不等关系与不等式教案(人教A版必修

1、3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式（一）从容说课通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是

2、学生学习本章的情感基础根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助 教学重点1通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点1用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2了解不等式或不等式组的实

3、际背景；3能用不等式或不等式组解决简单的实际问题二、过程与方法1采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再 从抽象到具体的方法进行启发式教学；2教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性三、情感态度与价值观1通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系， 鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学 学习态度；2学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、 积极的学习品质，从而提高学习质量；3

4、通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度， 同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣教学过程导入新课师 日常生活中，同学们发现了哪些数量关系你能举出一些例子吗？ 生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32C，最低气温26C 生 实例2:对于数轴上任意不同的两点 A、B,若点A在点B的左边，则XaVXb.（老师协助画出数轴草图）生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4:两点之间线段最短.实例5:三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（学生迫不及待地说出这么多，说明课前的预习量很充分，学习数学的兴趣浓，此时老师应

5、给以 充分的肯定和表扬）推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活， 又考虑到数学上常见的数量关系，非常好而且大 家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式，所举的实例都是反映不等量关系，这将暗示我们这节课的效果将非常好（此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例）实例6:限时40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.实例7:某品牌酸奶的质量检查规定 ，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%.过程引导师能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点、进

6、行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的 比较过程，这是我们每个研究数学的人来说必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢？生可以用不等式或不等式组来表示.师什么是不等式呢？生用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式（老师给出一组不等式-7V -5; 3+4 1+4; 2x0;3工目的是让同学们回忆不等式的 一些基本形式，并说明不等号 “手的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组 学生自然而然就清楚了）师 能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程， 通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学

7、的最终目的.（此时，同学们已经迫不及待地想说出自己的观点.）合作探究生我们应该先像实例2那样用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来.师 说得非常好，下面我们就把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来.那应该怎么样来表示呢 ？（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）生 上述实例中的不等量关系用不等式表示应该为32 C w t 0.（此时，学生有疑问，老师及时点拨，可以画出图形.让学生板演）（老师顺便画出三角形草画）生 |AC|+|BC| |AB|（只需结合上述三角形草图）.生 |AB|+|BC| |AC|、|AC|+|BC| |AB|、|AB|+|AC| |BC|

8、.生|AB|-|BC|v|AC|、|AC|-|BC|v AB|、|AB|-|AC|v|BC|.交换被减数与减数的位置也可以生如果用v表示速度，则 v2.5%或 p2.3%.（此时，一片安静，同学们在积极思考）生 这样表达是错误的，因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，即可以表示为f _2.5%,p _2.3%.生 也可表示为f 2.5%! p2.3%.师同学们看这两位同学的观点是否正确？生（齐答）大家齐声说，都可以.师同学们的思考很严密，很好!应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以 用且”的形式来表达.课堂练习教科书第83页练习1、2.（

9、老师让学生轮流回答，学生回答很好 .此时，同学们已真正进入了本节课的学习状态 老师再用投影仪给出课本上的三个问题.问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养 学生的问题意识与探究意识）【问题1】 设点A与平面a的距离为d,B为平面a上的任意一点.活动与探究 师请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系 （此时,教室一片安静，同学们在积极思考，时间较长，老师应该及时点拨）方法引导 师前面我们借助图形来表示不等量关系，这个问题是否可以？（可以让学生板演，结合三角形草图来表达）过点A作AC丄平面a于点C,则d=|AC| 20师 是否有同学还有其他的解题思路?生 可设杂志的单价提高了 0

10、.1 n元，(n N ),(下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况) 师为什么可以这样设？生我只考虑单价的增量.师很好，请继续讲.生 那么销售量减少了 0.2n万本，单价为(2.5+0.1 n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为 (2.5+0.1 n)(8-0.2n) 20.师 这位同学回答得很好，表述得很准确请同学们对两种解法作比较.(留下让学生思考的时间)师请同学们继续思考第三个问题.合作探究【问题3】 某钢铁厂要把长度为 4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照生产的 要求,600 mm钢管的数量不能超过 500

11、mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不 等式？师 假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应当有什么样的不 等量关系呢？生 截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.生 截得600 mm钢管的数量不能超过 500 mm钢管的3倍.生截得两种钢管的数量都不能为负.师 上述的三个不等关系是或”还是 且”的关系呢？生 它们要同时满足条件，应该是且的关系.生 由实际问题的意义，还应有 x,y N.师这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：500x +60

12、0y 兰 40000,3xy,0,y 3 0,x,y N.师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究， 同学们对如何用不等式或不等组把实际 问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习.课堂练习练习：若需在长为 4 000 mm的圆钢上，截出长为 698 mm和518 mm两种毛坯，问怎 样写出满足上述所有不等关系的不等式组？分析：设截出长为 698 mm的毛坯x个和截出长为518 mm的毛坯y个，把截取条件数 学化地表示出来就是：6985184000,*x=0,y-0,x,y N.（练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x0,y O

13、,x$N）课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？生 我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它 来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题师我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时， 思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合进而培养学生的概括能力和语言表达能力）布置

14、作业第84页习题31A组4、5实例板书设计不等关系与不等式（一）方法引导方法归纳如何用不等式或不等式组表示实例剖析（知识方法应用）小结实际问题中不等量关系？示范解题备课资料、备用习题1一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨现有库存4x + y 兰10,18x+15y 兰 66,x 0,y 一0.磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产请用不等式或不等式组把此实例中的不 等量关系表示出来分析：设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则2某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区

15、学生小李家中经济发生困难 为帮助小李解决开学费用 问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.问该班共有多少人？ 这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来，不必解答12x-y = 84,、10xV y,分析：设该班共有x人，这笔开学费用共 y兀，则11xy = 40,*N 3.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算 投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10% .投资人计划投资金额不超过

16、10万元，要求确保可能的资金亏损不超过18万元.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来分析：设投资人分别用 x万元、y万元投资甲、乙两个项目， + y 1,你能举出符合此不等式组的实际问题吗？y釘，x,y N,3.1.2不等关系与不等式（二）从容说课本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.为了利用不等式更好地研究不等关系，也能够让学生在以后的解不等式以及对不等式的证明奠定一 定的理论基础.在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理 论来比较两个代数式的大小 .了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不 等式的基本性质

17、进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念 这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础根据本

18、节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论 来比较两个代数式的大小和证明不等式的一些性质.应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质进行一些简单的不等 式证明.进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教学重点1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个 代数式的大小；2. 了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；3能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式教学难点1用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；2利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式教具准备 投影

19、仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质；2通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质；3在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式二、过程与方法1采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴 趣三、情感态度与价值观1通过具体问题的解决，让学生去感

20、受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、 抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同 时去感受数学的应用性， 体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学 生的学习兴趣教学过程导入新课师 上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究 了用不等式或不等式组来表示实际

21、问题中的不等关系为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题我们需要对不等式的性质有必要的了解推进新课师我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？生 等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式 师 很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也 就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一 个数，结果将会如何呢？（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习）师一般地说，不等式的基本性质有三条：性质1:不等式

22、的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向 （让同学回答）性质2:不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向 （让同学回答）性质3:不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向 .（让同学回答）过程引导师不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来（让三位同学板演）性质 1: av b a+cv b+c （或 a-cv b-c）; a b a+c b+c （或 a-c b-c）.a ba b性质 2： av b 且 c0二 acv bc（或 V ）; a b 且 c0 acbe（或 ）.c cc c性质 3： av b 且 cv 0二 ac bc（或 a b

23、 ）; a b 且 cv 0 acv bc（或vb ）.c cc c（用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程老师对学生的板演作点评）师 性质2、性质3两条性质中，对a、b、c有什么要求？生对a、b没什么要求，特别要注意 c是正数还是负数.师很好，c可以为零吗？生c不能为零因为c为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“我“测可以师 这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到师 对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳， 现在我们应对它给出严格的证明， 只有这样应用这

24、 些性质才能有理有据（学生已迫不及待）生（齐声）那我们来给出严格的证明吧（此处，说明老师点拨很到位真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位）师 为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质（此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）AB教师精讲师 若点A对应的实数为 a,点E对应的实数为 b,因为点A在点E的左边，所以可得ab.ab表示a减去b所得的差是一个大于0的数即正数，即a b= a-b 0它的逆命题是否正确？生显然正确师类似地，如果av b,贝U a减去b是负数，如果a=b，则a减去b等于0,它们的逆命题 也正确一般地，a b= a-b 0

25、;a=b= a-b=0;a v b= a-b v 0.师这就是实数的基本性质的一部分， 还有任意两个正数的和与积都是正数等 等价符号左边 不等式反映的是实数的大小顺序， 右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系， 它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解 不等式的主要依据师 由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？生 只要考察它们的差就可以了师 很好请同学们思考下面这个问题（此时，老师用投影仪给出问题）合作探究【问题1】已知x工0比较（x2+1）2与x4+x2+1的大小.(问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识

26、与探究意识 (让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评)解：(x2+1)2 x4-x2-1=x4+2x2+1-x4-x2- 1=x2,由 XM0,得 x20，从而(X2+1)2x4+x2+1.(学生对XM0得x2 0在说理过程中往往会忽略)师下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析 (让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评)【例1】 比较下列各组数的大小(ab).(a 0,b 0);(2) a4 b4与 4a3 ( a b)师比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差 的符号来确定2 a b 2ab一 2 a b2 2(a b)

27、 _4ab _ (a _b) 2(a b) - 2(a b)/ a0,b0 且 aMb,. a+b0,(a-b)20.2 3k0即匕丄.2(a b) 21 1a b(2) a4-b4-4a3(a-b)223=(a-b)(a+b)(a +b )-4a (a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+ b3-4a3)232333=(a-b) :(a b-a )+(ab -a )+(b -a )2 2 2=-(a-b) (3a +2ab+b )222=-(a-b) 2a +(a+b), 2a2+(a+b)2 C当且仅当 a=b=0 时取等号),又 a潮，(a-b)20,2a2+(a+b)20. -(a

28、-b)2 : 2a2+(a+b)2 0. a4-b4 b且c0= acbc;(2) a b a+c b+ c.师 请同学们思考第一小问该如何证明？生 可用实数的基本性质， ab, a-b0又t c0,由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c 0，即 ac bc.师 这位同学证明的思路很好，很严密同学们还有其他的证明思路吗？生ac-bc=（a-b）c, v ab,. a-b0.又t c0,由任意两个正数的积都是正数可得（a-b）c 0,所以得证.师 这位同学证明得是否正确？生正确.师 这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别 与联系.生 第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是