积 学习目标 1. 了解球的表面积和体积计算公式；2. 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题. 学习过程 一、课前准备（预习教材P27 P28，找出疑惑之处）复习：柱体包括_ _和_ _,它的体积公式为_ _；锥体包括_和_,它的体积公式为_；台体包括_ _和_ _,它可以看作是

10、大锥体上截去了一个小锥体,所以它的体积公式为_.二、新课导学 探索新知新知：球的体积和表面积球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想(一种很重要的数学方法).经过推导证明：球的体积公式 V= 球的表面积公式 S= 其中，为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径有关. 典型例题例1 木星的表面积约是地球的120倍，则体积约是地球的多少倍? 变式：若三个球的表面积之比为，则它们的体积之比为多少?例2 一种空心钢球的质量是142，外径是5.0，求它的内径. （钢密度7.9）例3 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球)，求证

11、（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.变式：已知正方体的棱长为，分别求出它的内切球、外接球及与各棱都相切的球半径.例4：已知正三棱锥的棱长为，分别求出它的内切球、外接球的半径。小结：两个几何体相接是指一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上；两个几何体相切是指一个几何体的各面与另一个几何体的各面相切.解决几何体相切或相接问题，要利用截面来展现这两个几何体之间的相互关系，从而把空间问题转化为平面问题来解决. 动手试试练1.长方体的一个顶点上的三条棱长为3、，若它的八个顶点都在同一个球面上，求出此球的表面积和体积.练2. 如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何

12、体的表面积和体积.BCAD452三、总结提升 学习小结1. 球的表面积及体积公式的应用； 2. 空间问题转化为平面问题的思想. 知识拓展 极限的思想推导球的表面积公式过程：如图,将球的表面分成个小球面，每个小球面的顶点与球心连接起来，近似的看作是一个棱锥，其高近似的看作是球的半径.则球的体积约为这个小棱锥的体积和，表面积是这个小球面的面积和.当越大时，分割得越细密，每个小棱锥的高就越接近球的半径，于是当趋近于无穷大时(即分割无限加细)，小棱锥的高就变成了球的半径(这就是极限的思想).所有小棱锥的体积和就是球的体积.最后根据球的体积公式就可以推导出球的表面积公式. 学习评价 当堂检测1. 如果球

13、的半径扩大倍，则球的表面积扩大（ ）. A.倍 B.倍 C.倍 D.8倍2. 有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为，球直径为，正方体的棱长为，则（ ）. A. B. C. D.3. 记与正方体各个面相切的球为，与各条棱相切的球为，过正方体各顶点的球为则这3个球的体积之比为（ ）. A.1:2:3 B.1: C.1: D.1:4:94. 已知球的一个截面的面积为9，且此截面到球心的距离为4，则球的表面积为_.5. 把一个半径为的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的倍，则这个圆锥的高应为_. 课后作业 1. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此