对数公式的运算

1、名师推荐精心整理学习必备对数公式的运用1对数的概念如果a（a0,且a丰1）的b次幕等于N，即ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数，记作: logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数由定义知： 负数和零没有对数； a0 且 a 工 1, N0; |oga1=0, logaa=1, alogaN=N（对数恒等式），logaab=b。特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作logioN，简记为lgN ；以无理数e（e=2 718 28）为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN .2. 对数式与指数式的互化式子名称ab=N指数式ab=N（底数）（指数）（幕值）对数式logaN=b（

2、底数）（真数）（对数）3 对数的运算性质如果 a0 ,1, M0, N0，那么(1) loga(MN)=logaM + logaN.(2) loga ( M/N) =logaM-logaN.(3) logaMn=nlogaM(n R).问：公式中为什么要加条件a0, a丰1, M0, N0? logaan=?(n R) 对数式与指数式的比较(学生填表)式子ab=N, logaN=b名称：a 幕的底数ba 对数的底数bNN运算性质：am an=am+nm nmvna a = alog aMN =log aM + logaN(n R) (a0 ,1, M0, N0)(a0 且 a 丰 1, n R

3、) log aMN =nlog aM =难点疑点突破对数定义中，为什么要规定 a0,，且1?理由如下： av 0，则N的某些值不存在，例如log一28=? 若a=0，贝U N丰0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数 ？ 若a=1时，贝U Nm 1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数？解题方法技巧1 (1)将下列指数式写成对数式： 54=625 : 26=64 : 3x=27 : 13m=5 73.(2) 将下列对数式写成指数式： log2l6=4; log2l28=7 ;log327=x;IgO. 0仁-2 ;In

4、10=2 . 303 : lg n =k.解析由对数定义：ab=N, IogaN=b 解答(1) Iog5625=4 . Iog264=6 .Iog327=x. Iog135. 73=m.解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N47x2 =16， 2 =128， 3 =27, 10-2=0 . 01, e2 33=10, 10k= n .2 .根据下列条件分别求x的值：(1) log 8X= -2/3 ; (2) log 2(log 5x)=0;Iogx27=3x;Iogx(2+ _)= -1 .解析对数式化指数式，得：x= =?(2) log5x=20=1 .x

5、=?3 Xog32=? .27=x? -1 2+ =x =1/x.x=?解答(1)x=2-2=1/4.01log5X=2 =1 , x=5 =5 . Iogx27=3 x=3 x 2=6,x =27=3 =()，故 x=. -1 (4) + =x =1/x,. x=1/( +)=.解题技巧 转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，经常进行着两种形式的相互转化. 熟练应用公式：Ioga1=0, logaa=1, aIogaM = M, logaan= n.3. 已知 logax=4, logay=5，求 A=x y 丨的值解析：思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对

6、数式转化为指数式,算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值？解答：解法一T Iogax=4, logay=5, x=a4, y= a5,-A=x V =(a ) (a) =a a =a =1.IogaN=b在解决有关问题时,再利用指数式的运解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得(5/12) (-1/3)lOgaA=lOga(Xy )=(5/12) logax-(1 logay=(5/12) 4-(1/3) 5=0 , A=1 .解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算4 设x, y均为正数，且x

7、y1+lgx=1(xM 1/10)，求lg(xy)的取值范围解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数 x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg (xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值 域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢？能否对已知的等式两边也取对数？解答x0, y0, x y1+lgx=1,两边取对数得：lgx+(1 + lgx)lgy=0.即 lgy=-lgx/(1+lgx) (x丰 1/10, lgx 丰-1).令 lgx=t,贝U lgy=-t/(1 + t)(X -1). lg (xy)= lgx+ lgy=t-t/(1 +

8、1)= t2/(1 + t)(t 工-1).(解题规律：对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.)设S=t2/(1 + t)，得关于t的方程t2-St-S=0因为它一定有实数解.2 =S +4S 0，得 sw -4 或 S 0,故lg (xy)的取值范围是(-a, -4U 0, +).5 .求值：(1) lg25+lg2 lg50+(lg2)2；(2) 2 log 32-log 3 (32/9)+ log 38-52log53 ；设 lga+lgb=2lg(a-2b)，求 log2a-log2b 的值；求 7lg20 (1/

9、2)lg0.7 的值.解析：(1) 25=52, 50=5X 10。都化成lg2与lg5的关系式.转化为log32的关系式.所求log2a-log2b=log2(a/b)，由已知等式给出了a, b之间的关系，能否从中求出 a/b的值呢？(4)7lg20 (1/2)lg0.7是两个指数幕的乘积，且指数含常用对数，设x=7lg20 (1/2)lg0.7能否先求出lgx，再求x?解答(1)原式=lg5 +lg2 lg(10X 5)+(lg2)2=2lg5+lg2 (1 + lg5)+(lg2)= lg5 (2+lg2)+lg2+(lg2)22=(lg(10/2) (2+lg2)+lg2+(lg2)=

10、(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)22 2=2-lg2-(lg2) +lg2+(lg2) =2.(2) 原式=2log32-(log 325-log332)+log 323-5log59=2log32-5log 32+2+3 log 32-9=-7 .2由已知 lgab = lg(a-2b)(a-2b0), ab=(a-2b)2,即 a2-5ab+4b2=0. a/b=1 或 a/b=4，这里 a0, b0.若 a/b=1，则 a-2blg(1/2)=(1+lg2) lg7+(lg7-1) (-lg2)=lg 7+lg2=lg14, x=14 ,故原式=14.解题规律 对数的运算

11、法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3). 对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6. 证明 logaN=logcN/logca(a0, a丰 1, c0, cm 1, N0);(2) logab logbc=logac;(3) logab=1/log ba(b0 , bM 1)；(4) log anbm=( m/n) logab.解析：(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.中log bc能否也换成以a为

12、底的对数.应用(1)将logab换成以b为底的对数.应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.解答:(1)设logaN=b，则ab= N,两边取以c为底的对数得：b logca=logcN,- b=logcN/logca. logaN = logcN/log ca.由(1)log bC=log ac/logab.所以 logab logbc=logab logac/logab=logac.由(1)log ab=logbb/logba=1/logba.解题规律(1)中log aN=logcN/log ca叫做对数换底公式，(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用

13、.对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用丄mmn(4)由(1)loganb =logab /logaa =mlogab/nlogaa= (m/n)logab.7 .已知 log67=a, 3b=4,求 log127.解析依题意a, b是常数，求log127就是要用a, b表示log127，又3b=4即log34= b，能否将 log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢？解答已知 Iog67=a, log34=b,log 127=log67/log612=a/(1+ log62).又 log62=log 32/log36= log32/(1 + log32),由 log34=

14、b,得 2log32=b.-log 32=b/2 , log62=(b/2)/(1+b/2)=b/(2+b).log i27=a/(1 + b/(2+b)= a(2+b)/(2+2 b).解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧。X y z&已知 x, y, z R+，且 3 =4 =6 .(1) 求满足2x=py的p值；(2) 求与p最接近的整数值；求证：(1/2)/y=1/z-1/x.解析：已知条件中给出了指数幕的连等式，能否引进中间量m,再用m分别表示x, y, z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答？解答：(1)解

15、法一 3x=4y, log33x=log34y, x=ylog34, 2x=2ylog 34=ylog 316,- p=log316.解法二设3x=4y=m,取对数得：x lg3=lgm , ylg4=lgm, x=lgm/lg3, y=lgm/lg4, 2x=2lgm/lg3, py=plgm/lg4.由 2x=py, 得 2lgm/lg3=plgm/lg4, p=2lg4/lg3=lg42/lg3=log316.(2) / 2=log39, 3-p= log327-log316= log3(27/16),p-2=log 316-log39=log3(16/9),而27/161真数大则对数大

16、 p-23-p , p2.5与p最接近的整数是3.解题思想 提倡一题多解不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢？ (2)中涉及比较两个对数的大小 .这是同底的两个对数比大小 .因为底31 ,所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3) 解法一令 3x=4y=6z=m，由于 x, y, z R+ , k1，贝V x=lgm/lg3, y=lgm/lg4, z=lgm/lg6,所以 1/z-1/x=lg6/lgm-lg3/l

17、gm=(lg6-lg3)/lgm=lg2/lgm, (1/2)/y=(1/2) lg4/lgm=lg2/lgm, 故(1/2)/y=1/z-1/x.解法二 3x=4y=6z=m,则有 3=m1/x，4=m1/y，6=m1/z， /，得 m1/z-1/x=6/3=2= m(1/2)/y. 1/z-1/x=(1/2)/y.229. 已知正数 a, b 满足 a +b =7ab.求证：logm(a+b)/3=(1/2)( logma+logmb)(m0 且 m 1). 解析：已知a0, b0, a2+ b2=7ab.求证式中真数都只含a, b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a

18、 若lgx的首数比lg(1/x)的首数大 9,lgx的尾数比lg(1/x)的尾数小 0.380 4,且lg0.203 4=1.308 求 lgx, x, lg(1/x)的值解析lg0.203 4=1.308 3,即lg0. 203 4=1+0.308 3 , 1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数， 是正的纯小数；若设lgx= n+lga，则lg(1/x)也可表出.解答设 lgx= n+lga，依题意 lg(1/x)=( n-9)+( lga+0. 380 4).+b2=7ab ；解题技巧 (a+b)/3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一 应用a2+b2=7ab将真数的和式转

19、化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二解答：2/2logm(a+b)/3=logm(a+b)/3)=2 2(1/2)logm(a+b)/3)2=(1/2) logm(a +b +2ab)/9 .2 2-a +b =7ab,logm(a+b)/3=(1/2) logm(7ab+2ab)/9=(1/2) logmab=(1/2)( logma+log mb), 即 logm(a+b)/3=(1/2)( logma+logmb)思维拓展发散1. 数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系设真数N=a x 10n。其中N0。 K a10, n Z这就是用科学记数法表示真数 N.其科

20、学性体现在哪里？我们只要研究数 N 的常用对数，就能揭示其中的奥秘。解析：由已知，对 N=ax 10n取常用对数得，lgN =n+lga.真数与对数有何联系？解答 lgN=lg(aX 10n)= n+lga n Z, 1 a10,- lga (0, 1) 我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0.小结：lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga, 0 lga0, lgN的首数和尾数与 a x 10n有什么联系？有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？一名师推荐精心整理学习必备.解题规律把Igx的首数和尾数，lg(1/x)的首数和

21、尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法 .3计算:(1) - =；100(2)2lg(lga )/(2+Ig(lga).解析(1)中.2+ 与2- 有何关系？+双重根号，如何化简 ？(2)中分母已无法化简，分子能化简吗？解题方法认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒解答(1)原式=+=-1+ Iog66 =原式=2lg (100lga)/(2+ lg(lga)=2(lg 100+lg(lga)/(2+ lg (lga)=2(2+ lg(lga)/(2+ lg(lga

22、)=2 4.已知 Iog2x=log3y=log5z0，比较， 的大小.解析：已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幕，所以，对数等式应设 法转化为指数式.解答：设 Iog2x=iog3y=log5z=m0.贝Vx=2m, y=3m, z=5mm m m=(), =(),=().下面只需比较 与， 的大小：一 63 62()=2 =8 , () =3 =9，所以 .又 m0,考查指数函数y=( )x, y=()x, y=( )x在第二象限的图像，如图：1.4r-r 1 x广尸x)=疋0 8h(x)=(1 /疋1x二一x) = (3|1-2-1.5-0.50.5解题规律转化的思想是

23、一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充名师推荐精心整理学习必备分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化比较指数相同，底不同的指数幕(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较？是y=()x，是y=()x，是y=()x.指数m0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以()m()m()m，故 0, b0, M 丰 1)，且 log Mb=x，则 logwia 的值为()7. 若 log63=0.673 1, log6X=-0.326 9,贝U x 为()8. 若 Iog5(log3(log2x)=0

24、，则 x=().9. =().10. 如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2 lg3=0的两根为X1、X2,那么 冷 x?的值为().11. 生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.出宀出宀出宀出宀H6这条生物链中 (出表示第n个营养级，n=1 , 2, 3, 4,5, 6).已知对H1输入了 106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量？12. 已知 x, y, z R+ 且 3x=4y=6z,比较 3x, 4y, 6z 的大小.13. 已知a, b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2.14. 已知

25、2a 5b=2c 5d=10,证明(a-1)/(d-1)=(b-1)/(c-1).15. 设集合 M= x|lg(ax2-2(a+1)x-1)0,若M丰 空集，M = x|x0 且 x+1 z 1；真数 x+10 .6.A点拨:对ab=M取以M为底的对数.7.C点拨:注意 0.673 1+0.326 9=1 , Iog6(1/x)=0.326 9,所以 Iog63+log6(1/x)=log63x=1 . / 3x=6,x=2.3& x=8点拨：由外向内.Iog3(log2x)=1 , log2x=3, x=2 .59. 5 点拨：Iog87 Iog76 Iog65=log85,=5.10.

26、1/6 点拨：关于Igx的一元二次方程的两根是Igx1, Igx2.由 Igx1= -Ig2, Igx2= -Ig3，得 X1=1/2 , x2=1/3 . X1 x?= 1/611. 设第n个营养级能获得100千焦的能量，依题意:106 (10/100)n-1=100,化简得:107-n=102，禾U用同底幕相等，得7-n=2,或者两边取常用对数也得7-n=2. n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.12. 设 3x=4y=6z=k,因为 x, y, z R+,所以k1 .取以k为底的对数，得：x=1/log k3, y=1/logk4, z=1/log k6. 3x=3/log k3=

27、1/Iogk ,同理得：4y=1/logk , 6z=1/logk.而 =,=,=, log k logklogk.又 k1,1 ,- log k logklogk0, 3x4y0)，则2tax -2(a+1)x-1=10 (t0)t22二 10 1 , ax -2(a+1)x-11 ax -2(a+1)x-20. a=0 时，解集 x|x-1 x|x0;当 0 时，M 工且 M= x|x0时，M= x|xx2,显然不是 x|x0 的子集； 当 a0 时，M= x|x0,xi+x2=2(a+1)/a0,xi x2=-2/ a0.解得a1,有解，且只有正数解。a=0时，不等式为-2x-20,得：x-1,不符。a 0时，为使解只为正数，