基本不等式及其应用教学设计

1、精品文档 基本不等式及其应用教学设计 基本不等式及其应用一知识结构a?b?(a?0，b?0)，当且仅当_时，等号成立?2a?b其中和ab分别称为正数a，b的_和_22.基本不等式的重要变形：a2?b2?_(a，b?R)?ab?_；a?b?_(a，b?R?)?ab?_2a?b222?a?b?2经典例题：下列不等式在a、b0时一定成立的是_2aba?b2aba?b若x?y?S，则当x?y时，积xy取得最_值；4若x?y?P，则当x?y时，和x?y取得最_值2P利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件题组一：利用不等式

2、求最值例1：求下列各题的最值：4?x的最小值；x?352x?R，求f(x)?sinx?1?的最小值；sin2x?140?x?，求f(x)?x(4?3x)的最大值；3x?3，求f(x)?已知x?0,y?0,且变式练习：1设a,b?R，且a?b?3，则2?2的最小值是第-1页ab19?1,求x?y的最小值xyA6B42C22D262下列不等式中恒成立的是Ax2?214x2?4?2Bx?2C?2D2?3x?2xxx2?2x2?5B当x?0时,x?1?2x3下列结论正确的是A当x?0且x?1时,lgx?1?2lgxC当x?2时,x?11的最小值为2D当0?x?2时,x?无最大值xx4若x,y是正实数，

3、则(x?y)(?1x4)的最小值为yA6B9C12D155若正数a、b满足ab?a?b?3，则a?b的取值范围是A9,?)6,?)C(0,9D(0,6)6设y?R，且4y2?4xy?x?6?0，则x的取值范围是A?3?x?3B?2?x?3Cx?2或x?3Dx?3或x?27下列函数中最小值是4的是44By?sinx?xsinx12?3,x?0Cy?21?x?21?xDy?x?2x?1Ay?x?8若关于x的方程9?(4?a)?3?4?0有解，则实数a的取值范围是A(?,?8?0,?)B(?,?4C(?8,4D(?,?89已知x?xx51，则函数y?4x?2?的最大值44x?52a2?2a?110已

4、知a?2，p?，q?2?a?4a?2则a?2Ap?qBp?qCp?qDp?q11已知函数f(x)?lg(5?x4?m)的值域为R，则m的取值范围是5xA.(?4,?)B.?4,?)C.(?,?4)D.(?,?4xy12.设x,y?R,a?1,b?1，若a?b?3，a?b?11?的最大值为xy13若ab1，Plga?lgb，Q?lga?lgb?，Rlg?第-2页12?a?b?，则P、Q、R的大小关系?）2?是；例2：某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248池底建造单价为80元/平

5、方米,水池所有墙的厚度忽略不计.试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出总造价；方米池四元/米,最低若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.1某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y与营运年数x的函数关系为y?(x?6)2?11(x?N?),则每辆客车营运多少年，其运营的年平均利润最大少小时？3某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进

6、货量应为子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域；当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？25某校要建一个面积为392m的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值辆/小时）若要求在该时段内车流量超过10千辆/7如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=

7、3米，AD=2米，第-3页(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积；(3)若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？8解：设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为S?xy依题设，40x?2?45y?20xy?3200，由基本不等式得3200?240x?90y?20xy?xy?20xy?S?20S，?S?6S?160?0，即(S?10)(S?6)?0，故

8、S?10，从而S?100所以S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x?90y且xy?100，求得x?15，即铁栅的长是15米第-4页基本不等式的应用教学案例基本不等式是人教A版普通高中新课程标准实验教科书数学必修5第三章第四节内容，是在系统的学习了不等关系，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，基本不等式是必不可缺的基本不等式在不等式知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，近几年高考对不等式的证明要求有所降低，主要以求最值等形

9、式出现，所以利用基本不等式求最值应重点研究一、教学设计思路本节课是复习课，通过上几节课的学习，让学生自己观察、分析、发现解题规律，进而归纳总结出一般方法二、教学目标及重点难点教学目标知识与技能：进一步掌握基本不等式ab?的最值过程与方法：通过对问题的探究，培养学生分析问题、解决问题及归纳能力情感态度与价值观：激发学生学习和应用数学知识的兴趣，培养严谨的科学态度教学重点利用基本不等式求最值教学难点拆项、凑项构造基本不等式的形式，及不等式成立的条件1、基本不等式2、利用基本不等式求最值应具备的条件是什么？求下列函数的值域11y3x2yx2xx题型归纳1y?Ag(x)?Bg(x)?C(A?0,B?0

10、)类型函数求最值a?b2，会应用此不等式求某些函数例1：求下列函数的值域y3x2例2：已知x?方法：凑项5411yx2xx?4x?2?14x?5，求函数y的最大值.2y?ax2?bx?cmx?n2类型函数求最值例3.求y?法一：分离法二：换元变式：2.求函数y?2的值域ax注意：若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)?x?3y?ax(b?cx)类型函数求最值例4.当方法：凑系数变式：设0?x?32的单调性时，求y?x(8?2x)的最大值，求函数y?4x(3?2x)的最大值4二元函数的条件最值21例5.已知正数x,满足?2，求x?2yy的最小值.xy方法：整体代换注意：多次连用最值定理求最值时

11、，要注意取等号的条件的一致性方法：构造不等式求xy和x+y的取值范围变式训练求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.y?2x?1x?3,x?3y?sinx?达标检测4sinx,x?(0,?)求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.y?x?3x?1x2,(x?0)若x,y?R?且2x?y?1，求1x?1y的最小值已知0?x?1，求函数y?.；230?x?，求函数y?.1已知a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值ab学习总结我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式学生通过这节课的学习不仅掌握了求最值的方法，

12、还体验到成功的喜悦进而使学生掌握了学习数学的方法基本不等式教学设计高三一轮复习数学必修5第3章第4节武汉市第十一中学苏敏一、教材背景分析1.教材的地位和作用本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用

13、需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体.本节是复习课，不仅应让学生进一步理解概念，还要掌握应用基本不等式求最值，体会基本不等式在实际生活中的指导作用2.学情分析在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识.如何让学生再认识“基本”二字，是本节学习的前提.事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用.因此

14、，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质.另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件在解决最值问题中的作用.3、教学重难点：教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度回顾和探索基本不等式的证明过程；用基本不等式解决一些简单的最值问题.教学难点：回顾在几何背景下抽象出基本不等式的过程；基本不等式中等号成立的条件；应用基本不等式解决实际问题.二、教学目标1、利用“赵爽弦图”回顾重要不等式、基本不等式，再利用教材中的“探究”回顾

15、基本不等式的几何意义，通过基本不等式的回顾，进一步让学生体会和感悟形数统一的思想方法；2、通过对教材“探究”再探究，引导学生拓展基本不等式，体会基本不等式的应用；3、通过对教材中例题的变式教学，让学生体会和感悟应用基本不等式求最值应该注意的问题，解决基本不等式在实际中的应用；4、利用电脑屏幕的情景，激发学生学习数学的热情，进一步培养学生的数学应用能力；5、通过学生自主构建知识网络结构图，深化对基本不等式的理解三、教学对策本节作为基本不等式的复习课，一是借助弦图和几何画板演示，让学生回顾基本不等式的概念形成过程，体验基本不等式模型的观察、分析、猜想和概括等系列思维活动过程，复习基本不等式的代数结

16、构特征，体会数学抽象思维的方法；二是通过基本不等式的证明方法的探索和不同角度的欣赏，学生能用文字语言、符号语言和图形语言表述基本不等式的结构特点，归纳得出基本不等式中等号成立的条件及其使用条件，进一步体会数形结合的思想方法；三是要引导学生用基本不等式解决常见的最值和实际问题，进一步体验数学建模的过程；四、教学基本流程设计：五、教学过程温故知新，回顾基本不等式.情景引入：问题1、请同学们重温“赵爽弦图”，比较正方形ABCD的面积S和里面的四个小三角形面积之和S的大小，看可以得到怎样的不等关系？问题2ab,可以得到什么数学结论？a?b2问题3、那么在使用基本不等式时，对实数a、b有什么要求呢？?a

17、、b的“几何平均数”，a?b而则称为是它们的“算术平均数”2下面请大家打开课本第98页，看探究中的图a?b问题4的几何2解释？思考：它们之间的大小关系是否能够在图中体现出来？问题5、让D点动起来，请大家指出等号成立的条件.链接1生：a,b?R?(以数构形，让学生在实际图形中感受基本不等式的几何解释)探究“探究”，利用基本不等式证明.链接2问题6、过C做CE垂直与OD与E，过O做OF垂直于AB交圆O于F，连接FC,请大家计算DE和FC的长度.2ab刚刚我们计算出的a?ba?b2ab问题7、请大家比较它们的大小关系，用不等号将.2a?ba?b?由DE?CD?OF?FC,.112?ab2问题8、在这

18、个链状不等式中，有三处等号，这三个等号能否同时成立呢？(设计意图：对图形进行进一步分析，引导学生发现调和平均数和平方平均数让学生体会到我们不仅能以数构形，寻找到数量关系的几何解释，更重要的是，对图形的观察分析可以以形识数，发现和完备我们的代数结论)问题9、当然，仅仅通过观察得到图形中的感性认识是不够的，下面让我们一起完成上面这个不等式链的代数证明问题10、首先请一个同学说说你的具体证明要分几个步骤？课本变式，利用均值不等式求最值.将课本打开到第99页的题目做一些修改，大家重新思考对于例2，我们改为：变式1、某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定，如果池

19、四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计价最低，并求出最低总造价实际应用，体会基本不等式的实际意义.安德森概念本华为S7问题11、请同学们看大屏幕，这是富士通刚推出的“安德森”正方形概念本和华为的平板电脑“S7”；它们屏幕都是寸，这是否意味着它们的屏幕面积都是一样大呢？问题12、那大家认为谁的屏幕更大一些，请谈谈理由问题13、最后我们回到笔记本的屏幕上，大家知道，同样是17寸的笔记本，5年前的屏幕和现在的屏幕有什么变化吗？问题14、那改变长宽比的原因是什么呢？问题15、从材料上来看，大家认为16:9比4:3更为节省材料是吧？大家对角线一定的情况下，长宽比对面积有什么影响呢？链接3归纳总结，形成知识网络图.方法提炼，数学思想升华.六、教学反思形数结合是我们认识数学的重要思想.本课的设计思路