几何证明——角平分线模型中级

1、几何证明一一角平分线模型（中级）【知识要点】1、角平分线：（1 ）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（作用：证明两条线段相等）；（2）逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（作用：证明两角相等或一条射线是一个角的角平分线）。如图3,已知BP平分ABC,PA/ / AC，则AB AP ;已知BP平分ABC ,EF /PB，则BEBF 。如图4,三线合一（利用角平分线+垂线t等腰三角形）如图5，已知AD平分BAC , 且 ADBC，则 AB AC , BD CD 。3、角平分线比例定理AB如图6, AD为 ABC的角平分线，则ACC(5)BD 亠 A

2、B AC 或CD BD CDABDC【经典例题】例1、已知如图， ABC中，BC AC , AD平分 CAB，若 C 90，求证：AB AC CD ；2、角平分线常见用法（或辅助线作法）垂两边：如图1，已知BP平分 ABC ,过点P作PA AB , PC BC，则PA PC。截两边：如图2，已知BP平分 MBN，点A BM上，在BN上截取BC BA，贝U ABP也 CBP。角平分线+平行线t等腰三角形:例2、如图，在Rt ABC中， ACB 90 , CD AB于D , AF平分 CAB交CD于E ,交CB于F ,且EG / AB交CB于G。试求：CF与GB的大小关系如何？例3、已知如图， A

3、BC中，BC AC，AD平分 CAB，若 C 108，求证：AB AC BD ；例4、如图：已知I是 ABC的内心，DI /AB交BC于点D， EI/AC交BC于E。求证：DIE的周长等于BC。例5、如图：已知在 ABC中， ABC的平分线与 ACB的外角平分线交于点 D , DE / BC，交AB于 点E，交AC于点F，求证：EF BE FC 。M例6、如图，已知求证：BEABC中 BAC 90 ,AB AC,CD垂直于 ABC的平分线BD于D , BD交AC于E ,2CD。【提升训练】1、如图，已知ABC的周长是21,OB,OC分别平分 ABC和 ACB，OD BC于D，且0D 3，求AB

4、C的面积.2 如图， ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O ,贝U Sa ABO : Sa BCO :Sa cao=3.如图，/ AOB=30 , OP 平分/ AOB , PC/ OB , PD 丄 OB，如果 PC=6，那么4 .如图，AD是厶ABC的角平分线，DF丄AB，垂足为F, DE=DG , ADG和厶AED的面积分别为 50和39,求 EDF的面积.5.已知如图在 ABC中，/ ACB=90，CD丄AB于D，/ A的平分线交 CD于F, BC于E,过点E作EH丄AB 于 H .求证：EC=CF=EH .6已知：如图，平行四边形ABCD各角的

5、平分线分别相交于点E, F, G, H ,7如图，等边 ABC中，AO是/ BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在 CD下方作等边 CDE , 连接BE (1)(2)求证： ACDBCE ;延长BE至Q，P为BQ上一点，连接 CP、8如图，已知在 ABC中, 个距离是多少？/ B=90，两直角边9.已知：如图在 ABC 中，/ C=90，AD 平分/ BAC，交 BC 于 D，若 BC=32，且 BD : CD=9 : 7,求：D 到AB边的距离.10 如图， ABC中，点D在BC上，记 ABD的面积为Si， ACD的面积为S2,若S1:S2=AB : AC，则AD是厶ABC的角平

6、分线.请说明理由.11、如图，已知在 ABC中，分别以AC,BC为边向外作正 BCE、正 ACD，BD与AE交于M，求证:(1) AE BD ( 2) MC 平分 DME。12、已知：如图，APCP分别是 ABC外角 MAC和CNCA的平分线，它们交于点 P，求证：BP为MBN的平分线。CN13、如图， AB 2AC, BAD DAC, DA DB，求证：DC AC。C14、如图，已知 AC / BD、EA、EB分别平分CAB和 DBA,CD 过点 e，求证：AB AC BD 。15、如图， ABC中，AD是 A的平分线，E,F分别为AB, AC上一点，且 EDF BAF 180，求证：DE

7、DF。16、已知：AC 平分 BAD, CE AB, B D 180，求证：AE AD BE。17、已知，在 ABC中，BP、CP为角平分线，过P点作EF / BC交AB于E，交AC于F。求证：EF BE CF。18、已知如图， AD平分 BAC , AC AB BD，求证:119、如图，在四边形 ABCD中，AC平分 BAD，过C作CE AB于E，并且AE (AB AD)，求 2证：ABC ADC 180。20、已知 ABC 中，AB AC , GE 过 A 且 GE / BC ,B的平分线与AC和GE分别交于D、E ,的平分线与 AB和GE分别交于F、G。求证DE FG 。21、如图，已知

8、线段 AB / CD , AD与BC相交于点F , BE平分1ABC，AE -AD，猜想线段 AB、2BC、CD三者之间有怎样的等量关系 ？请写出你的结论并予以证明。22、如图，已知 ABC中，CE平分 ACB，且AE CE， AEDCAE 180，求证：DE/BC。23 .如图所示，在四边形 ABCD中，/ A=90 AD=4，连接 BD , BD丄CD，/ ADB= / C.若P是BC边上一动 点，贝U DP长的最小值为 .24 如图所示，过线段 AB的两个端点作射线 AM、BN，使AM II BN，/ MAB和/ NBA的平分线交于点 E，过 点E作一直线垂直于 AM，垂足为点 D，交B

9、N于点C (1)观察DE、EC,你有什么发现？请证明你的结论；(2)请你再研究 AD+BC与AB的关系，并给予证明.25 .已知:如图所示，AQ，BM，CN是厶ABC的三条角平分线试说明 AQ，BM，26 .如图, ABC 中，/ C=90，AD是角平分线,AC=8，AD=，求/ B、BC、AB .27 如图,已知/ BAC=90，AD 丄 BC 于点 D，/1 = / 2，EF II BC 交 AC 于点 F.试说明 AE=CF .28 如图，已知点 B，C分别在射线 AN，AM 上，/ MCB与/ NBC的平分线交于点 P.(1)求证：AP 平分/ BAC ;(2)若/ ACB=90 ，P

10、C=W2，PB=5，AB=7，求 AP 的长.29 .如图， ABC 中，AC=BC , AD 平分/ BAC，若 AC+CD=AB，求/ C 的度数.30 .如图，在 ABC中，/ C=90，M为AB的中点，DM丄AB，CD平分/ ACB，求证：MD=AM31 .如图， ABC中，D为BC的中点，DE丄BC交/ BAC的平分线于 E，EF丄AB，交AB于F, EG丄AC ,交 AC的延长线于 G,试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论.32 已知：点 P为/ EAF平分线上一点， PB丄AE于B，PC丄AF于C,点M、N分别是射线 AE、AF上的点，且 PM=PN .(1) 当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时(如图1)，求证：BM=CN ;(2) 在(1)的条件下， AM+AN= AC ;(3) 当点M在线段AB的延长线上时(如图 2),若AC : PC=2 : 1，PC=4，求四边形 ANPM的面积.33 .已知:(1) 如图(2) 如图Z1,2,DAB=120 , AC 平分/ 当/ B= / D时，求证： 当/ BZ D时，猜想(34、如图，已知 MAN120 ,DAB , Z B+ Z D=180