高考数学总复习 第四章 第2讲 平面向量的数量积 理

1、第 2 讲,平面向量的数量积,1理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2了解平面向量的数量积与向量投影的关系,3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运,算,4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两,个平面向量的垂直关系,1两个向量的数量积的定义,已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab|a|b|cos.规定 零向量与任一向量的数量积为 0，即 0a0,2平面向量数量积的几何意义,数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos,的乘积,3平面向量数量积的性质 设 a

2、，b 都是非零向量，e 是单位向量，为 a 与 b(或 e)的 夹角，则 (1)eaae|a|cos. (2)abab0. (3)当 a 与 b 同向时，ab|a|b,当 a 与 b_向时，ab|a|b,反,4平面向量数量积的坐标运算 设向量 a(x1，y1),b(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为，则,1已知a(，2)，b(4,10)，且ab，则实数的值为,C,A,4 5,B,4 5,C5,D5,2已知向量 a，b 满足|a|4，|b|1，且 ab2，则 a,与 b 的夹角大小为,B,A,3,B,2 3,C. 6,D,5 6,3已知向量 a(x，y)，b(1,2)，且 ab(1,3)，

3、则|a,C,5,考点 1,向量数量积的基本运算,例1：(1)(2014年大纲)已知a，b为单位向量，其夹角为 60,则（2ab)b( A1 C1,B0 D2,解析：(2ab)b2abb22|a|b|cos60|b|221 1cos6010.故选 B. 答案：B,2)(2013 年北京顺义第一次统练)已知向量 a(2,1)，b,2，k)，且 a(2ab)，则实数 k,A14,B6,C6,D14,解析：a(2ab)，a(2ab)0，即 2|a|2ab0， 25(4k)0，解得 k14. 答案：D 【规律方法】向量的数量积通常有两种计算方法：一是利 用坐标运算,设向量a(x1，y1)，b(x2，y2

4、)，则abx1x2y1y2； 二是利用数量积的定义，即ab|a|b|cos,互动探究】 1(2015 年广东江门一模)已知向量 a(3,4)，b(1，m,若 a(ab)0，则 m,C,A,11 2,B,11 2,C7,D7,2(2013 年安徽)若非零向量 a，b 满足|a|3|b|a2b,则 a，b 夹角的余弦值为_,1 3,解析：|a|3|b|a2b|，|a|29|b|2|a2b|2|a|24|b|2 4ab |a|2 4|b|2 4|a|b|cos,即9|b|2 4|b|2 12|b|b|cos,考点 2,向量数量积在平面几何中的应用,例 2：(1)(2013 年山东泰安统测)如图 4-

5、2-1，已知正六边形,P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是( 图 4-2-1,答案：A,图 D16,答案：16 【规律方法】当向量表示平面图形中的一些有向线段时， 要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的 向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向 量定理和平面向量基本定理及解三角形等知识,则ABAD的取值范围是_,互动探究】 3在边长为 1 的等边ABC 中，点 D 为 BC 边上的一动点,考点 3,向量的数量积在解析几何中的应用,规律方法】(1)同弧的圆周角、圆外角和圆内角中，圆内 角最大，圆外角最小当圆周角为直角时，只要判断点与直径 两端点的连线所构成的角是锐角还是钝角即可知道该点是在圆 内还是圆外,2)在解析几何中，两个向量相等通常转化为两个分量相,等,3)对于解析几何中的向量，通常要清楚向量的几何意义,如垂直问题，平分问题，平行问题，等份问题等,互动探究,A,易错、易混、易漏,向量中错误使用充要条件造成问题解答不全,例题：已知向量 a(m2，m3)，b(2m1，m2) (1)若向量 a 与 b 的夹角为直角，求实数 m 的值,2)若向量 a 与 b 的夹角为钝角，求实数 m 的取值范围,正解：(1)若 a 与 b 的夹角为直角，则 ab0， 即(m2)(2m1)(m3)(m