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1、第一节 常微分方程的基本概念,两个实例 常微分方程的基本概念,一 两个实例,引例1,一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的,解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式,C为任意常数,由 得 C = 1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x , 求该曲线的方程,引例2. 列车在平直路上以,的速度行驶, 制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律,解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知,由前一式两次积分, 可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程,即求 s = s (t),二

2、 常微分方程的基本概念,含未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程,例,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些 导数(或微分)之间的关系式,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,n 阶显式微分方程,一般地 , n 阶常微分方程的形式是,的阶,或,且代入微分方程,使方程成为恒等式,即,则称函数,为方程,的解,例如,为方程,的解,为方程,的解,微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意,通解,常数的个数与微分方程的阶数相同,特解: 确定了通解中任意常数以后的解,微分方程的积分曲线:解的图象,积分曲线族:通解的图象,确定通解中任意常数的条件,n 阶方程的初始条件(或初值条件,定解条件,过定点的积分曲线,一阶,二阶,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题,解,例

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