高考数学一轮复习 解答题增分专项3 高考中的数列 理 北师大版

1、解答题增分专项三高考中的 数列,从近五年高考试题分析来看,高考数列解答题主要题型有:等差、等比数列的综合问题;证明一个数列为等差或等比数列;求数列的通项及非等差、等比数列的前n项和;证明数列型不等式.命题规律是解答题每两年出现一次,命题特点是试题题型规范、方法可循、难度稳定在中档,题型一,题型二,题型三,题型一等差、等比数列的综合问题 突破策略一公式法 对于等差、等比数列,求其通项及求前n项的和时,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可. 例1已知等差数列an的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列. (1)求an的通项公式; (2)求a1+a4+a7+a3n

2、-2,题型四,题型一,题型二,题型三,解:(1)设an的公差为d.由题意, =a1a13, 即(a1+10d)2=a1(a1+12d). 于是d(2a1+25d)=0. 又a1=25,d=-2(d=0舍去).故an=-2n+27. (2)令Sn=a1+a4+a7+a3n-2. 由(1)知a3n-2=-6n+31, 故a3n-2是首项为25,公差为-6的等差数列,题型四,题型一,题型二,题型三,对点训练1(2015南宁模拟)等比数列an中,已知a1=2,a4=16. (1)求数列an的通项公式. (2)若a3,a5分别为等差数列bn的第4项和第16项,试求数列bn的通项公式及前n项和Sn. 解:

3、(1)设an的公比为q, 由已知得16=2q3,解得q=2.an=2n. (2)由(1)得a3=8,a5=32,则b4=8,b16=32. 设bn的公差为d,则有 所以bn=b1+(n-1)d=2+(n-1)2=2n. 数列bn的前n项和,题型四,题型一,题型二,题型三,突破策略二转化法 无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形、整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列的通项公式或求和公式解决问题,例2(2015乌鲁木齐诊断)已知等比数列an的前n项和为Sn,a1=3,且3S1,2S2,S3成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=log3an,求T

4、n=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+b2n-1b2n-b2nb2n+1,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,对点训练2设an是公比大于1的等比数列,Sn为数列an的前n项和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)令bn=ln a3n+1,n=1,2,求数列bn的前n项和Tn,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型二证明数列为等差或等比数列 突破策略一定义法 用定义法证明一个数列是等差数列,常采用的两个式子an-an-1=d(n2)和an+1-an=d,前者必须加上“n2”,

5、否则n=1时a0无意义;在等比数列中也有:n2时,有 (常数q0),或nN+时,有 (常数q0). 例3在等比数列an中,a11,公比q0,设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0. (1)求证:数列bn是等差数列; (2)求数列bn的前n项和Sn及数列an的通项an,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,对点训练3已知等差数列an的公差为2,其前n项和Sn=pn2+2n,nN+. (1)求p的值及an; (2)在等比数列bn中,b3=a1,b4=a2+4,若等比数列bn的前n项和为Tn,求证:数列 为等比数列,1)解:由已知a1=S1=p+2,

6、S2=4p+4, 即a1+a2=4p+4,a2=3p+2. 由已知a2-a1=2,p=1,an=2n+1,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,突破策略二递推相减化归法 对已知数列an与Sn的关系,证明an为等差或等比数列的问题,解题思路为:由an与Sn的关系递推出n为n+1时的关系式,两关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明. 例4设数列an的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(nN+),其中m为常数,且m-3. (1)求证:an是等比数列; (2)若数列an的公比q=f(m),数列bn满足b1=a1,bn= f(bn-1)(nN+,n

7、2),求证: 为等差数列,并求bn,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,对点训练4已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数. (1)证明:an+2-an=; (2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由,1)证明:由题设,anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1, 两式相减,得an+1(an+2-an)=an+1. 由于an+10,所以an+2-an,题型四,题型一,题型二,题型三,2)解:由题设,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1. 由(1)知,a3=+1. 令2a2=a1+a3, 解得=4. 故

8、an+2-an=4. 由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3; a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在=4,使得数列an为等差数列,题型四,题型一,题型二,题型三,题型三非等差、等比数列的求和问题 突破策略一错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,即和式两边同乘以等比数列bn的公比,然后作差求解. 例5已知an是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根. (1)求an的通项公式; (2)求数列 的前n项

9、和,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,对点训练5已知等差数列an的前3项和为6,前8项和为-4. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=(4-an)qn-1(q0,nN+),求数列bn的前n项和Sn. 解:(1)设等差数列an的公差为d. 由已知得 故an=3+(n-1)(-1)=4-n,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,突破策略二裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.利用裂项相消法求和时,要注意抵消后所剩余的项是前后对称的,例6(2015课标全国,理17)Sn为数列an的前n项和

10、.已知an0, +2an=4Sn+3. (1)求an的通项公式; (2)设bn= ,求数列bn的前n项和,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,对点训练6等比数列an的各项均为正数,且2a1+3a2=1, =9a2a6. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列 的前n项和,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型四证明数列型不等式 突破策略一求和放缩法 要证明关于一个数列的前n项和的不等式,如果这个数列的前n项和容易求出,证明的方法是先求出数列的前n项和再用放缩法证明不等式. 例

11、7已知数列log2(an-1)(nN+)为等差数列,且a1=3,a3=9. (1)求数列an的通项公式,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,突破策略二裂项放缩法 裂项求和与放缩法的结合,根据题目的结构,有时先裂项求和后,再用放缩法证明不等式;有时先用放缩法构造裂项求和,再求和时消去中间的项,求和后有时还需再结合其余条件进行二次放缩. 例8设Sn为等差数列an的前n项和,已知S3=a7,a8-2a3=3. (1)求等差数列an的通项公式,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,对点

12、训练8(2015合肥质检)已知函数f(x)=x+ (x0),以点(n,f(n)为切点作函数图象的切线ln(nN+),直线x=n+1与函数y=f(x)图象及切线ln分别相交于An,Bn,记an=|AnBn|. (1)求切线ln的方程及数列an的通项公式; (2)设数列nan的前n项和为Sn,求证:Sn1,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,突破策略三通项放缩法 先对数列的通项进行放缩,然后对数列型不等式的左边求和,最后再结合其余条件进行二次放缩用于解决和式不等式问题. 例9已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,对点训练9设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且Sn满足 -(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,nN*. (1)求a1的值; (2)求数列an的通项公式; (3)证明:对一切正整数n,有,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,1.解决等差、等比数列的综合问题时,重点在于读懂题意,灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题