江苏2018版高考数学复习第九章平面解析几何9.2两条直线的位置关系课件理苏教版.pptx

1、9.2两条直线的位置关系,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 两条直线平行： ()对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2 . ()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2. 两条直线垂直： ()如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2 . ()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2,知识梳理,k1k2,k1k21,2)两条直线的交点 直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标 就是方程组 的

2、解,2.几种距离 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离P1P2 . (2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d . (3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离 d,1.直线系方程 (1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC). (2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0(nR). 2.两直线平行或重合的充要条件 直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20平行或重合的充要条件是,A1B2A2B10,3.两直线垂直的充要条件 直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20

3、垂直的充要条件是 . 4.过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2. 5.点到直线与两平行线间的距离的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式. (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等,A1A2B1B20,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.() (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.() (3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(

4、A1、B1、C1、 A2、B2、C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.() (4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为 .(,5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离. () (6)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于 ，且线段AB的中点在直线l上.(,考点自测,1.(2016徐州模拟)过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是_,答案,解析,x2y10,直线x2y20可化为y x1,所以过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程可设为y xb,将点(1,0)代入得b,所以所求直线方程为x2y10,2.(教材改编)已知点

5、(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a_,答案,解析,依题意得 1,解得a1 或a1,a0，a1,3.已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是_,答案,解析,xy30,圆x2(y3)24的圆心为点(0,3)， 又因为直线l与直线xy10垂直， 所以直线l的斜率k1. 由点斜式得直线l：y3x0，化简得xy30,4.(2016 苏州模拟)已知两点A(1,2)，B(5,5)到直线l的距离分别是3和2，则满足条件的直线共有_条,答案,解析,3,以A(1,2)为圆心，3为半径的圆A：(x1)2(y2)29， 以B(5,5)为圆心，2为半径的圆B：(x5)2

6、(y5)24， 根据题意所要满足的条件， 则l是圆A与圆B的公切线，因为A(1,2)，B(5,5)两点间的距离d5， 即dr1r2，所以圆A与圆B相外切，所以有3条公切线,5.(教材改编)若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_,答案,解析,0或1,由两直线垂直的充要条件， 得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0， 解得a0或a1,题型分类深度剖析,题型一两条直线的平行与垂直 例1(1)(2017苏北四市联考)已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)y50互相平行，则2a3b的最小值为_,答案,解析,25,所以a,所以2a3b 3b4 3(b

7、3)9,13 25(当且仅当 3(b3,即b5时取等号,2)已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210. 试判断l1与l2是否平行,解答,方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2； 当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2,当a1且a0时，两直线可化为l1：y x3，l2：y x(a1,l1l2 解得a1,综上可知，当a1时，l1l2,方法二由A1B2A2B10，得a(a1)120， 由A1C2A2C10，得a(a21)160,故当a1时，l1l2,当l1l2时，求a的值,解答,方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0， l1与l2不垂直

8、，故a1不成立； 当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1与l2不垂直； 当a1且a0时,l1：y x3，l2：y x(a1,由( ) 1a,方法二由A1A2B1B20，得a2(a1)0a,1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论,思维升华,跟踪训练1已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsin y10，求的值，使得： (1)l1l2,解答,方法一当sin 0时，直线l1的斜率不存在， l2的斜率为0，显然

9、l1不平行于l2,当sin 0时，k1 ，k22sin,要使l1l2，需 2sin ，即sin,所以k ，kZ，此时两直线的斜率相等,故当k ，kZ时，l1l2,方法二由A1B2A2B10，得2sin210,所以sin ，所以k ，kZ,又B1C2B2C10，所以1sin 0， 即sin 1,故当k ，kZ时，l1l2,2)l1l2,解答,因为A1A2B1B20是l1l2的充要条件， 所以2sin sin 0， 即sin 0， 所以k，kZ. 故当k，kZ时，l1l2,题型二两条直线的交点与距离问题 例2(1)(2016宿迁模拟)求经过两条直线l1：xy40和l2：xy20的交点，且与直线2x

10、y10垂直的直线方程为_,答案,解析,x2y70,设与直线2xy10垂直的直线方程为x2yc0， 则123c0，c7. 所求直线方程为x2y70,l1与l2的交点坐标为(1,3,2)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_,x3y50或x1,答案,解析,方法一当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y2k(x1)， 即kxyk20,由题意知,即|3k1|3k3,k,直线l的方程为y2 (x1,即x3y50,当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意. 故所求直线l的方程为x3y50或x1,方法二当ABl时，有kkAB,直线l的方程为y2

11、 (x1,即x3y50. 当l过AB的中点时，AB的中点为(1,4). 直线l的方程为x1. 故所求直线l的方程为x3y50或x1,1)求过两直线交点的直线方程的方法： 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. (2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等,思维升华,跟踪训练2(1)(2016济南模拟)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：xy50，l2：xy150上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是

12、_,答案,解析,设P1P2的中点为P(x，y,则x ，y,x1y150，x2y2150. yx10，P(x，x10)， P到原点的距离d,x1x2)(y1y2)20，即xy10,2)如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程,解答,与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20. 设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0， 即(1)x(2)y20.又直线过点(1,1)， (1)(1)(2)120,解得,所求直线方程为2x7y50,题型三对称问题 命题点1点关于点中心对称 例3(2016苏州模拟)过点P(0,1

13、)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_,答案,解析,x4y40,设l1与l的交点为A(a,82a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上， 代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4， 即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40,命题点2点关于直线对称 例4如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是_,答案,解析,直线AB的方程为xy4， 点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，

14、 关于y轴的对称点为C(2,0). 则光线经过的路程为CD,命题点3直线关于直线的对称问题 例5(2016泰州模拟)已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程,解答,在直线m上任取一点，如M(2,0)， 则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上. 设对称点M(a，b)，则,解得,设直线m与直线l的交点为N，则,得N(4,3,又m经过点N(4,3). 由两点式得直线m的方程为9x46y1020,解决对称问题的方法 (1)中心对称 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P(x，y)满足 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称 点A(

15、a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有,思维升华,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决,跟踪训练3已知直线l：3xy30，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点,解答,设P(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为P(x，y,kPPkl1，即 31,又PP的中点在直线3xy30上,3 30,由得,把x4，y5代入得x2，y7， P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(2,7,2)直线xy20关于直线l对称的直线方程,解答,用分别代换xy20中的x，y， 得关于l的对称直线方程为,化简得7xy220,3)直线l关于(1,2)的对称直线,解答,在直线l：

16、3xy30上取点M(0,3)关于(1,2)的对称点M(x，y,1，x2， 2，y1,M(2,1,l关于(1,2)的对称直线平行于直线l，k3， 对称直线方程为y13(x2)， 即3xy50,一、平行直线系 由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系. 典例1求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程,妙用直线系求直线方程,思想与方法系列20,规范解答,思想方法指导,因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0(c1,解依题意，设所求直线方程为3x4yc0(c1)， 又因为直线过点(1,2)， 所以

17、3142c0， 解得c11. 因此，所求直线方程为3x4y110,二、垂直直线系 由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系.可以考虑用直线系方程求解. 典例2求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程,规范解答,思想方法指导,依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解,解因为所求直线与直线2xy100垂直， 所以设该直线方程为x2yC10， 又直线过点(2,1)， 所以有221C10， 解得C10，即所求直线方程为x2y0,三、过直线交点的直线系 典例3求经过两直线l1：x2y40

18、和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程,规范解答,思想方法指导,可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程； 也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解,几何画板展示,解方法一解方程组 得P(0,2,因为l3的斜率为 ，且ll3,所以直线l的斜率为,由斜截式可得l的方程为y x2,方法二设直线l的方程为x2y4(xy2)0， 即(1)x(2)y420. 又ll3，3(1)(4)(2)0，解得11. 直线l的方程为4x3y60,即4x3y60,课时作业,1.(2016常州模拟)过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程

19、为_,答案,解析,4x3y0或xy10,若直线过原点，则k,所以y x，即4x3y0,若直线不过原点，设直线方程为 1，即xya,则a3(4)1，所以直线的方程为xy10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016泰州模拟)已知直线l1：x2my30，直线l2的方向向量为a(1,2)，若l1l2，则m的值为_,答案,解析,1,由直线l2的方向向量是a(1,2)，知直线l2的斜率为k22,l1l2， 直线l1的斜率存在，且k1,由k1k21，即 21，得m1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016山东省实验中学质检)从点(2,3

20、)射出的光线沿与向量a(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为_,答案,解析,x2y40,由直线与向量a(8,4)平行知,过点(2,3)的直线的斜率k ，所以直线的方程为y3 (x2,其与y轴的交点坐标为(0,2)， 所以反射光线过点(2,3)与(0,2)， 由两点式求得方程为x2y40,又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：xy10上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是_,答案,解析,2,点O(0,0)关于直线xy10的对称点为O(1

21、,1)， 则虫子爬行的最短路程为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则PQ 的最小值为_,答案,解析,因为 ，所以两直线平行,由题意可知PQ的最小值为这两条平行直线间的距离,所以PQ的最小值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.(2016苏州模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合， 点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_,答案,解析,由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线， 即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的

22、中垂线,于是,解得,故mn,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016盐城模拟)正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，其他三边所在直线的方程分别为_、_、_,答案,解析,x3y70,3xy30,3xy90,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,点C到直线x3y50的距离,设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5,点C到直线x3y50的距离,解得m5(舍去)或m7， 所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70. 设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0,则点C到直线3xyn0的距离,解

23、得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016徐州模拟)已知直线l1：axy10，直线l2：xy30，若直线l1的倾斜角为 ，则a_；若l1l2，则a_；若l1l2，则两平行直线间的距离为_,答案,解析,1,1,若直线l1的倾斜角为 ，则aktan 1，故a1,若l1l2，则a11(1)0，故a1； 若l1l2，则a1，l1：xy10,两平行直线间的距离,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.如图，已知直线l1l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l

24、2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作ACAB，且AC与l1交于点C，则ABC的面积的最小值为_,答案,解析,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系， 设B(a，2)，C(b,3). ACAB,ab60，ab6，b,RtABC的面积S,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_,2,4,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如图，设

25、平面直角坐标系中任一点P，P到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和为PAPBPCPDPBPDPAPCBDACQAQBQCQD， 故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离 之和最小的点. A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)， 直线AC的方程为y22(x1)， 直线BD的方程为y5(x1,由 得Q(2,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.已知方程(2)x(1)y2(32)0与点P(2，2). (1)证明：对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标,证明,显然2与(1)不可能同时为零， 故对任意的实数，该方程都表示直线. 方程可变形为2xy6(xy4)0,故直线经过的定点为M(2，2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于,证明,过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知PQPM， 当且仅当Q与M重合时，PQPM，kPM1，直线与PM垂直， 此时对应的直线方程是y2x2，即xy40. 但直线系方程唯独不能表示直线xy40， M与Q