(教案)三角形题型分类与知识点

1、三角形学习目标：（1）三角形相关概念、特点和三角形的分类；（2）三角形边长关系、三角形角内角和和三角形内角与外角的关系；（3）三角形的面积与周长（直角三角形）；（4）三角形中的线高线、角平分线、中线。题型一、三角形及其特三角形由三条边、三个顶点、三个角组成。顶点为A,B,C的三角形可以表示为 ABC,顶点无顺序之分，顶点不同，三角形就不同。三角形具有稳定性的几何原理，四边形具有不稳定性的几何原理。三角形的三边确定了， 那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性. 例如起重机的支 架采用三角形结构就是这个道理。）条对角线。（）C、8 个D、10 个将n边形进行稳定，需要（n

2、-31、图1中有三角形的个数为A、4个B、6个图22、自行车的三角形车架3、下列说法不正确的是（）A. 周长相等的两个等边三角形面积相等B. 面积相等的两个等边三角形周长相等C. 三角形具有稳定性 D 多边形具有稳定性4、 下面的生活事例中，利用了三角形的稳定性的是（）A 制作推拉门窗时，把金属条做成四边形B 工人师傅常在一个四边形的对角线上钉一根木条C 桌子常作成四条腿D. 小明把一个正方形拉伸后使正方形变形5、如图2, 扇窗户打开后，人们常常用窗户上的窗钩 BC将其固定，这里 所运用的几何原理是.6我们学校校门口的铁门，呈平行四边形，拉进拉出，伸缩自如，它应用的原 理是（）A. 三角形的稳

3、定性B三角形的不稳定性C四边形的稳定性D 四边形的不稳定性变式：不是利用三角形稳定性的是（）A. 自行车的三角形车架B三角形房架C照相机的三角架D矩形门框的斜拉条7、要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉 根木条变式：利用三角形的稳定性将下面多边形进行固定。三角形的种类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形；锐角三角形性质及其判断方法：三个角都是锐角，任意两个角相加之和大于90;直角三角形性质和判断方法：有一个角为 90，另外两个角相加是90;钝角三角形性质和判断方法：有一个角是钝角，另外两个角相加小于90;等腰三角形性质及判断方法：腰相等、底角相等；等边三角

4、形性质及判断方法：三条边相等；三个角相等；两个角是60; 个角是60的等腰三角形。1、下列说法：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角 形；（2）三角形两边之和不一定大于第三边；（3）等边三角形一定是等腰三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形.其中说法正确的个数是（）A.1 个B.2个C.3个D.4个题型三、三角形的边长关系三角形，两边之和大于第三边，a+bc,因为两点之间线段最短；又有不等式的基本性质，两边同时减去b,我们可以得到ac-b，即：三角形，两边之差 小于第三边。在判断三个长度能否组成三角形，我们只用做一个判断，那就是，最小的两 边相加大于最大边即可

5、。在求范围是，两边之差要是非负数，也就必须选出两条由大小之分的边做差 和作和。(重点)1、下列说法正确的有(填番号)(1) 三条线段a、b、c,且abc，若ab+c,则这三条线段能组成一个三角形。(2) 有两条边相等的三角形是等腰三角形。(3) 三边长分别为5，10，5的三角形是等腰三角形。2、若三角形边长分别为3, 5, a,则a的取值范围为变式ABC 中，若 AB=BC=5，则AC变式2:在厶ABC中，如果AB = 5, AC = 7,那么BCV 如果 AB = AC = 8,那么 BCb那么这个三角形的周长L的取值范围是()A. 3bL3aB . 2a L2(a+b)C. 2b+a L2

6、a+bD. a+2b L0)111a-m, bmc-m523B. a : b : c = 2 : 3 : 5a = 2k，b = 3k，c = 5k -1 (k 1)8、以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三 角形的个数是（）（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个变式：小华要从长度分别为 5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是 ：，9、等腰三角形的两边分别长7cm和13cm，则它的周长是（）A. 27cm B. 33cm C. 27cm或33cmD .以上结论都不对变式1:等腰三角

7、形一边长为6cm，另一边长为2cm，则它的周长是变式2:等腰三角形的底边BC=8 cm，且|AC BC|=2 cm,贝血要长AC为（）A.10 cm 或 6 cm B.10 cmC.6 cmD.8 cm 或 6 cm变式3:已知 ABC是等腰三角形。如果它的两条边的长分别为 8厘米和3厘米，那么它的周长是多少？如果它的周长为18厘米，一条边的长为8厘米，那么它的腰长是多少?10、已知三角形两边长为3和8,第三边为奇数，则这个三角形周长为（）A. 18B . 20C . 18 或 20D . 16 或 19变式：已知三角形三边的长为2、x、9 ,若x为奇数，则此三角形的周长 是题型四、与三角形相

8、关的线（1）高高是求三角形面积的要点，三角形有三个顶点和三条边，所以有三条高，三 条高交于一点的三角形是直角三角形；三角形有三条边和对应的三条高，所以求面积的方法有三种，三种求出的结 果是一样的，我们应该取最简单的那一种。如果题目告诉了两种，那么其中一种 未知的边或高就能列方程求出。注钝角三角形的高线1、在图中，正确画出AC边上高的是（）AC变式：如图1,在厶ABC中，EF/ AC，BD丄AC，BD交EF于G,则下面说法中错误的是（）A、BD是厶ABC的高C、EG是厶BEG的高B、CD是厶BCD的高D、BE是厶BEF的高C图22、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形

9、是A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D.无法确定 3、如图2所示,AD、CE分别是 ABC 的高,BC 12, AB 10, AD 6,求CE的长.变式：如图，AB丄BD于B，AC丄CD于C，AC与BD交于E,那么(】) ADE的边DE上的高是; AE上的高是若 AE=5，DE=2，CD=9，求 AB 的长。5DA、32;B、4;C、16;4、在平面直角坐标系中，点 A (-3, 0)，B (5, 0)，C (0，4)所组成的三角 形ABC的面积是(2) 角平分线三个角的角平分线都叫做三角形的角平分线，所以三角形三角形有三个角, 有三条角平分线。例：如图,AD是ABC请问：D

10、O是DEF的角平分线吗？如果是的角平分线,DE / AB , DF / AC , EF交AD于点0 .,请给予证明；如果不是，请说明理由.(3) 中线及分点线三角形中线将三角形的面积平分，因为高为同一条高，底相等，所以面积相 等。含比例的分点线将三角形的面积分为与比例与线段比例相等的两部分。1、如图所示,AM是ABC的中线,那么若用s表示ABM的面积,用S2表示ACM的面积,则S与S2的大小关系是()C. S2D.以上三种情况都可能A. 0 5变式1:能将三角形面积平分的是三角形的(A、角平分线B、咼C、中线D、外角平分线变式2:如图，在 ABC中，已知点D, E, F分别是BC、AD、CE的

11、中点，且Saabc = 4cm2，则 Sabef 的值为（）A、2cm2B、1cmC、一 cm22一 cm22、A. 30B . 36D . 24在厶ABC中，D是BC上的点，且BD:DC=2:1，Saacd=12，那么Saabc等于)3、C12,在 ABC中，AB AC, AD是中线，ABC的周长为34 cm, ABD的周长为25cm, 求AD的长.4、已知BD是 ABC的一条中线, 则AB BC的长是 5、周长为21厘米的等腰三角形被一条腰上的中线分成两个三角形。若这 两个三角形的周长之差为3厘米，求这个等腰三角形各边的长。变式1:在等腰三角形中，一腰上的中线将这个三角形的周长分为15和6

12、两分,求该等腰三角形各边的长度是多少？ 变式2:在A ABC中AB=AC ,AC上的中线BD把三角形的周长分为 24cm、30cm 的两个部分，求三角形的三边长。综合1、如图,在 ABC 中,BD CD, ABECBE ,贝 U(1) 是ABC的中线,ED是 的中线;F列说法中错误的是(2、(2) ABC的角平分线是A 三角形三条角平分线都在三角形的内部B三角形的三条中线都在三角形的内部C. 三角形的三条高都在三角形的内部D. 三角形三条高至少有一条在三角形的内部3、在厶ABC,/ A=90 ,角平分线AE、中线AD、高AH的大小关系为（）A. AHvAEvAD B . AHADAEC. AH

13、K AD AED . AHK AE/ B,/ C=70 , / B=40 ,求/ DAF的度数；若/ C=a, / B=B,试探寻/ DAF与 B的关系。(2) 如图2,在厶ABC中, / C/ B, AD为/BAC平分线，点E在AD上,且EF丄BC 于F。若/ C=a,/ B=B，试探寻/ DEF与a、B的关系(3) 如图3,在厶ABC中,/ C/ B, AD为/BAC平分线，点E在AD延长线上， 且EF丄BC于 F。若/ C=a,/ B=B，试探寻/ DEF与。若a、图a、B的关系。变式：(1)如图1, CD是直角 ABC斜边AB上的高，图中有与/A相等的角吗？ 为什么？相等的角吗？为(2

14、) 如图2,把(1)图中的CD平移得ED,图中还有与/A 什么？图中还有与/A(3) 如图3,把(1)图中的CD平移，交BC的延长线于E, 相等的角吗？为什么？ 变式：如图4,在锐角 ABC中，CD、BE分别是AB AC边上的高，且CD、BE交于点图1图2B6 如图 2，ABC中,/ B/C越来越大。若/A减少a 者之间的数量关系为BC边不动，点aA竖直向上运动，/A越来越小， 度，/B增加B度，/C增加丫度。则a、B、丫P.若 A 70,贝U BPC的度数是.图4，若/ B/C8、如图 5,在厶ABC中,/ A=70的内角的平分线交于点P, 的关系。9、直角三角形两锐角的平分线所交的角的度数

15、是（)A、45B、135C、45 或 135D、以上答案都不对求/BPC的度数。若/ A=a,试探求/ BPC与aEA处，已知/ 1 + / 2=10010、如图，将纸片 ABC沿DE折叠，点A A落在点A则/A的大小等于变式:如图，把 ABC的纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则/ A与/ 1、/ 2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找出这个规律为D、钝角三角形）D、等边三角形11、若三角形三个内角的比为1:2:3,则这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、等腰三角形变式：三角形的三个外角之比为 2 : 2 : 3,则此三角形为（A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角

16、三角形 12、在 ABC 中，A: B 2:1, C 60,贝U A变式：在厶 ABC中，若/ A=/ B = - / C,则/C =213、 ABC中，Z A=2 Z B = 3Z C,则这个三角形是（A锐角三角形B 直角三角形 C.钝角三角形 D.含30角的直角三角形 变式：在厶ABC中, Z A=1 Z B=- Z C,则此三角形是（23A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形等腰三角形14、已知三角形两个内角的差等于第三个内角，则它是（锐角三角形B 钝角三角形 C 直角三角形）等边三角形15、如果在 ABC中，Z A = 70Z B，则Z C等于（A、35B、70C、110B、7

17、0140变式1:在厶ABC中，/ A = 75 / B-Z C= 15则/ C的度数为（A、30B、45C、50D、10变式2:已知 ABC中, Z A=2（Z B+Z C），则ZA的度数为（A 100B 120C 140D 160个。变式 3:在厶 ABC 中，Z A= （Z B +Z C）、Z B-Z C=20，求Z A、Z B、Z C 的度数。11、如图，在 ABC中, D是BC边上Z DAC的度数。12、如图，在直角 ABC中，ACM AB,垂足分别为E、F，则图中与Z C （Z C除外）相等的角有（2）三角形内角的可能性（锐角、直角、钝角）1、下列说法正确的是（）A.三角形的内角中最

18、多有一个锐角 B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角 D. 三角形的内角都大于60变式1:下列说法正确的有（填番号） 三角形中最大的角是70，那么这个三角形是锐角三角形。一个三角形中最多有三个锐角，最少有两个锐角。一个等腰三角形一定是锐角三角形。一个三角形最少有一个角不大于60 o变式2:三角形的三个外角中最多有 锐角，最少有 钝角。0、设a, B, 丫是三角形的三个内角，则a +B,B +Y, a +丫中（）A 有两个锐角、一个钝角B有两个钝角、一个锐角C 至少有两个钝角D三个都可能是锐角题型六、三角形内角与外角的关系三角形一外角等于与其不相邻的两内角之和，从而大于

19、其中任意一个角。1、四边形ABCDK DC/ AB, P为BC上一个动点（不与B、C重合），/ CDPa，与/B的大小有何关系？为什么?2、已知：如图，AD是厶ABC的角平分线，AE是厶ABC的外角平分线，若/ DAC=20，冋/ EAC =()B、70C、80D、90A、60E3、如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的2倍,且等于与它不相邻的一个内角的4倍,那么这个三角形一定是（）A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形变式1:如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225,则与这个外角相邻的内角是变式2:如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180,则

20、该三角形是（）A.直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 无法确定变式3 :若三角形的一个外角小于与它相邻的内角互补，则这个三角形是（ ）A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形D 无法确定4、如图 1, D、B、C 在同一直线上，/ A=60 , / C=50 , / D=25，则/ 1 =图2变式：如图2,已知DE分别交 ABC的边AB、AC于D、E,交BC的延长线 于 F,/ B = 67, / ACB = 74, / AED = 48,求/ BDF 的度数.5、如图 ABC 中,/ B=Z C , FD 丄 BC , DE 丄 AB , / AFD = 158 则/ ED

21、F&如图,a/ b,则下列式子中值为180的是（）A.B .C .D .ab7、如图2, AOB中,/ B=30,将厶AOB绕点O顺时针旋转52得到 A/OB/ ,AO8、已知等腰三角形的一个外角是120,贝尼是（）A 等腰直角三角形B 一般的等腰三角形C 等边三角形D等腰钝角三角形9、如图，在 ABC中，/ A=70，若/B的内角的平分线与/C的外角平分线 。若/ A=a,试探求/ BPC与 a的关系。1变式 1:在 ABC 中，/ A=36，/ DBA= / ABC，3的度数。变式2:如图，在 ABC中，BE是/ ABC的内角平分线，CE是/ ACB的外角 平分线，BE、CE交于E点，试探

22、究/ E与/ A的大小关系.10、如图,ABC中,A 50o,点D、E分别在AB、AC上,贝U 12的大小为（）A. 130B.230变式：如图，已知/ BOF=120 ,贝U/ A+ / B+ / C+Z D+ / E+Z F=题型七、多边形（1）多边形的对角线n（n 3）条对角线；2（2）n边形的内角和为（n 2）x 180;（3）多边形的外角和为3601、下列说法正确的有（填番号）由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形。由不在同一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形 在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形。从n边形一个顶点出发，可以引出（n-3）条对角线，得到（

23、n-2）个三角形 没有对角线的多边形只有三角形。正多边形都是凸多边形。2、各个角的多边形叫正多边形。3、下列多边形是凸多边形的是（，各条边多边形内角和注：多边形内角和为（n-2）x 180,因为在三角形的基础上，没增加一条边，就相当于增加了一个三角形，内角之和就增加了 180。正多边形内角之和 相等，因为知道了边数就知道了角的度数 =（n-2 ）X180十n,知道了角的度数 就知道了边数=360- （180 a ）。1、n（n为整数，且n 3）边形的内角和比（n 1）边形的内角和小度.变式：一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）A 内角和增加360 B 外角和增加360 C对角线增加一条

24、D 内角和增加180变式：四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角可能（）A都是钝角B都是锐角C是一个锐角、一个钝角D是一个锐角、一个直角变式：已知四边形ABCD中，A: B: C: D 1:2:3: 4,贝U C的度数为变式：若一个多边形的内角和等于720。，则这个多边形的边数是（）A.5B.6C.7D.8变式：一个多边形内角和是1080，则这个多边形的边数为（）A 、6 B 、7 C 、8 D 、92、一个多边形的每一个内角都等于144。，则它的内角和等于（）A. 1 260。B. 1 440。C.1 620。D. 1 800。变式：一个多边形的各内角都等于120，它是边形。变式：

25、不能作为正多边形的内角的度数的是（）4A . 120B . （128 ） C . 144D . 1457变式：两个正多边形的边数之比为1 : 2,内角和之比为3： 8,求这两个多边形 的边数、内角和。变式：一个多边形除去一个内角后的度数和为2300 个内角的度数.求它的边数和除去的那的度数是变式：如图，四边形ABCD中，A C 90o, 12, 3EC4 .求证 BE/ DF .3、如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD,贝U CAD变式：如图，分别以四边形的各个顶点为圆心半径为 2作圆（四边形的每一边长 都大于4），问这些圆与四边形的公共部分的面积之和是多少？变式：如图，六边形ABCD

26、E的内角都相等,BC与 EF有这种关系吗？为什么？4、如图，若/ A=32，/ B=45,Z C=38，则/ DFE等于C变式：如图所示，在 ABC中E、F分别在AB AC上，则下列各式不能成立的是AB0CM2+/ 6+Z A B ./ 2=Z 5- / AC . Z 5=Z 1 + Z 4D . Z 仁/ABC# 4变式：(1)如图：求Z A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F的度数(2) 当图变为图时，求上面六个角的和。(3) 当图变为图时，求上面六个角的和。多边形外角和注：多边形外角和为360 ，是永远不变的，因为内角和为(n-2) X 180 : 而内角与外角都是一对对互补的，也就

27、是内外角总和为nX 180，从而内外角总和内角总和=外角总和=360。因为外角度数一定，所以角越少，外角就越 大，从而三角形的外角为钝角的概率最大，为三个，当然，其它多边行都可以有 三个外钝角，不过是不能超过的。正多边形只有等边三角形有外钝角和内锐角， 正四边形有外直角和内直角，其它正多边形都是外锐角和内钝角。正多边行的内角相等、边相等，但边相等的不一定是正多边行，内角相等的 也不一定是正多边形，只有两者都符合是才是正多边形。一般求内角相等的多边形的边数，能用到外角总和除以内角就更简便。 四边形两外角之和等于与它们不相邻的两内角之和。1、若多边形的边数增加一条，贝U这个多边形的外角和增加 变式

28、：多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（）A 互为余角 B 互为邻补角 C两个角相等 D 外角大于内角 变式：一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是（）A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个变式：一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形的边数为（）A.4B.5C.6D.8变式：一个正多边形的每一个外角都等于60。，则这个正多边形的边数为 .变式：已知一个多边形的每个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为7:2，则这个多边形的边数为变式：一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是边形；2、一个多边形每个顶点取一个外角，这些外角中钝角最多有（）A.1 个 B.2 个C.3个D.

29、4个变式：若一个多边形的各内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能 是（）A . 2:1 B . 1:1 C . 5:2 D . 5:4变式：n边形的内角和与外角和之比为13： 2，求n .变式：如图,小敏在操场上从A点出发,沿直线前进10米后向左转40,再沿直线 前进10米后,又向左转40。，照这样走下去，她第一次回到出发点A时,一共走了 米.变式：如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15，再前进10m，又向右转 15，这样一直走下去，他第一次回到出发点 A时，一共走了 _m .变式：已知六边形ABCDEJF它的每个角都相等，且 AB=1, BC=CD=DE=9 求这个六边形的周长

30、。AB+ BC 与EDE EF3、(1)如图,试研究其中1、2与3变式：已知，如图，六边形 ABCDE的各个角都相等，请判断 的大小，并说明你的理由.(2) 如果我们把1、2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式(3) 用你发现的结论解决下列问题：如图,AE、DE分别是四边形ABCD的外角线，B C 240。，求E的度数.NAD、 MDA的平分AE八、找规律注：找规律，一般分为图形规律和数量规律图形规律一般要观察各部分的变化情况，总结出变化规律。数字变化规律，要看数量每次增加的多少，一般可以借图形增长的部分来总 结增长规律。1、.依次观察左边三个图形，并判断照此规律从左向右第四个图形

31、是（）（A）A（ B）（O（ D）变式：如图,用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律，拼成若干个图 案,则第n个图案中白色地砖的块数为（）A. 2n 4 B. 3n 4C.4n 3D. 4n 2变式：填表：用长度相等的火柴棒拼成如图所示的图形三角形的个数12345n所有火柴的根 数35792、如图所示的是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n （n1）盆花,每个图案花盆的总数为S,按此规律推断S与n有什么关系,并求出当n=13时，S的值。OO0 oo O o oO o o 0o o o on=2,s=3n=3,s=6n=4,s=9变式：如图所示，用火柴杆摆出一系列

32、三角形图案，按这种方式摆下去，当摆到20层(n=20)时，需要多少根火柴？变式：观察并计算下列每个图形的所有三角形的个数，根据其变化规律，可得到第个.gg10个图形的三角形的个数是九、多边形对角线注：凸(正)n变形的对角线，从一点开始引出所有存在的对角线，自己不 算，旁边两点不能连接，这样就有(n-3)条；然后顺时针或逆时针方向，从第 二点引出所有未被连的对角线，也是(n-3)条；从第三点引出所有未被连接的 对角线，本来也是有(n-3)条，但是由于第一点已经向第三点连出了一条，所 以只能连(n-4)条；第四点，由于第一点和第二点都向它连过了，所以只能连(n-5)条；第(n-2)个点能连出到第n

33、个点的一条对角线；第(n-1 ) 和第n个点没有可以连的点了。所以凸(正)n变形的对角线的总和为：S=( n-3)+( n-3)+( n-4)+( n-5)+2+1=(n-3)+( n-2)( n-3)- 2=(nA2-3n ) - 21、细心地填一填，你发现有什么规律？多边形的边数3456n多边形内角的个数多边形外角的个数从一个顶点引出的对角线的条数多边形总共对角 线的条数从一个顶点引出的对角线分成的三角形的个数规律：变式：一个多边形从每一个顶点出发都有 4条对角线，那么这个多边形的内角和 为.变式：若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引8条对角线，则它是（）A 十三边形 B 十二边形 C 十一边形 D 十边形2、 六边形共有条对角线，它的内角和是 度变式：五边形的对角线