高考数学大一轮复习 2.6对数与对数函数 理 苏教版

1、2.6对数与对数函数,数学 苏（理,第二章 函数概念与基本初等函数,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1对数的概念 如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数,xlogaN,a,N,2对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a0且a1，M0，N0，那么 loga(MN) ； loga ； logaMn (nR)； . (2)对数的性质 ；logaaN (a0且a1,logaMlogaN,logaMlogaN,nlogaM,logaM,N,N,3)对数的重要公式 换底公式： (a，b均大于零且不等于1)；

2、 logab ，推广logablogbclogcd,logbN,logad,3对数函数的图象与性质,0，,R,1,0,1,0,y0,y0,y0,y0,增函数,减函数,4.反函数 指数函数yax与对数函数 互为反函数，它们的图象关于直线 对称,yx,ylogax,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若log2(log3x)log3(log2y)0，则xy5.() (2)2log510log50.255.() (3)已知函数f(x)lg x，若f(ab)1，则f(a2)f(b2)2.() (4)当x1时，logax0.(,5)当x1时，若logaxlogbx，则ab.(

3、) (6)函数f(x)lg 与g(x)lg(x2)lg(x2)是同一个函数(,abc,解析,0,f(x)是R上的偶函数，它的图象关于y轴对称,f(x)在0，)上为增函数， f(x)在(，0上为减函数,解析,答案,思维升华,由xlog43，得4x3，即2x,解析,答案,思维升华,由xlog43，得4x3，即2x,解析,答案,思维升华,在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算,解析,答案,思维升华,解析,答案,思维升华,因为f(1)log210， 所以f(f(1)f(0)2,因为log3 0,12

4、13,所以,所以f(f(1)f(log3 )235,解析,答案,思维升华,因为f(1)log210， 所以f(f(1)f(0)2,因为log3 0,1213,所以,所以f(f(1)f(log3 )235,5,解析,答案,思维升华,在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算,解析,答案,思维升华,5,所以f(2log23)f(3log23)， 而3log234,所以f(3log23,解析,答案,思维升华,log23log49,bf( )f(log49)f(log49,解析,答案,思维升华,又f(x

5、)是定义在(，)上的偶函数， 且在(，0上是增函数， 故f(x)在0，)上是单调递减的,f(0.20.6)f( )f(log47,即cba,解析,答案,思维升华,又f(x)是定义在(，)上的偶函数， 且在(，0上是增函数， 故f(x)在0，)上是单调递减的,f(0.20.6)f( )f(log47,即cba,解析,答案,思维升华,cba,解析,答案,思维升华,cba,对数函数值大小的比较一般有三种方法：单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底,解析,答案,思维升华,cba,中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”；

6、图象法，根据图象观察得出大小关系,例2 (2)作出函数ylog2|x1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数ylog2x的图象经过怎样的变换而得到,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)作出函数ylog2|x1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数ylog2x的图象经过怎样的变换而得到,从基本函数ylog2x出发，到ylog2|x|，再到ylog2|x1,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)作出函数ylog2|x1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数ylog2x的图象经过怎样的变换而得到,解作出函数ylog2x的图象，将其关于y轴

7、对称得到函数ylog2|x|的图象，再将图象向左平移 1个单位长度就 得到函数ylog2 |x1|的图象(如图所示,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)作出函数ylog2|x1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数ylog2x的图象经过怎样的变换而得到,由图知，函数ylog2|x1|的递减区间为(，1)，递增区间为(1，,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)作出函数ylog2|x1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数ylog2x的图象经过怎样的变换而得到,解析,思维升华,思维点拨,研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、

8、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象,跟踪训练2(1)已知a21.2，b 0.8，c2log52，则a，b，c的大小关系为,c2log52log522log55120.8b， 故cba,cba,2)已知函数f(x)loga(xb) (a0且a1)的图象过两点(1，0)和(0,1)，则a ，b,则f(1)loga(1b)0且f(0)loga(0b)1,2,2,解析,思维升华,解 a0且a1，设t(x)3ax， 则t(x)3ax为减函数， x0,2时，t(x)最小值为32a， 当x0,2时，f(x)恒有意义， 即x0,2时，3ax0恒成立,解析,思维升华,32a0.a,又a0且a1,a(0,1),解

9、析,思维升华,解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质， (1)要分清函数的底数是a(0,1)，还是a(1，,解析,思维升华,2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行； (3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误,解析,思维升华,解析,思维升华,例3 (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由,解 t(x)3ax，a0，函数t(x)为减函数 f(x)在区间1,2上为减函数， ylogat为增函数， a1，x1,2时，t

10、(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a,例3 (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由,解析,思维升华,例3 (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由,故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1,解析,思维升华,例3 (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由,解决对数函数综

11、合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质， (1)要分清函数的底数是a(0,1)，还是a(1，,解析,思维升华,例3 (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由,2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行； (3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误,解析,思维升华,跟踪训练3已知函数f(x) (x22ax3) (1)若函数f(x)的定义域为(，1)(3，)，求实数a的值,，1)(3，)， 得2a13，所以a2，即实数a的值为2,2)

12、若函数f(x)的定义域为R，值域为(，1，求实数a的值,则f(x)max1， 所以yx22ax3的最小值为ymin2， 由yx22ax3(xa)23a2， 得3a22， 所以a21，所以a1,3)若函数f(x)在(，1上为增函数，求实数a的取值范围,所以实数a的取值范围是1,2,高频小考点2 利用函数性质比较幂、对数的大小,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,典例：(1)设a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，则a，b，c的大小关系是,高频小考点2 利用函数性质比较幂、对数的大小,利用幂函数yx0.5和对数函数ylog0.3x的单调性，结合中间值比较a，b，c的大小,思 维

13、 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,典例：(1)设a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，则a，b，c的大小关系是,高频小考点2 利用函数性质比较幂、对数的大小,典例：(1)设a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，则a，b，c的大小关系是,根据幂函数yx0.5的单调性， 可得0.30.5log0.30.31，即c1.所以bac,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,bac,高频小考点2 利用函数性质比较幂、对数的大小,1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,典例：(1)设a0.50.5，b0

14、.30.5，clog0.30.2，则a，b，c的大小关系是,bac,高频小考点2 利用函数性质比较幂、对数的大小,2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,典例：(1)设a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，则a，b，c的大小关系是,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,2)已知a ，b ，c ，则a，b，c的大小关系是,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,化成同底的指数式，只需比较log23.4、log43

15、.6、 log30.3log3 的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较,2)已知a ，b ，c ，则a，b，c的大小关系是,方法一在同一坐标系中分别作出函数ylog2x,ylog3x，ylog4x的图象，如图所示,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,2)已知a ，b ，c ，则a，b，c的大小关系是,由图象知： log23.4log3 log43.6,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,2)已知a ，b ，c ，则a，b，c的大小关系是,log43.61,log43.6log3,log23.4log3 log43.6,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,2)已知a ，b ，c

16、 ，则a，b，c的大小关系是,2)已知a ，b ，c ，则a，b，c的大小关系是,由于y5x为增函数，,即 ，故acb,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,acb,1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,2)已知a ，b ，c ，则a，b，c的大小关系是,acb,2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,2)已知a ，b ，c ，则a，b，c的大小关系是

17、,acb,2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,2)已知a ，b ，c ，则a，b，c的大小关系是,acb,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,3)已知alog23log2 ，blog29log2 ，clog32，则a，b，c的大小关系是,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,先利用对数式的运算性质比较a与b的大小关系，再利用中间值比较a，b，c的大小,3)已知alog23log2 ，blog29log2 ，clog32

18、，则a，b，c的大小关系是,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,3)已知alog23log2 ，blog29log2 ，clog32，则a，b，c的大小关系是,alog23log2 log23 ，blog29log2 log23,ab,又函数ylogax(a1)为增函数,alog23 log221，clog32log331,abc,abc,1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,3)已知alog23log2 ，blog29log2 ，clog32，则a，b，c的大小关系是,abc,2)解题时要根据实际情况来构造相应的

19、函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,3)已知alog23log2 ，blog29log2 ，clog32，则a，b，c的大小关系是,abc,2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,3)已知alog23log2 ，blog29log2 ，clog32，则a，b，c的大小关系是,abc,方 法 与

20、技 巧,1对数值取正、负值的规律 当a1且b1或00； 当a1且01时，logab0,2对数函数的定义域及单调性 在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为x|x0对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论,方 法 与 技 巧,3比较幂、对数大小有两种常用方法： (1)数形结合； (2)找中间量结合函数单调性,4多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y1交点的横坐标进行判定,失 误 与 防 范,1.在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N*，且为偶数,2

21、.指数函数yax (a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别,失 误 与 防 范,3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点： (1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,1.(2014福建改编)若函数ylogax(a0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,解析由题意得ylogax(a0，且a1)的图象过(3,1)点，可解得a3.图中，y3x( )x，显然图象错误；

22、图中，yx3，由幂函数图象可知正确； 图中，y(x)3x3，显然与所画图象不符； 图中，ylog3(x)的图象与ylog3x的图象关于y轴对称，显然不符. 答案,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2.函数f(x)loga(ax3)在1,3上单调递增，则a的取值范围是,解析由于a0，且a1，故uax3为增函数， 因为函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数， 因此a1.又yax3在1,3上恒为正， 所以a30，即a3,3，,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,3.已知xln ，ylog52，z ，则x，y，z的大小关系为,解析xln ln e，x1,综上可得，yzx,y

23、zx,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,4.若loga(a21)loga2a0，则a的取值范围是,解析由题意得a0且a1，故必有a212a. 又loga(a21)loga2a0，所以0a1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,a1或1a0. 答案(1,0)(1，,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,6.计算(lg lg 25),21020,20,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,解析当x0时，3x11x10，10时，log2x1x2，x2. 综上所述，x的取值范围为12,x|12,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2

24、,3,4,5,6,7,8,9,10,1,a2a0，a1，此时不合题意,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,9.已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a0且a1. (1)求f(x)的定义域,解 要使函数f(x)有意义,故所求函数f(x)的定义域为x|1x1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2)判断f(x)的奇偶性并予以证明,解 由(1)知f(x)的定义域为x|1x1， 且f(x)loga(x1)loga(1x) loga(x1)loga(1x)f(x)， 故f(x)为奇函数,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,3)当a1时，求使f(x)0的x的解集,解 因为当a1时，f(x)在定义域x|1x1内是增函数,所以使f(x)0的x的解集是x|0x1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,10.已知函数y (x2axa)在区间(， )上是增函数，求a的取值范围,解 函数y (x2axa)是由函数y t和tx2axa复合而成,因为函数y t在区间(0，)上单调递减,而函数tx2axa在区间(， )上单调递减,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,又因为函数y (x2axa)在区间(， )上是增函数,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,1.设f(x)lg 是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是,解