相似三角形的判定+性质+经典例题分析

1、学必胜教育 相似形（一）板块一、课前回顾一、比例性质1.基本性质: （两外项的积等于两内项积）2.反比性质： (把比的前项、后项交换)3.合比性质：（分子加（减）分母,分母不变）4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果，那么 谈重点：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法 (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零 (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立5.黄金分割：内容 尺规作图作一条线段的黄金分割点经典例题回顾：例题1已知a、b、c是非零实数，且，求k的值.例题2已知，求的值。板块二、新课讲

2、解知识点一、相似形的概念 概念：具有相同形状的图形叫相似图形 谈重点：相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例全等形知识点二、平行线分线段成比例定理 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1l2l3。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形

3、的第三边。 推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似推论的基本图形有三种情况，如图其符号语言：DEBC，ABCADE； 知识点三、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等，两三角形相似符号语言： 拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。 （2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。例题精讲【重难点高效突破】例题1如图，直线DE分别与ABC的边AB、AC的反向延长线相交于D、E，由EDBC可以推出吗？请说明理由。（用两种方法说明）例题2（射影定理）已知：如图，在ABC中，BAC=90，ADBC于D.求证：（1）；（2）；

4、（3）例题3如图，AD是RtABC斜边BC上的高，DEDF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F.则吗？说说你的理由. 例题4如图，在平行四边形ABCD中，已知过点B作BECD于E,连接AE，F为AE上一点，且BFE=C（1） 求证：ABFEAD；（2） 若AB=4，BAE=30，求AE的长；（3） 在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF的长。【即时训练】一、选择题1如图，ABC经平移得到DEF，AC、DE交于点G，则图中共有相似三角形（ ）A 3对 B 4对 C 5对 D 6对2如图，已知DEBC，EFAB，则下列比例式中错误的是（ ）A B C D .3.在矩形ABCD中，E、F分别是C

5、D、BC上的点，若AEF=90，则一定有（ ）AADEAEF B.ECFAEF C.ADEECF D.AEFABF4、如图，直线l1l2，AFFB=23，BCCD=21，则AEEC是（ ）A.52 B.41 C.21 D.32（1题图） （2题图） （3题图） （4题图）5.如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对(5题图) (6题图) (7题图) ( 8题图)6.ABC中，DEBC，且ADDB=21，那么DEBC等于（ ）A.21 B.12 C.23 D.327.如图，P是RtABC的斜边BC

6、上异于B、C的一点，过点P做直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条8.如图，已知DEBC，EFAB，则下列比例式中错误的是（ ）A. B. C. D.9.下列说法：其中正确的是( )所有的等腰三角形都相似；所有的等边三角形都相似；所有等腰直角三角形都相似；所有的直角三角形都相似.A. B. C. D.二、解答题1、如图，ABC中，BD是角平分线，过D作DEAB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，求EC的长. 2.如图，在梯形ABCD中，ADBC，BAD=90，对角线BDDC.(1)ABC与DCB相似吗？请说明理由.(2

7、)如果AD=4，BC=9，求BD的长.3.已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.ADQ与QCP是否相似？为什么？4.如图，已知AD为ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，交AB与F，试判定BAE与ACE是否相似，并说明理由。5.如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点P在AB边上由A向B作匀速运动，1分钟可到达B点；动点Q在BC边上由B向C作匀速运动，1分钟可到达C点，若P、Q两点同时出发，问经过多长时间，恰好有PQBD？ 6.已知：如图所示，D是AC上一点，BEAC，AE分别交BD、BC于点F、G，1=2.则BF是

8、FG、EF的比例中项吗？请说明理由.7.如图，CD是RtABC的斜边AB上的高，BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F.ACAE=AFAB吗？说明理由.相似形（二）板块二、新课讲解知识点1相似三角形的判定判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似 知识点2直角三角形相似的判定在直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似知识点3 相似三角形中的基本图形 A型，X型 交错型 旋转型 母子形例题精讲【重难点高效突破】例题1如图在44的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上（1）填空：ABC=_，BC=_（

9、2）判定ABC与DEF是否相似？并说明理由。例题2. 如图，在ABC中，已知BD、CE是ABC的高，求证：ADEABC。例题3如图，已知ABBD，CDBD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由B点向D点移动，当BP等于多少时，ABP与CPD相似？例题4.已知：如图，在ABC中，C90，P是AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PEAB交AC于E，点E不与点C重合，若AB10，AC8，设APx，四边形PECB的周长为y，求y与x的函数关系式 例题5在三角形ABC中，AB=AC，ADBC于点D，DEAC于点E，M为DE的中点，AM与BE相交于点N，延长AM交BC于点G，AD

10、与BE相交于点F，求证：（1）;（2） BCEADM； （3）AMBE. 【随堂演练】A组1下列命题中正确的是（ ）三边对应成比例的两个三角形相似 二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 一个角对应相等的两个等腰三角形相似A、 B、 C、 D、2如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ABE和ACD相似的是（ ）A. B=C B. ADC=AEB C. BE=CD，AB=AC D. ADAC=AEAB3如图，在正方形网格上有6个斜三角形：ABC，BCD，BDE，BFG，FGH，EFK.其中中，与三角形相似的是（ ）

11、(A) (B) (C) (D)4如图，DE与BC不平行，当= 时，ABC与ADE相似。5如图，平行四边形 ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使CBFCDE，则BF的长是（ ）A5 B8.2 C6.4 D1.8（3题图） （4题图） （5题图）5如图，四边形ABCD是平行四边形，AEBC于E，AFCD于F.(1)ABE与ADF相似吗？说明理由.(2)AEF与ABC相似吗？说说你的理由.6已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.ADQ与QCP是否相似？为什么？7如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，EFEC交AB于F，连

12、接FCAEFEFC吗若相似，请证明；若不相似，请说明理由。若ABCD为矩形呢？板块三、课后作业1如图，正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，AF与DE相交于点O，则等于（ ）A B C D2如图，直线EF交AB、AC于点F、E，交BC的延长线于点D，ACBC，已知,求证：6已知D是BC边延长线上的一点，BC3CD，DF交AC边于E点，且AE2EC试求AF与FB的比 7已知：如图，在ABC中，BAC90，AHBC于H，以AB和AC为边在RtABC外作等边ABD和ACE，试判断BDH与AEH是否相似，并说明理由 相似三角形的性质及其应用板块二、新课讲解知识要点：相似三角形的性质相似三角

13、形的对应角相等，对应边成比例相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方【重难点高效突破】例题1. (1)两个相似三角形的面积比为，与它们对应高之比之间的关系为_(4)题图BGFEDAC(3)题图CEFOBADBBBBCDEEAAO(2)题图 (2)如图，已知DEBC，CD和BE相交于O，若，则AD:DB=_(5)题图CADDCBBA(3)如图，已知ABCD,BO:OC=1:4,点E、F分别是OC，OD的中点，则EF:AB的值为 (4)如图，已知DEFGBC,且AD:FD:FB=1:2:3,则A.1:9:36 B

14、.1:4:9 C.1:8:27 D.1:8:36OBCDA(5) 梯形ABCD中，ADBC，（ADBC），AC、BD交于点O,若,则AOD与BOC的周长之比为_。ABCDE例题2.如图，在ABC中，DEBC，且SADE :S四边形BCED1:2，BC2。求DE的长。例题3. 如图所示，已知DEBC，且与ABC的边CA、BA的延长线分别相交于点D、E，F、G分别在边AB、AC上，且AF：FB=AG：GC，求证：AFGAED。 ABCDEFMHG例题4. 如图，矩形EFGH内接于ABC，ADBC于点D，交EH于点M，BC20，AM8，SABC1002。求矩形EFGH的面积。例题5.ABC中，D为A

15、B上一点，若ABC=ACD，AD=8，DB=6，求AC的长。例题6.已知，如图ABC中，BAC=900，AB=AC=1,D为BC上一动点（不与B,C重合），ADE=45（1） 求证ABDDCE （2） 设BD=x,AE=y,求y与x的函数关系式（3）若ADE为等腰直角三角形时，求AE的长例题7、如图,在等腰梯形ABCD中,ADBC,AD=3，BC=7，B=60，P为下底BC上一点（不与B、C 重合），连结AP,过P点作PE交DC于E,使得APE=B.（1）求证：ABPPCE；（2）求等腰梯形的腰AB的长；（3）在底边BC上是否存在一点P,使得DEEC=53，如果存在,求出BP的长,如果不存在,

16、请说明理由.60AE第7题图PDCB【随堂演练】A组1.两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们周长的比为_.2若x：y：z=3：5：7，3x2y4z9则xyz的值为_. 3.如图，APD90，APPBBCCD，则下列结论成立的是（ ） ADE1BC第4题A .PABPCA B.PABPDA C .ABCDBA D.ABCDCAABCDMN第6题 第3题4. 如图，D、E分别是ABC的边AB、AC上的点，1B，AEEC4，BC10，AB12，则ADE的周长为_5某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得15米长的竹竿影长09米，但当他马上测松树高度时，因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得留在地面部分的影长是24米，留在墙上部分的影高是1.5米，则松树的高度为_米6. 如图，C为线段AB上的一点，ACM、CBN都是等边三角形，若AC3，BC2，则MCD与BND的面积比为 。7如图，在梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于O点，SAOD:SCO