常微分方程初值问题的数值解法_第1页
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文档简介

1、常微分方程初值问题的数值解法,一阶常微分方程初值问题指的数值解法,1 欧拉法,1)欧拉法 根据导数的定义离散化之后，有,代入常微分方程，并构造迭代系列得,2)隐式欧拉法,代入常微分方程，并构造迭代系列得,隐式欧拉法的求解: 利用迭代的思路进行,中点欧拉法、改进的欧拉法,3)中点欧拉法,代入常微分方程，并构造迭代系列得,4)改进的欧拉法,欧拉法例题,在区间0，1上取步长h=0.2求解如下的常微分方程,解：按照欧拉法的计算公式，分别得到如下的函数值,建立高精度的单步递推格式,单步递推法的基本思想是从 ( xi , yi ) 点出发，以某一斜率沿直线达到 ( xi+1 , yi+1 ) 点。欧拉法及

2、其各种变形所能达到的最高精度为2阶,斜率 一定取K1 K2 的平均值吗,步长一定是一个h 吗,2 龙格 - 库塔法 /* Runge-Kutta Method *,2 Runge-Kutta Method,首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在 的前提假设下，使得,Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开,Step 2: 将 K2 代入第1式，得到,2 Runge-Kutta Method,Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较,要求 ，则必须有,这里有 个未知数， 个方程,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式,注意到， 就是改进的欧拉法,Q: 为获得更高的精度，应该如何进一步推广,其中i ( i = 1, , m )，i ( i = 2, , m ) 和 ij ( i = 2, , m; j = 1, , i1 ) 均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似,2 Runge-Kutta Method,最常用为四级4阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */,R-K例题,用R-K法求解方程的解

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