高三数学一轮复习第二篇函数导数及其应用第6节二次函数与幂函数理

1、第6节二次函数与幂函数,知识链条完善,考点专项突破,易混易错辨析,知识链条完善 把散落的知识连起来,教材导读】 1.一元二次不等式恒成立的充要条件是什么,2.幂函数y=x(为常数)的奇偶性与有什么关系,提示:是奇数时,y=x为奇函数;是偶数时,y=x是偶函数,知识梳理,1.二次函数 (1)定义 形如 的函数叫做二次函数. (2)表示形式 一般式:y= ; 顶点式:y= ,其中 为抛物线顶点坐标; 零点式:y= ,其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标,y=ax2+bx+c(a0,ax2+bx+c(a0,a(x-h)2+k(a0,h,k,a(x-x1)(x-x2)(a0,R,R,2.幂函数 (

2、1)幂函数的概念 形如y=x(R)的函数称为幂函数,其中x是 ,为,自变量,常数,2.对幂函数y=x,当0时,其图象经过(0,0)点和(1,1)点,且在第一象限内单调递增;当0时,其图象不过(0,0)点,经过(1,1)点,且在第一象限内单调递减,夯基自测,B,A,2.如果函数f(x)=x2-ax-3在区间(-,4上单调递减,则实数a的取值范围是( ) (A)8,+)(B)(-,8 (C)4,+)(D)-4,B,答案:1或2,5.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,3上是减函数,则实数a的取值范围是,解析:二次函数f(x)的对称轴是x=1-a,由题意知1-a3,所以a-2,答案:(

3、-,-2,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,幂函数的图象与性质,解析:(1)分别作出f(x),g(x),h(x)的图象,如图所示. 可知当0g(x)f(x,2)由题意知m2-2m-3为奇数且m2-2m-30,由m2-2m-30得-1m3,又mN*,故m=1或2. 当m=1时,m2-2m-3=1-2-3=-4(舍去).当m=2时,m2-2m-3=22-22-3=-3,所以m=2,答案:(1)h(x)g(x)f(x)(2)2,反思归纳 利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧:结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂,选择适当的幂函数,借助其单调性进行比较,解析:由题意知m2-m-1=1,

4、解得m=2或m=-1, 当m=2时,m2-2m-3=-3,f(x)=x-3符合题意, 当m=-1时,m2-2m-3=0,f(x)=x0不合题意. 综上知m=2.故选A,考点二,二次函数的图象与性质,考查角度1:二次函数图象的识别问题. 【例2】 (2016洛阳模拟)对数函数y=logax(a0且a1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象可能是(,解析:若01,则y=logax单调递增,y=(a-1)x2-x开口向上,其图象的对称轴在y轴右侧,排除B.故选A,反思归纳,辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除,考查角度2:利用

5、二次函数图象研究最值问题. 【例3】 已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=maxf(x),g(x),H2(x)=minf(x),g(x)(maxp,q表示p,q中的较大值,minp,q表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B等于() (A)16 (B)-16 (C)a2-2a-16(D)a2+2a-16,反思归纳,1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键都是对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类

6、讨论. (2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解,最值一般在区间的端点或顶点处取得,考查角度3:利用二次函数图象研究根的分布问题. 【例4】 已知关于x的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的两根异号,且负根的绝对值比正根大,则实数m的取值范围是,答案: m|-3m0,反思归纳,在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助二次函数的图象来解,一般从四个方面分析:开口方向;对称轴位置;判别式;端点函数值符号,二次函数的综合问题,考点三,例5】 设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a0)有两个实根x1,x2. (1)求(1+x1)(1+x2)的值; (2)求证:x1-1且x2-1,反

7、思归纳,1)对于函数y=ax2+bx+c,注意结合条件辨别是否是二次函数即判断a是否为0,有时需分a=0与a0两种情况讨论. (2)由不等式恒成立求参数取值范围,常用分离参数法,转化为求函数最值问题,其依据是af(x)恒成立af(x)max,af(x)恒成立af(x)min,即时训练】 若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若在区间-1,1上,不等式f(x)2x+m恒成立,求实数m的取值范围,2)由题意,x2-x+12x+m在-1,1上恒成立. 则mx2-3x+1在-1,1上恒成立,令g(x)=x2-3x+1,x-1,1, 易知g(x)在x-1,1上是减函数, 所以g(x)min=g(1)=-1,应有m-1.因此实数m的取值范围是(-,-1,备选例题,2)当a,b满足M(a,b)2时,求|a|+|b|的最大值,例2】 设函数f(x)=x2-2x+2,xt,t+1,tR,求函数f(x)的最小值,易混易错辨析 用心练就一双慧眼,忽视对“轴动区间定”的讨论而致误,典