3.5分部积分法

1、3.5 分部积分法教学目的：使学生理解分部积分法， 掌握分部积分法的一般步骤及其应用。重点： 分部积分法及其应用难点： 分部积分法及其应用教学过程：一、问题的提出利用前面所介绍的积分方法可以解决许多积分的计算，但对于象ln xdx 、udv uv vdu上式两端同时求不定积分即得则可借助该公式求xcosxdx等这样一些简单的积分却仍然无能为力，为了解决这个问题，我们可用两个函 数乘积的微分法则推得求积分的另外一种方法分部积分法 .二、分部积分公式：定理设函数u u(x)及v V(x)都具有连续的导数，则有分部积分公式udv uv vdu (或 uv dx uv vu dx )证明由公式d(uv

2、) vdu udv得udv d(uv) vdu证毕由分部积分公式可知， 如果等式右端中的积分较左端积分容易求出，出左端积分的结果，这种求积分的方法叫分部积分法三、解题步骤 ：若某积分能表示为udv的形式，且使得积分vdu较积分udv容易求出，那么可考虑 用分部积分法计算，其一般解题步骤如下：将f(x)dx变成udv的形式，并确定函数u及v ；根据公式将积分转化为 udv；计算积分 udv，从而求得原积分的结果选取u与v的原则是：v要容易求得，uvdx要比 uvdx容易积出。当不定积分中的被积函数为反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数这 五类函数的乘积时，一般取前者为 u(x)，即按

3、“反、对、幕、三、指”的顺序，将前者选 项为u(x)，剩余部分选作 dv，不难验证，这种选 u(x)的方法符合上述选u与v的原则。四、应用举例：例 1 求 xsin xdx.解：设u x，dv sinxdx，那么du dx，易得vcosx，代入分部积分公式得xsin xdx xcosx cosxdx而上式右端中的积分cosxdx容易求出，所以xsin xdx求这个积分时，如果设xcosx sinx C sin x，2xdv xdx，那么du cosxdx,2cosxdx2上式右端的积分比原积分更不易求出.由此可见，应用分部积分法求积分时，恰当地选择u及dv是一个关键选择u及dv一般要考虑下面两

4、点：曰 xsin xdx是V要容易求得;2x . sin x2vdu较积分udv容易求出.x2exdx解：设u2 xexdxdv exdx，那么2 xx .x e 2 xe dxdu 2xdx, v ex2 xx、2 xxxx e 2 xd(e ) x e 2xe 2 e dx2x 2)ex C(x2由此题可以看出，同一个题中，有时须要反复多次运用分部积分法 在运算比较熟练以后，写出求 xfxdx.注:u及dv的过程可以省略解:x3 In xdxln xd丄x4lnx41 x4d (In x)4解:解:lnx4求 lnxdxIn xdxx In x求 csinxdxdxIn x1一 x16xd

5、 (In x)xlnx dx xlnxarcsin xdxxarcsin xxd (arcsin x)x arcsi nxxdx xarcsi nx - 1d(1V1 x22 心 x2x2)xarcs inx 1 x2 C.注：例4、例5可以看出，利用分部积分法求积分时，若被积函数为单一函数，则视被 积式为udv而直接运用分部积分公式.例 6 求 xsinxcosxdx1解:xsin xcosxdx xd ；cos2x解:1 1 xcos2x41xcos2x4求 x2 arctanxdxarcta n xdx1 3-x31 3x31 3x3exsin xdx解：取uex sin xdxcos

6、2 xdx41si n2x C83arctanxd(x )arcta n xarcta n xarcta n xsinx，那么sin xd(ex)x e sin3131x63x2 dx1 xxdxln(1 x2) Cex cosxdx(取 ucosx，再次运用分部积分公式)x e sincosxd (ex)x e sinxe cosxexd(cos x)ex (sin xcosx)ex sin xdxe sinxdx(出现“循环”由于上式右端的积分正是要求的积分exsin xdx e (sin x cosx) C 可求得2.但要注意，由于上式右端不含有积分项，因此必须加上任意常数dx(x2 a

7、2n),此时可用解方程的方法,In例9求解：用分部积分法，当，其中n为正整数.1时，有dx(x a )(x1)曰是,xn 1(x a )X(x2 a2)n1122a (n 1)以此作为递推公式，并由2(n2(n x(x2I11)1)(I1n 1(x a )Rdx a )2a2、n 1a )1 a2In)(2n 3)In 11-arctan Caa，即可求得 当被积函数为反三角函数、对数函数、幕函数、三角函数、指数函数等五类函数（简称“反、对、幕、三、指”）中某两类函数的乘积时，往往采用分部积分法求积分，并且取位置靠左的函数作为函数u； 在求不定积分时，换元积分法与分部积分法往往会交替使用，因此在解题过程中千万不要拘泥于一种方法例10求sin仮dx.解：令.X t，则 x t2，f.sin xdx 2 tsin tdt.如例5,又如下例dx 2tdt .于是2 td ( cost)2t cost 22 si nt Ccostdt 2tcost2 x cos 一 x 2 sin .一 x C习题3.5xarcta n xdx .x2 ln xdx .xcosxdx .;