几何概型讲义

1、几何概型的常见题型几何概型是高中新课改后增加的一种概率类型，也是高考的一个新增热点， 但由于试题设计的背景不同，试题所呈现的方式也不同， 此试卷通过对几何概型试题的归纳整理，以便更好地理解和掌握此类问题 一.几何概型的定义1定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则 称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等3计算公式：P（A）构成事件A的区域长度（面积或体 积）试验的全部结果所构成_的区域长度（面积或体_积）说明：用几何概率公式计算

2、概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量4古典概型和几何概型的区别和联系：（1） 联系：每个基本事件发生的都是等可能的（2）区别：古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的;两种概型的概率计算公式的含义不同二.常见题型1 与长度有关的几何概型例 1. (2009山东卷文理）在区间1,1上随机取一个数X1x , cos 的值介于0到之间的22概率为（).1A.-3B.22D.-3分析：在区间1,1 上随机取任何一个数都是一个基本事件所取的数是区间1,1的任意个数，基本事件是无限多个， 而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x的取

3、值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件解：在区间1,1上随机取一个数x1X,即X 1,1时要使cos的值介于0到丄之间,22需使或2233X2 22、2 、 、 21 x 或 x 1，区间长度为，3 33x1由几何概型知使cos的值介于0到之间的概率为2 2符合条件的区间长度 所有结果构成的区间长 度231-.故选A.23练1.取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于的概率是.111A.B.C.D.不确定2343. 两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率是.2.在等腰Rt ABC中，在斜边 AB上任取一点 M，求

4、AM的长小于AC的长的概率.4. 平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r0,y 0,z05 与线性规划有关的几何概型例5.小明家的晚报在下午5: 306: 30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家在下午6: 007: 00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少?分析：该题题意明确，但如何转化为数学模型需要从实际问题中分析出存在的两个变量于晚报送到和晚饭开始都是随机的，设晚报送到和晚饭开始的时间分别为x、y，然后把这两个变量所满足的条件写成集合的形式，把问题转化为线性规划问题进行求解解：设晚报送到和晚饭开始的时间分别为x、y.用(X, y)表示每

5、次试验的结果，则所(x, y)5:30x 6: 30,6 y 7 ,即为图3中正方形ABCD的面积；记晚报在图3陛晚报送达X晚餐开始之前被送到为事则事件 A的结果为：A (x, y)5: 30x 6: 30,6 y7,x为图2中阴影部分区域SaBCD111 ,7_S阴影8所以所求概率为:PSaBCD 1故晚报在晚餐开始之前被送到的概率是78 .反思：此类问题常会涉及两个随机变量的相互关系，其求解的步骤为:(1 )找设变量.从问题中找出两个随机变量，设为 x, y ；(2) 集合表示.用(x, y)表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示出全部结果和事件A所包含的试验结果一般来说，两个集合都是

6、几个二元一次不等式的交集(3) 作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作出，并求出集合 ，A对应的区域的面积（4）计算求解.由几何概型公式求出概率1.从（0,2 ）中随机取两个数，两数之和小于0.8的概率是多少?2. 一条线段长为a，把这条线段分为三段，求三段线段能构成三角形的概率。3. 两人约定在20： 00到21： 00之间相见，并且先到者必须等迟到者 40分钟方 可离去，如果两人出发是各自独立的，在20： 00到21： 00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率.4. 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头 ，它们在一昼夜内到达码头 的时刻是等可能的，如果甲船停泊时

7、间为1h,乙船停泊时间为2h求它们中的任意一 艘都不需要等待码头空出的概率当堂练习：1 .从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在4.8，4.85（g）范围内的概率是（）A. 0.62B. 0.38C . 0.02D . 0.682 .在长为10 cm的线段ABt任取一点 25 cm2与49 cm2之间的概率为（31A.B.1053同时转动如图所示的两个转盘，（x，y），则所有数对（1A.P,并以线段AF为边作正方形，这个正方形的面积介于 ）16y)25记转盘甲得到的数为中满足xy = 4的概率为（4D.-5转盘乙得到的数为y

8、，构成数对）4. 如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（）A.20分钟，过时离去则 求两人会面的5 .两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人 概率为（）6如图，某人向圆内投镖,如果他每次都投入圆内,A.B.-45，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（）A.1B.-C.-D . 384247 .如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为&现有100ml的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml的蒸馏水,概率为(1111A.B.CD10020105则抽到细菌的

9、）5: 00 至9 一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨12.在500ml的水中有一个草履虫, 虫的概率是（）A. 0.5 B . 0.4 C则发现草履0.004 D .不能确定7 : 00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（）1111A.4B.8C.10D.1210.在区间0,10中任意取一个数,则它与4之和大于10的概率是（)1232A.5B.5C5D.711.若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线L，则L与线段BC相交的概率为1111A.2B.3C6D.12现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,14 .已知地铁列车每10min

10、一班，在车站停 1min .则乘客到达站台立即乘上车的概率为.15. 随机向边长为2的正方形ABC中投一点P,则点P与A的距离不小于1且与 CPD为锐角的概率是.516. 在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是618. 飞镖随机地掷在下面的靶子上.(1) 在靶子1中，飞镖投到区域 A B、C的概率是多少？(2) 在靶子1中，飞镖投在区域A或B中的概率是多少？在靶子 2中，飞镖没有投在区域 C中的概率是多少？30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不19. 一只海豚在水池中游弋，水池为长 超过2m的概率.丄1120. 在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段

11、可以构成三角形的概率.1.B; 2.B; 3.C; 4.A; 5.C; 6.A; 7.A; 8.B; 9.C; 10.C; 11.C; 12.B; 13.B; 14.4arcs in-2515. ; 16.; 17. 87.5%;_72212 318. (1)都是丄；(2)洱。3 3 419. 解：由已知可得，海豚的活动范围在26X 16 m2的区域外，所以海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为P 1 26 160.308 。30 2020.解：设构成三角形的事件为A,长度为10的线段被分成三段的长度分别为x, y,10( x + y),0x100x10则0y10，即0y10010(x y)10 0xy 10由一个三角形两边之和大