高三数学一轮复习 第14篇 第2节 证明不等式的基本方法 理

1、第2节证明不等式的基本方法,编写意图 根据不等式的结构特征,选取适当的方法进行证明,是高考重点考查的内容,难度中等.本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出不等式的证明方法的灵活运用,难点突破基本不等式的应用,思想方法栏目突破了使用基本不等式求最值和证明不等式,考点突破,思想方法,夯基固本,夯基固本 抓主干 固双基,知识梳理,2.综合法与分析法 (1)综合法:从 出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的 、论证而得出命题成立. (2)分析法:从 出发,逐步寻求使它成立的 条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,已

2、知条件,推理,要证的结论,充分,3.反证法与放缩法 (1)反证法 证明命题时先假设要证的命题 ,以此为出发点,结合 ,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把这种证明方法称为反证法. (2)放缩法 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值 或 ,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法,不成立,已知条件,矛盾,放大,缩小,a=b=c,不小于,不小于,a1=a2=an,基础自测,解析:根据条件和分析法的定义可知选项B最合理.故选B,B,2.已知a+b+c0,ab

3、+bc+ac0,abc0,用反证法求证a0,b0,c0时的反设为( ) (A)a0,c0 (C)a,b,c不全是正数(D)abc0,b0,c0”,应为a,b,c不全是正数,C,A,答案,考点突破 剖典例 找规律,考点一,比较法证明不等式,反思归纳 比较法证明不等式的方法与步骤 (1)作差比较法 作差比较法证明不等式的一般步骤: a.作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差; b.变形:将差式进行变形,化简为一个常数,或通分,因式分解变形为若干个因式的积,或配方变形为一个或几个平方和等; c.判号:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号; d.结论:肯定不等式成立的结论.

4、作差比较法的应用范围: 当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般使用作差比 较法,2)作商比较法 作商比较法证明不等式的一般步骤: a.作商:将不等式左右两边的式子进行作商; b.变形:将商式的分子放(缩),分母不变,或分子不变,分母放(缩),或分子放(缩),分母缩(放),从而化简商式为容易和1比较大小的形式; c.判断:判断商与1的大小关系,就是判断商大于1或小于1或等于1; d.结论. 作商比较法的应用范围: 当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一般使用作商比较法. 提醒:在使用作商比较法时,要注意说明分母的符号,考点二,用综合法、分析法证明不等式,反思归纳,2)用分析法

5、证明不等式时,分析的过程是寻求结论成立的充分条件,而不一定是充要条件,同时要正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”. (3)分析法与综合法常常结合起来使用,称为分析综合法,其实质是既充分利用已知条件,又时刻瞄准解题目标,即不仅要搞清已知什么,还要明确干什么,通常用分析法找到解题思路,用综合法书写证题过程,反证法证明不等式,考点三,变式】 若本例已知中的q=1,求证:f(1)与f(-1)中至少有一个不小于2. 证明:q=1, f(x)=x2+px+1. 假设f(1)与f(-1)都小于2,则f(1)+f(-1)4. 而f(1)+f(-1)=(2+p)+(2-p)=4,出现矛盾, f(1)与f(-1)中至少有一个不小于2,反思归纳 对于某些问题中所证结论若是“都是”、“都不是”、“至多”、“至少”等问题,一般用反证法.其一般步骤是反设推理得出矛盾肯定原结论,考点四 放缩法证明不等式,助学微博,1.不等式的证明方法灵活,要注意体会,要根据具体情况选择证明方法. 2.利用三个正数的算术-几何平均不等式可以证明一些简单的不等式、求最值