两向量的向量积

1、二、两向量的向量积,一、两向量的数量积,7.2 数量积 向量积,一、两向量的数量积,设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2. 以s表示位移,数量积的物理背景,由物理学知道, 力F所作的功为 W|F|s|cos , 其中 为F与s的夹角,对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即 ab|a|b|cos,数量积的定义,根据数量积, 力F所作的功W就是力F与位移s的数量积, 即WFs,一、两向量的数量积,数量积与投影 由于|b|cos|b|cos(a, b,当a0时, |b|cos(a, b)是向量b在向量a的方向上的投影

2、, 于是 ab|a|Prjab. 同理, 当b0时, ab|b|Prjba,所以,对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即 ab|a|b|cos,数量积的定义,一、两向量的数量积,数量积的性质 (1) aa|a|2. (2) 对于两个非零向量 a、b, 如果 ab0, 则 ab; 反之, 如果ab, 则ab0. 如果认为零向量与任何向量都垂直, 则 abab0,对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即 ab|a|b|cos,数量积的定义,一、两向量的数量积

3、,数量积的运算律 (1)交换律: abba; (2)分配律: (ab)cacbc,3)(a)ba(b)(ab), (a)(b)(ab), 其中、为数,对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即 ab|a|b|cos,数量积的定义,一、两向量的数量积,例1 试用向量证明三角形的余弦定理,要证c2=a2+b2-2abcosq,则有 ca-b, 从而 |c|2cc(a-b)(a-b) aa+bb-2ab |a|2+|b|2-2|a|b|cos(a, b), 即 c2a2+b2-2abcosq,证明,在DABC中,BCAq, |CB|

4、=a, |CA|=b, |AB|=c,提示,数量积的坐标表示,aaxiay jazk, bbxiby jbzk, ab(axiay jazk)(bxiby jbzk) axbxiiaxbyijaxbzik aybx jiayby jjaybz jk azbxkiazbykjazbzkk axbxaybyazbz,abaxbxaybyazbz,设a(ax ay az ) b(bx by bz ) 则,数量积的坐标表示,abaxbxaybyazbz,设a(ax ay az ) a(bx by bz ) 则,设(a b) 则当a0、b0时, 有,向量夹角余弦的坐标表示,提示 a b|a|b|cos,

5、例2 已知三点M(1, 1, 1)、A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求AMB,从M到A的向量记为a, 从M到B的向量记为b, 则AMB 就是向量a与b的夹角,因为 ab1110011,b(2, 1, 2)(1, 1, 1,a(2, 2, 1)(1, 1, 1,1, 1, 0,1, 0, 1,解,从而, 所求液体的质量为 P=rAvn,体积为 A|v|cosq=Avn,这柱体的高为 |v|cosq,解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体,例3 在流速为(常向量)v的液体内有一个平面区域A, n为垂直于A的单位向量, 计算单位时间内经过这区域流向n所指

6、一方的液体的质量P(液体的密度为r,二、两向量的向量积,设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出: c的模|c|a|b|sin(a, b); c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则从a转向b来确定,向量积的定义,右手规则,那么, 向量c叫做向量a与b的向量积, 记作ab, 即 cab,向量积的定义,二、两向量的向量积,向量a与b的向量积cab: |c|a|b|sin(a,b); c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则从a转向b来确定,向量积的性质 (1) aa0; (2) 对于两个非零向量a、b, 如果ab0, 则a/b; 反之, 如果a/b, 则ab0. 如果

7、认为零向量与任何向量都平行, 则 a/bab0,在空间直角坐标系中 iijjkk? ij? jk? ki,1) 交换律: abba; (2) 分配律: (ab)cacbc; (3) (a)ba(b)(ab)(为数,向量积的运算律,讨论,提示,iijjkk0, ijk, jki, kij,向量积的坐标表示,设aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 则,提示,ab,aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k,azbxkiazbykj,ab(axiay jaz k)(bxiby jbzk,axbyijaxbzik,aybx jiaybz jk,aybzazby)i(

8、azbxaxbz)j(axbyaybx)k,iijjkk0, ijk, jki, kij,aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi,利用三阶行列式符号, 上式可写成,记忆方法,aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k,向量积的坐标表示,设aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 则,ab,aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k,例4 设a2i3jk bij3k , 计算ab,设aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 则,aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k,解,解,例5 已知 求OAB的面积,根据向量积的几何意义 表示以 和,为邻边的平行四边形的面积 于是OAB的面积为,因为,所以三角形OAB的面积为,提示,例6 设刚体以等角速度绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度,刚体绕l轴旋转时, 我们可以用在l轴上的一个向量w表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定出: 即以右手握住l轴, 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时, 大姆指的指向就是w的方向,解,设线速度为v, 那么由物理学可知 |v|w|a|w|r|sin,a|r|sin,v垂直于w与r, 且v的指向是使w、r、v符合右手规则.