第四章微讲座(四)求极值的六种方法

1、微讲座(四)求极值的六种方法从近几年高考物理试题来看，考查极值问题的频率越来越高，由于这类试题既能考查考生对知识的理解能力、推理能力，又能考查应用数学知识解决问题的能力，因此必将受到高考命题者的青睐.下面介绍极值问题的六种求解方法.一、临界条件法对物理情景和物理过程进行分析，利用临界条件和关系建立方程组求解，这是高中物理中最常用的方法(2014高考安徽卷)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30，g取10 m/s2.则的最大

2、值是()A. rad/sB. rad/sC1.0 rad/s D0.5 rad/s解析当物体转到最低点时，恰好不滑动的临界条件为：物体受到静摩擦力达到最大值，即FfFfm，此时转盘的角速度最大，受力如图所示(其中O为对称轴位置)由沿斜面的合力提供向心力，有Ffmmgsin 30m2R由题意知：FfmFfmgcos 30解得：1.0 rad/s，C正确答案C二、二次函数极值法对于二次函数yax2bxc，当a0时，y有最小值ymin，当a0时，y有最大值ymax.也可以采取配方法求解一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自6 m/s的

3、速度匀速驶来，从旁边超过汽车试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？解析设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则自行车的位移：x自v自t汽车的位移：x汽at2则t时刻两车的距离xv自tat2代入数据得：xt26t当t s2 s时，x有最大值xmax m6 m.对xt26t也可以用配方法求解：x6(t2)2显然，当t2 s时，x最大为6 m.(说明：此题也可用临界法求解)答案见解析三、三角函数法某些物理量之间存在着三角函数关系，可根据三角函数知识求解极值(2013高考山东卷)如图所示，一质量m0.4 kg的小物块，以v02 m/s的初速度，在与斜

4、面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L10 m已知斜面倾角30，物块与斜面之间的动摩擦因数.重力加速度g取10 m/s2.(1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小；(2)拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？解析(1)设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得：Lv0tat2vv0at联立式，代入数据解得：a3 m/s2，v8 m/s.(2)设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为Ff，拉力与斜面之间的夹角为，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得：Fcos mgsin FfmaFs

5、in FNmgcos 0又FfFN联立解得：F由数学知识得：cos sin sin(60)由式可知对应的F最小值与斜面的夹角30联立式，代入数据得F的最小值为：Fmin N.答案(1)3 m/s28 m/s(2)夹角为30时，拉力最小，为 N四、图解法此种方法一般适用于求矢量极值问题，如动态平衡问题，运动的合成问题，都是应用点到直线的距离最短求最小值质量为m的物体与水平地面间的动摩擦因数为，用图解法求维持物体做匀速运动的最小拉力解析由知，不论Ff、FN为何值，其比值恒定由图知tan ，即F的方向是确定的由平衡条件推论可知：mg、F、F构成闭合三角形显然，当FF时，F最小Fminmgsin mg

6、.(说明：此题也可用三角函数法求解)物体受力分析如图由平衡条件得：Fcos FfFsin FNmg又FfFN联立得：F令sin ，cos 则F当sin()1时，Fmin.答案五、均值不等式法任意两个正整数a、b，若ab恒量，当ab时，其乘积ab最大；若ab恒量，当ab时，其和ab最小小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度

7、大小v2.(2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？解析(1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有竖直方向dgt2，水平方向dv1t解得v1由机械能守恒定律有mvmvmg得v2 .(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是球受到绳的最大拉力大小球做圆周运动的半径为Rd由圆周运动向心力公式，有FTmg得FTmg.(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变，有FTmgm得v3 绳断后球做平抛运动，竖直位移为dl，水平位移为x，时间为t1有dlgt，xv3t

8、1得x4当l时，x有最大值，xmaxd.答案见解析六、判别式法一元二次方程的判别式b24ac0时有实数根，取等号时为极值，在列出的方程数少于未知量个数时，求解极值问题常用这种方法(原创题)如图所示，顶角为2的光滑绝缘圆锥，置于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，现有质量为m，带电量为q的小球，沿圆锥面在水平面内做圆周运动，求小球做圆周运动的最小半径解析小球受力如图，设小球做圆周运动的速率为v，轨道半径为R.由牛顿第二定律得：水平方向：qvBFNcos 竖直方向：FNsin mg0两式联立得：qvBmgcot 0因为速率v为实数，故0即(qB)24mgcot 0解得：R故最小半径为：Rmin.

9、答案学生用书P781.(单选)(2015广州模拟)如图所示，船在A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37角，水流速度为4 m/s，则船从A点开出的最小速度为()A2 m/sB2.4 m/sC3 m/s D3.5 m/s解析：选B.AB方向为合速度方向，由图可知，当v船AB时最小，即v船v水sin 372.4 m/s，B正确2(单选)如图所示，在倾角为的斜面上方的A点处放置一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上木板与竖直方向AC所成角度为，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则与角的大小关系应为()A BC D2解析：选B.如图所示，在竖直线AC上选取一点O，以适当的

10、长度为半径画圆，使该圆过A点，且与斜面相切于D点由等时圆知识可知，由A沿斜面滑到D所用时间比由A到达斜面上其他各点所用时间都短将木板下端与D点重合即可，而COD，则.3(原创题)如图，有几个底边长度均为L、倾角不同的光滑斜面，将一物体从斜面顶端由静止释放滑到底端，当倾角为多少时用时最短？最短时间为多少？解析：斜面长度为s.物体的加速度为agsin .由sat2得：t当45时，t最小，tmin2.答案：4524.一质量为m的小球在光滑的水平面上以速度v0匀速运动，从t0时刻开始小球受到恒力F作用，F与v0之间的夹角如图所示求：(1)小球速度的最小值；(2)小球速度最小时的位移的大小解析：(1)如

11、图，将v0分解为平行于F方向的v0sin 和垂直于F方向的v0cos ，因小球在垂直于F方向的速度不变，当平行于F方向的分速度为0时v最小，则vminv0cos .(2)小球从t0时刻到速度达到最小值的过程可看做初速度为v0cos 的反方向的类平抛运动过程，则小球的加速度大小为a所用时间t小球在垂直于F方向的位移为xv0cos t平行于F方向的位移为yat2故总位移为l解得l.答案：见解析5.(原创题)一人在距公路垂直距离为h的B点(垂足为A)，公路上有一辆以速度v1匀速行驶的汽车向A点行驶，当汽车距A点距离为L时，人立即匀速跑向公路拦截汽车，求人能拦截住汽车的最小速度解析：法一：设人以速度v

12、2沿图示方向恰好在C点拦住汽车，用时为t.则Lhtan v1tv2t整理得：v2由数学知识知：v2min .法二：选取汽车为参照物人正对汽车运动即可拦住汽车，即人的合速度方向指向汽车其中一分速度大小为v1，另一分速度为v2，当v2与合速度v垂直时，v2最小，由相似三角形知识可得：v2.答案：6甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L111 m处，乙车速度v乙60 m/s，甲车速度v甲50 m/s，此时乙车离终点线尚有L2600 m，如图所示若甲车加速运动，加速度a2 m/s2，乙车速度不变，不计车长求：(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？(2)到达终点时甲车能

13、否超过乙车？解析：(1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，即v甲at1v乙，得t1 s5 s甲车位移x甲v甲t1at275 m乙车位移x乙v乙t1605 m300 m此时两车间距离xx乙L1x甲36 m.(2)甲车追上乙车时，位移关系x甲x乙L1甲车位移x甲v甲t2at，乙车位移x乙v乙t2，将x甲、x乙代入位移关系，得v甲t2atv乙t2L1，代入数值并整理得t10t2110，解得t21 s(舍去)或t211 s，此时乙车位移x乙v乙t2660 mL2故到达终点时甲车不能超过乙车答案：见解析7(原创题)如图所示，电动势为E、内阻为r的电源给一可变电阻供电，已知可变电阻变化范围为0Rm，且Rmr.当R为何值时功率最大，最大功率为多少？解析：设可变电阻为R，则IPI2RR配方法：P显然，当Rr时，功率最大，Pmax判别式法：将式整理成关于R的二次方程PR2(2PrE2)RPr20由于R为实数，故0即(2PrE2)24P2r20解得：P最大值为Pmax，代入式得Rr.答案：见解析8.质量分别为M、m的斜面体A、B叠放在光滑水平面上，斜面体倾角为，两者之间的动摩擦因数为(tan )，今用水平外力F推B，使两者不发生滑动，求F的取值范围，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力(已知：m3 k