用不动点法求数列通项(1)

1、用不动点法求数列的通项定义：方程f(x) x的根称为函数f(x)的不动点利用递推数列f (x)的不动点，可将某些递推关系anf (an 1)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法1：若f(x) ax b(a 0,a1), p是f(x)的不动点，an满足递推关系anf (an 1), (n 1)，则 anpa(an 1 p)，即an p是公比为a的等比数列.证明:因为p是f(x)的不动点apap 由 ana an 1 b 得 an p aan 1 b p a(an 1 p)所以anp是公比为a的等比数列.定理2:设 f(x) ax-(c 0, ad bc 0)， cx

2、dan满足递推关系an f (an1), n 1，初值条件aif(ai )(i)：若af (x)有两个相异的不动点p, q，则anan 1an 1(这里a pc)a qc(2)：若f (x)只有唯一不动点 p，则(这里证明:f(x) x得f(x) 业上cx d(1)因为p,q是不动点，所以2cp2eqan(d(dan 1所以ex2(da)xa)p ba)q bpd b a pc qd b a qc，所以an anqaan 1 b can 1 d aan 1 b canpc令k aa qcan则an(apc)an 1b pdpc(a qc)an 1 b qdan 1 qa qcpd1a pc q

3、d ban 1a qcana pc an 1 p a qc a. 1 q(2)因为p是方程cx2(da)x b 0的唯一解，所以cp2(d a)p所以b2pd cpap ,anaan 1 b can 1 d(acp)an 1 b pdcan 1(a cp)an 1can 12cp ap(a cp)(an 1 p)dcan 1所以ana cpcan 1an 1a cpc(an 1 P)an 1 pd cpcp王，则a d an p例2:定理an设an满足 a11,an 1数列an满足下列关系:23:设函数f(x) aX-exa cpa cpan 1p2can 1 p a danan2 -,n，求

4、数列an的通项公式a1bx2a, anc(a22a 0,e,a 0，求数列an的通项公式0)有两个不同的不动点X1, X2,且由f (un)确定着数列un,那么当且仅当b 0,eUn 1X1Un 1X2UnX1)2X2证明：xk是f (x)的两个不动点axk2 bxkc2 ,Xk-即 c Xk f (e a)XkbXk (k 1,2)exk fUn 12a时,2un 1为aunbuncx1 (eqf)2Un 1X2aunbUncx? (egf)2aun(b ex)un c x f2aun(b ex?)un c 屜 f22aun(b ex)un (e a)22aun(b ex?)un (e a)

5、x2bx2于是,山1 X1un 1X2unX22222aun(bexjun(ea)bx1un2x.(unx12222aun(bex2)un(ea)x2bx2un2x2unx22unb ex1aun2(e a)X1bx12unb ex2una(e a)x22 bx2un2un2XQn2x?un2X1X22b exj2x1ab ex2a2x2b (2 a e)x10b (2 a e)x201xi0方程组有唯一解b 0,e 2a1X2例3：已知数列an中,ai 2,an 1an2aT，nN*,求数列an的通项其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题：例4：已知a10,

6、 ai1 且 an 142an6a n2n1,求数列an的通项4an (an1)作函数为f(x)x4 6x24x(x21T解方程f(X)x得f (x)的不动点为X11, X21,X33 .3 i,X4几取p 1,q31,作如下代换:anan 14an6an24an(an 1)an4 6an214an(an232an4an6an32an4a n6a n4an 14an 1(汁逐次迭代后1)4n 1(a1 1)14 11)44n 1(a1 1)已知曲线Cn : x2 2nx y20(n1,2,|) 从点P( 1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn0)的切线ln，切点为巳(Xn,yn) (1)求数列X

7、n与yn的通项公式;(2)证明:X1 X3 X5III设P,q为实数,是方程X2n 1pxYnq 0的两个实根，数列Xn满足X12X2P q,XnpXnqXn 23,4,)q ； (2)求1数列xn的通项公式；(3)若p 1, q，求xn的前n项和S 4已知函数f（x） X2 X 1 , 是方程f （x）0的两个根（）,f（X）是f（X）的导数，设內1 , aman丄虫（n 1,2, ） f （an）（1 ）求，的值；(2)证明：对任意的正整数n ,都有an;(3)记bnln an(nan1,2,p，求数列bn的前n项和Sn13陕西文 21 .(本小题满分12分）已知数列 an满足，an an 1*ai=1-a2 2,an+ 2= ,n N 2令bn an 1 an，证明：bn是等比数列；(n)求a.的通项公式。山东文20.（本小题满分12