指数与指数幂的运算优秀教案

1、2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时） 第一课时 根式 教案目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念； 2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质； 3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。 教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解 教案方法：学导式 教案过程： （I）复习回顾 引例：填空 10n?*n(a?0,n?N)?a ）（1 ； a（=1a； )Nnaa?a（?)?0*naa个n mnmnnnm?mnnna)a(? (n Z) (m,n Z)(2) ； (m,n Z)； baab()?a?a?a9?_9?_0?

2、_ -； （3） ； (a)?_(a?0)； 4（） _?a22（II）讲授新课 1 / 15 引入：1.nm）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为2）填空（1），（1a?aannm?nmnmnmnm?可看作,所以可看作又因为可以归入性质；aa?)(a?aaa?aa bnaannnnnm?()这是为下面学习分可以归入性质）,(n，所以Z)aa?ba(ab)? nbb次根式数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n （）的概念。Nn?* 4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：），（2）填空（322? 的平方根-2叫 42，（-2） =4 2 =4 33? 的立方根）叫=

3、-8-82-2=8 2叫8的立方根；（-2n5? n次方根2叫a次方根 2=a 2的=32 32 2叫的5523=3228，则的平方根；若2的立方根；若=8，2叫做分析：若2=4，则2叫4n=a，则2叫a2的n次方根。由此，可有： 次方根，类似地，若2叫做32的52.n次方根的定义：（板书） n?N?axn?。 ， （th root）,其中且一般地，如果nx，那么叫做a的次方根n1n? nax?是否正确？ a表示呢？如何用：问题1n次方根的定义给出了，x分析过程： 6的a3次方根，的次方根，的次方根的概念，分别求出根据例1n273-325次方根。（要求完整地叙述求解过程） 2 / 15 35的

4、，所以-2是-32解：因为327=27，所以3是的3次方根；因为=-32)2(?5 次方根；62 的3因为，所以a次方根。是aa?(a)632次方根是正数，为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n结论1：当n次方根可表的n次方根是负数负数的n,任何一个数的方根都是唯一的。此时，anax? 。示为353a?a2?3227?3 从而有：，26 次方根。的442根据n次方根的概念，分别求出16的次方根，-81例416)2?(? 4次方根；，所以2和解：因为，-2是16的16?24 4次方都是非负数，不会等于因为任何实数的4-81，所以次方根。-81没有次方根有两个，有下列性质：正数的n结论2：

5、当n为偶数时（跟平方根一样）n次方根可表示为：n此时正数负数没有n次方根。a的 且互为相反数，)a?0?a(nnaa? 次方根。表示其中a表示a的正的n次方根，的负的n 的4次方根。次方根，根据n次方根的概念，分别求出0的30例3n3次方根，0的0的4为奇数，还是偶数，都有解：因为不论n0次方=0，所以根均为0。 nna,0即?0当03结论：的a=00次方根是n，记作时也有意义。 3 / 15 次方根的性质：这样，可在实数范围内，得到n （板书）3n次方根的性质：?n1?2k?a,n?na*)k?Nx?(叫根式， n叫根指数，a叫被 其中 ?n?a,n?2k?开方数。 注意：根式是n次方根的一

6、种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。 4.根式运算性质：（板书） nn（a）?a，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。 问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？ 542， ，例4：求，5)?)(?23(32343由所得结果，可有：（板书） a,n为奇数；?nn?a ?|a|,n为偶数?性质的推导如下： 4 / 15 性质推导过程：nnnn 当n为奇数时，a)a得(?x?由a,xa?nnnn 当n为偶数时，a得(?aa,由x)?axnn 综上所述，可知：a(?a) 性质推导过程：nn n为奇数时，由n次方根定义得：当a?ann n为偶数时，由n

7、次方根定义得：当a?annnn 则a?|?a?|a|为奇数na,?n?)(an? 综上所述：为偶数n|，|a? 注意：性质有一定变化，大家应重点掌握。 III）例题讲解（ 1求下列各式的值：例23434?）（2）10）1ab（） （4） （）（8（）33（）（)a(?b2 为偶数的运算。n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n根指数注意： ）课堂练习（III：求下列各式的值5 / 15 532? (4) (3)(2) (1) )?3(2)3(?265?24 ）课时小结（IV正确运用根式的运算性质解大家要能在理解根式概念的基础上，通过本节学习， 题。 ）课后作业（V 、书面作业：1 求下列各式的

8、值a.1?x327）（1a2)(6）4）（?（32 )4)(2x?3题。组题第12.1 Ab.书P习题 82 、预习作业：2P P。a.预习内容：课本6259 b.预习提纲： ）根式与分数指数幂有何关系？（1 ）整数指数幂运算性质推广后有何变化？2（ 6 / 15 第二课时 分数指数幂 教案目标： (一)教案知识点 1.分数指数幂的概念. 2.有理指数幂的运算性质. ( 二)能力训练要求 1.理解分数指数幂的概念. 2.掌握有理指数幂的运算性质. 3.会对根式、分数指数幂进行互化. (三)德育渗透目标 培养学生用联系观点看问题. 教案重点： 1.分数指数幂的概念. 2.分数指数幂的运算性质.

9、教案难点： 对分数指数幂概念的理解. 1.在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律. 2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法. 教案过程： （）.复习回顾 师上一节课，我们一起复习了整数指数幂的运算性质，并学习了根式的运算性质. 7 / 15 整数指数幂运算性质nmnm+nmaaa (1)根式运算性质=(Z,) 为奇数a,n?nnnmmn?anama Z(2)()=(,) ?为偶数a,n?nnnnbaba) (3)(Z)= n，am. ，师

10、对于整数指数幂运算性质(2)，当是分数时也成立0nma是分数也成立这，课本采用了假设性质说明：对于这一点，(2)对,0(，为下一步利用根式运算性质推导正分数(2)种方法，我认为不妨先推广了性质.) 指数幂的意义作准备nna与根式的根指师对于根式的运算性质，大家要注意被开方数的幂指数n. 数的一致性. 接下来，我们来看几个例子a 0例子：当时10 221055 aa?(a)?a?55 12412343 aa)?a(?a33 223323 a)?aa?(33 112 a(a?a)?22 师上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子、用到了推广的8 / 15 .整数指数幂运算性质(2).因此，我们可

11、以得出正分数指数幂的意义 讲授新课（）. 正数的正分数指数幂的意义1.m mn*nnamaa?1) , (N0,且n师大家要注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化. 另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 2.规定(板书) m1?*nnma且， (1)0,N,1) ?an man 0. (2)0的正分数指数幂等于 . 的负分数指数幂无意义(3)0 .师规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数a即对于任意有当时，0整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用. r,s,均有下面的运算性质理数) 板书3.有理

12、指数幂的运算性质(srsr+saaaar) (=,0,(1)Q rrssaasra) (Q0,(2)()= rrrraababb) (3)(0, (=)0,Q 9 / 15 PaaP表示一个确定的实数，上述有理0，师说明：若是一个无理数，则 指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.接下来，大家通过例题来熟悉这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫. 一下本节的内容 4.例题讲解213161? 3?),(100,()8,. 例2 求值： 342814分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质. 222?332 ?224?8?(2)? 解：3331111)?2?(12? ?(

13、10)?10010?10222 101?3?2?3(?2)?(?3)6 642)?()?(22? 433162227)?4?( ?3?)()?()?44 81338 用分数指数幂的形式表示下列各式：例3 2323,aaa?,aa?aa0) (式中115?222 a?a?a?a?aa222 解：2211?3 3233a?a?aaa?a333 31311 a?aa?)?()a?aa(22224师为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质，我们来做一下练习题. .课堂练习 10 / 15 P 练习课本51a) (用根式的形式表示下列各式1.2313? aa,a,a,3554 1 5a?

14、a 解：53 34aa?431? 3?5?a?a5 35a21? 2?3?aa323a 2.用分数指数幂表示下列各式： 233）（ (1) （2x)(a?b4 24）（ 3）4 （）（)(m?n)n(m?3 3m56 (5)）（ (6)qp? m2 23x?x 解：(1)33 3 (2)a?b)(a?b?(442 2 (3)?n?(mn(m?)3314 (4)（）)m(?m?)n(?n211 / 15 565135656 (5)q?p?)(p?q?pqp?q(p?0)?2222513m?3 (6)m?m?m?22m 3.求下列各式的值：23333625? )()(2725 ）；（）；（3(1)

15、4；（2）3222 449346312.523?1 6（5）； （9?812333?232 125)25?(5?5?5? (1)解：222222?323 9?27?(3)?3?3 (2) 3333333216636666?2 32?()?()?()?()? ）3（222 3343774977333382552555)?2?(323? ?()?()?()?)?()?222 (4) 3125222245222113?2?444442443?3?381?9?33?(3)332322 (5) 122111 44633?33)(?3?33?()?()?3?633444 1113 263)()?.?231

16、51223(?32?633 (6) 212 / 15 1111111111? )33?3?3?2(2?3?2(2?2)?3?26633333322 11111?1? 63?2?2?3?63332. 要求：学生板演练习，做完后老师讲评 .课时小结（）掌握分数指数幂与通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，师. 根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质 .课后作业（）P （一）1.课本习题练53 2.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) 34aa?aaa （ (1)2） 23 ） （4 （3）)a?b()(a?b34 223332）6 （ （5） baab?)?(ab4 11171

17、? 34a?a?a?a?a?a ）解：（14331247111111111? (2) aa?a?a?aa?(a?)?aaaa?848824222222 (3) )a?b(a?b)?3333 ）（4)?b?(ab(a?)441 22223)(b?aba?abb?a （5）313 / 15 123333233 （）)?b?b)?(a(a?b)?(a244 3.求下列各式的值： 123641251?()10000）4）；(1) ； （2）（ ； （3)(234222749 111?22 解：（）1111?(11)?22221112788864)(?2? 1?)?()?()() （2）222 2849777333?)?4?(?3?4 001?10010000.?(10)?10? (3)4442222395551255)?3?( 2?3()?()?()?)()?( (4)3333 325327333 ) 保留4位有效数字(4.用计算器求值214 311?873332158?67 64（）；