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1、一、曲线积分与路径无关的定义,B,A,如果在区域G内,二. 平面曲线积分与路径无关等价条件,定理2. 设D是单连通开区域,在D,内具有一阶连续偏导数,1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有,2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分,3,4) 在D内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关,函数,则以下四个条件等价,在D内是某一函数,的全微分,即,1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有,2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分,与路径无关, 只与起止点有关,证明 (1) (2,设,为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则,3) 在D内是某一函数 的全微分, 即

2、,2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分,与路径无关, 只与起止点有关,证明 (2) (3,在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B( x , y ),与路径无关 , 设,3) 在 D 内是某一函数 的全微分, 即,4) 在D内每一点都有,证明 (3) (4,设存在函数 u ( x , y ) 使得,则,P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有,4) 在D内每一点都有,设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为,如图 ), 因此在 上,利用格林公式 , 得,证明 (4) (1,二. 平面曲线积分与路径

3、无关等价条件,定理2. 设D是单连通开区域,在D,内具有一阶连续偏导数,1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有,2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分,3,4) 在D内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关,函数,则以下四个条件等价,在D内是某一函数,的全微分,即,说明,若在某区域内有,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 求全微分 Pdx+Qdy 在域 D 内的原函数,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径,解：因为,即不含原点的单连通域，积分与路径无关,取新路径,其参数方程为,

4、例2. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x,y) 使,例3. 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数,并求出它,证: 令,则,由定理 2 可知存在原函数,或,故积分路径可取圆弧,例4. 设质点在力场,作用下沿曲线 L,由,移动到,求力场所作的,功W. ( 其中,解,令,则有,曲线积分在除原点外的单连通开区域上与路径无关,思考：积分路径是否可以取 为什么,设函数 平面上具有一阶连续偏导数， 曲线积分,与路径无关，并且对任意t恒有,解：由积分与路径无关的条件知,两边对t求导得,内容小结,1. 格林公式,2. 等价条件,在 D 内与路径无关,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线L,在 D 内有,设 P, Q 在 D 内具有一阶连续

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