微积分解题方法选讲

1、微积分解题方法选讲,引 言,1. 开课目的 中国数学会自2009年起于每年的10月底举行全国大学生数学竞赛。 在已经举行的三届全国大学生数学竞赛中，安徽理工大学取得了较好成绩。 2011年，安徽理工大学成为安徽赛区的三个考点之一。 前3年的竞赛选拔、培训均从9月份开,始，时间比较匆忙，致使选拔环节存在不少问题，培训也不太充分。 适逢学校实行学分制，各院系可以自主开设各类公共选修课。教务处破例允许数学系对一年级学生开设 “ 微积分解题方法选讲 ” 公选课，目的是及早进行数学竞赛的选拔、培训，使选拔和培训工作更合理、充分，力争安徽理工大学在全国大学生数学竞赛中取得更好成绩,2. 授课方式 由于上课

2、的学生较多，不可能像正式培训那样为每个学生提供纸质资料，批改作业。 本课程拟采用如下授课方式： (1) 学生按教师要求对下次授课所涉及到的概念、方法进行复习； (2) 教师在课堂上对重点问题、重要题目进行详细讲解，学生做相应课堂练习,3) 课后学生要仔细研读课堂所讲内容,独立动手演算例题，认真完成作业； 作业每周交一次，次周会对作业进行讲评； (4) 本课程将有两次单元测验和一次最终的选拔考试。 本课程的PPT及相关电子资料见信箱: MM: matlabmaple,3. 授课内容及特点 考虑到与学生现在所学高数内容的衔接，本课程只讲授高数下内容，包括：空间解析几何，多元函数微积分及其应用，级数

3、和常微分方程。 由于本课程属竞赛培训性质，根据竞赛要求，本课程的授课内容有如下特点： (1) 宽本课程要介绍一些课本上没有涉及到的内容，如重积分的换元法，正,项级数的广义比较审敛法等； (2) 难本课程所讲例题及作业大部分难度较大； (3) 繁部分题目中的计算相当繁琐,如多元微分学中的变量代换, 多元积分学中的应用问题等,4. 课程考核及最终选拔 由于本课程实际上是为数学竞赛选拔而专门开设的公选课，所以本课程的考核方式是最终的选拔赛。 正式参赛的50名学生将依据选拔赛成绩、单元测验成绩、期末成绩及完成作业情况而选拔产生。正式名单放假前公布。 欢迎名单外的学生参与听课、选拔、参赛,一、空间解析几

4、何,空间解析几何不是全国大学生数学竞赛的重点内容，所占比例很小。有时仅将此内容与多元函数微分学几何应用、多元函数积分学结合考察，并不单独命题。 空间解析几何重点要掌握的内容是：旋转曲面方程；点到直线的距离；异面直线间的距离；异面直线的公垂线方程,1. 旋转曲面方程 本部分要求理解、掌握建立旋转曲面方程的思路和方法，特别要注意空间曲线绕非坐标轴旋转而成的旋转曲面。 例1 设曲线L是抛物柱面 x=2y2与平面 x+z=1的交线。 (1) 求曲线L在各坐标面上的投影曲线; (2) 求曲线L分别绕各坐标轴旋转一周而成的旋转曲面方程,如图，设旋转曲面S上某一点M(x,y,z)由空间曲线C上点 M1(x0

5、,y0,z0)绕z轴旋转所生成。根据旋转曲面的概念，z= z0，且这两点到z轴的距离相等。 将C写为z的参数方程 再令 ，即得旋转曲面方程,例2 求直线 绕z轴旋转一周所得旋转曲面方程。 练习1 求直线 在平面 上的投影绕y旋转而成的旋转曲面方程。 练习2 求直线 绕直线 l0: x=y=z 旋转一周所得旋转曲面方程,2. 点到直线的距离 点到直线的距离是诸如转动惯量等问题的基础。 设M0为直线L外一点，M是L上一点，且L的方向向量为s，试证：M0到L的距离 证,第一周作业 1. 研读本PPT，独立完成所有例题。 2. 完成第一部分的6 个练习和第二部分的练习1。 3. 预研第二部分的例4和例

6、5。 4. 预习多元隐函数求导内容,例3 求点 到直线 的距离。 练习3 用三种方法求 到直线 的距离,3. 直线到直线的距离 直线到直线的距离问题是空间解析几何中比较重要的问题。在计算前最好用混合积判断一下两直线是平行还是异面。 例4 求两直线 间的距离,练习4 用三种方法求两直线 间的距离,4. 求异面直线的公垂线方程 求异面直线的公垂线方程也是空间解析几何中比较重要、有一定难度的问题。 例5 求两直线 的公垂线方程,练习5 用两种方法求两直线 的公垂线方程。 练习6 平面通过两直线 的公垂线L，且平行于向量c=1,0,-1，求此平面,二、多元函数微分学及应用,多元函数微分学及其应用是竞赛

7、中比较重要的内容，比例约占15% 。 多元函数微分学及其应用重点要掌握的内容是：复合函数和隐函数求导法；几何应用；多元函数极值。要特别注意几何应用、多元函数极值与其它内容相结合的综合问题,1. 偏导数与可微的概念 本部分要求理解多元函数连续、偏导数、微分等概念及其相互关系；掌握用定义判断偏导存在、可微的方法,例1 证明 在(0,0)处连续、偏导数存在，但不可微。 练习1 证明 在(0,0)处可微，但偏导并不连续,2. 多元复合函数偏导数的计算 本部分要求熟练掌握多元复合函数偏导数的计算，特别要注意二阶偏导数的计算以及自变量的变换问题。 例2 设 ，其中f 可微，求 此题要特别注意计算中可能的错

8、误,例3 设 求 。 (1) 在计算多层复合函数的偏导时，最好先根据函数树图搞清函数的复合结构。 (2) 当复合层次较多时，利用全微分形式不变性求偏导数较方便且不易错,例4 设变换 可把方程 简化为 ，其中 二阶偏导连续，求常数a。 注 此类题的关键是将新引入的变量u, v作为中间变量，然后利用复合函数求导法计算；难点是二阶偏导数的计算,例5 设 一阶偏导连续，做变换 ，证明： 例6 设 ，将下列方程变换为w=w(u,v)的方程 其中z(x,y)二阶偏导连续,练习2 设变换 将方程 化为 ，求a并解此方程，其中z(x,y)二阶偏导连续。 练习3 设 ，u(x,y)二阶偏导连续。 (1) 将 分

9、别变换为极坐标 下的表达式,2) 设 ，解方程 。 练习4 试用变量代换 将 的方程 化为 的方程,3. 隐函数求导法 隐函数求导法是竞赛中常考内容。本部分要求熟练掌握各种形式隐函数一阶和二阶偏导数的计算。 例7 设 由方程 确定，求,第二周作业 1. 研读本PPT中的新内容，独立完成所有例题。 2. 完成第二部分的练习210,本题为隐函数求导中的典型问题，通常有三种做法：(1) 公式法；(2) 两边求导法；(3) 微分法。考虑到学生的计算能力，建议采用公式法。 例8 设y=f(x,t)，而t是由方程F(x,y,t)= 0所确定的x,y的函数，其中f, F均一阶偏导连续，证明,练习5 设z=z

10、(x,y)是由 确定的具有连续二阶偏导的隐函数，且F1 =F20。求证：(1) ； (2) 。 本题为第3届预赛试题,练习6 设z=f(u,v) 二阶偏导连续，且 又x=x(y,z)是由z=f(x,y)确定的函数，求,4. 多元函数微分法的几何应用 多元函数微分法的几何应用在竞赛中往往与多元函数的极值、线面积分等内容综合考察。 例9 求曲线 在点P (1,1,1)处的切线与法平面方程。 例10 证明: 曲面F(ax+bz,by+cz)=0的切平面均平行于某定直线，F一阶偏导连续,练习7 过点(2,0,0)引曲面 的切线，求全部切线组成的曲面。 练习8 证明: 曲面 的切平面均过一定点，f一阶偏

11、导连续,5. 多元函数的极值 多元函数的极值几乎是竞赛中的必考内容，通常与几何应用、多元函数积分学的应用等内容综合考察。 例11 抛物面 被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。 例12 求椭球面 在第一卦限的点，使该点切平面被三坐标面截出的,三角形的面积最小。 练习9 在椭球面 上求一点，使函数 在该点沿方向 的方向导数最大。 练习10 设锥面 ，平面 ，求以点P为中心与相切的球面方程及切点坐标，其中P是S上到距离最小的点,三、多元函数积分学及应用,多元函数积分学及其应用是竞赛中非常重要的内容，比例约占15% 。 对多元函数积分学及其应用部分，除了要熟悉重积分、两类线

12、面积分的计算方法外，要特别注意Green公式 (积分与路径无关) 和Gauss公式、多元函数积分学的物理应用(质心、转动惯量、功,1. 重积分的计算及应用 本部分要求熟练掌握二重和三重积分的各种计算方法，熟悉重积分在几何和物理上的应用。此外，最好还要知晓重积分的轮换对称性和换元法。 下面首先以二重积分为例介绍轮换对称性和换元法,1) 轮换对称性 若D和D1关于y=x对称，则 若D关于y=x对称，则 轮换对称性在计算某些特殊二重积分时有着特别的作用,例1 计算积分 其中 。 注 本题也可用通常方法计算。 例2 求 ，其中f (t)为定义在 上的连续正值函数，a0, b0， 。 注 本题无法用一般

13、方法计算,例3 设f (x)在0,1上正值递减，试证 注 本题的关键是将其转换为二重积分问题,2) 二重积分的换元法 若变换x=x(u,v), y=y(u,v)将uOv面上的区域变成xOy面上的区域D，则 其中， 为Jacobi行列式。 例4 计算 注 本题是典型的换元法,例5 设f (x)连续，证明 其中 。 例6 设f (x)连续，证明 其中 。 注 本题与练习7类似，难度较大，所用方法也较为独特,解 根据题意，令 ，即 这相当于将向量(x,y)顺时针旋转了。 而D变为 ，故,3) 重积分的计算与应用 数学竞赛中单独考察重积分计算的可能性较小，往往与多元函数极值、几何与物理应用等问题相结合。 例7 求 其中 。 例8 求 其中,例9 求 例10 设抛物面 及圆柱面 。 (1) 求 的一个切平面，使它与 及 围成的立体 的体积最小。 (2) 当由(1)确定的最小体积的立体 上有质量分布，其密度为1，求 的质心,练习1 计算积分 其中 。 练习2 求 ，其中 练习3 证明,练习4 求 练习5 计算 其中D由直线x+y=1与两坐标轴所