示范教案(球的体积和表面积

1、1.3.2球的体积和表面积整体设计教学分析本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点 三维目标掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培 养转化与化归的数学思想方法.重点难点教学重点：球的表面积和体积公式的应用 教学难点：关于球的组合体的计算.课时安排约1课时教学过程导入新课思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务(中国)有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的 特一级”店，又

2、是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11 380平方米，现酒店 管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积 .推进新课新知探究球的半径为R,它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，43如果球的半径为 R,那么S=4 n R2,V= R3 .3注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明应用示例思路1例1如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球

3、的直径，求证：图12(1)球的体积等于圆柱体积的 -；3(2 )球的表面积等于圆柱的侧面积.活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.证明：(1)设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.432则有v球=R , V圆柱=n R2 2R=2 n R3,所以V球=V圆柱.33(2)因为 S球=4 n R2 , S圆柱侧=2 n R -2R=4 n R2,所以S 20=60 n( cm3),3220 2设水面下降的咼度为 x,则小圆柱的体积为(一)2 x=100 n x ( cm3).2所以有60 n =100 n x,解此方程得 x=0.6 (

4、 cm).答：杯里的水下降了 0.6 cm.点评：本题主要考查几何体的体积问题，以及应用体积解决实际问题的能力.明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键.解实际应用题的关键是建立数学模型本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键.变式训练1.一个空心钢球，外直径为g/cm3)和它一样尺寸的空心铅球呢？(铅的密度为 分析：本题的关键在于如何判断球浮起和沉没， 心钢球的体积相当于是里、 从而算出空心钢球的质量， 沉没.12 cm，壁厚0.2 cm,问它在水中能浮起来吗？(钢的密度为7.911.4 g/cm3)因此很自然要先算出空心钢

5、球的体积，而空=463钢一 63钢的质量为 m 钢=87.45 X7.9=690.86(g).4水的体积为 V 水=X53=904.32(cm3),水的质量为 m 水=904.32 Xl=904.32(g) m 钢.钢球能浮起来，而铅球的质量为m铅=87.45 X1.4=996.93(g) m 水.同样大小的铅球会沉没.答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没2. (2006全国高中数学联赛试题第一试，1径为一cm的实心铁球，四个球两两相切，2水面恰好浸没所有铁球，则需要注水分析：设四个实心铁球的球心为。1、解：空心钢球的体积为 V583X 20.888 87.45(cm310)底面半径为1 c

6、m的圆柱形容器里放有四个半其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使cm3.O2、O3、O4,其中 O1、02为下层两球的球心,C、D分别为四个球心在底面的射影,则ABCD是一个边长为、2 、/ cm的正方形,2所以注水42咼为(1盲)cm.故应注水、.2 n！)-4 4-(2)3 (3 弓 n cm33 232外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积， 然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会答案：(1+- ) n32知能训练1.三个球的半径之比为1 : 2 : 3,那么取大球的表面积疋其余两个球的表面积之和的()A.1倍97B.2倍C.倍D.倍54分析：根

7、据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r，则另两个为2r、3r,所以各球的表面积分别为答案：C4 n r2、16 n r2、 36 n r2,36 r2 2 24 r 16 r9-（倍）52. （2006安徽高考，理9）表面积为2.3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ）分析：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8x_2 3知，a=1,则4此球的直径为.2 .答案：A3. （2007北京西城抽样，文11）若与球心距离为 4的平面截球所得的截面圆的面积是9 n,则球的表面积是.分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直

8、角三角形，又由题意得截面圆的半径是3 ,则球的半径为.4232 =5 ,所以球的表面积是4 n X52=100 n .答案：100 n4某街心花园有许多钢球（钢的密度是 7.9g/cm3 ），每个钢球重145 kg,并且外径等于50.如果是空心的，请你计算出它的内径cm,试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的 取3.14,结果精确到1 cm）.解：由于外径为50 cm的钢球的质量为7.9（0）3疋516 79滋）,32街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000 V 516 792,所以钢球是空心的450 4设球的内径是2x cm,那么球的质量为 7.9 :?（）3x3 :

9、=145 000,323解得 x3 11 240.98,x 22.4,2“m齐 45（答：钢球是空心的，其内径约为45 cm.5. （2007海南高考，文11）已知三棱锥 SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO丄底面ABC , AC= 2r，则球的体积与三棱锥体积之比是（）A. nB.2 nC.3 nD.4 n1分析：由题意得SO=r为三棱锥的高， ABC是等腰直角三角形，所以其面积是丄X2r x=r2,1所以三棱锥体积是丄r2 r32,又球的体积为，则球的体积与三棱锥体积之比是334 n .答案：D点评：面积和体积往往涉及空间距离，而新课标对空间距离不作要求，因此在高

10、考试题中其难度很低，属于容易题，2007年新课标高考试题就体现了这一点高考试题中通常考查球、三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算 我们应高度重视这方面的应用拓展提升问题：如图6，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球) 球心O,且与BC，DC分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱 锥A BEFD与三棱锥 A EFC的表面积分别是 Si，&，则必有( )图6A.Siv S2B.SiS2C.Si=S2D.Si,S2 的大小关系不能确疋探究：如图 7,连 OA、OB、OC、OD,贝U Vabefd=Vo a

11、bd + Vo abe + Vobefd+Vo adf , Vaefc=V oafc + Vo aec + Vo efc ,又Va befd =V aefc，而每个小三棱锥的高都是原四面 体的内切球的半径，故SAABD + Sa ABE + SbeFD +SAADF =S AFC + S AEC + S EFC,又面 AEF 是公共面，故选C.图7答案：C课堂小结本节课学习了：1. 球的表面积和体积.2. 计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.3. 空间几何体的表面积与体积的规律总结：(1) 表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱

12、剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积， 但要搞清它们的底面半径、 母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开(2) 在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体 的高；锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高; 台体的高： 从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线， 这点和垂足间的距离称为台体 的高.注意球没有高的结构特征 .（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的 常用手段 .（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模