第四章__联立方程模型(计量经济学-北京师范大学,袁强)

1、第四章 联立方程模型Chapter4 联立方程模型 我们关注的目标Y可能不止一个，而是多个。或者其中某一目标与其它目标有内在联系，如果我们不知道其它的目标，就不可能知道要关注的目标。例如，我们要知道某一商品的市场价格，我们必须要知道该商品的供给曲线和需求曲线。自然，也就存在多因多果的关系问题。从内生性问题角度看，某一解释变量Xi从另一方面考察能成为Y的结果，那么Y就是原因，因为Xi中有Y的成分，从而E（u/Xi）=0不成立（内生性问题的第3种情况）。在第二章现代观点理念的陈述中，把Y看成是一个随机向量，所有的语言经过适当的修正，完全可以类似重复。但由于因变量Y的个数的增加，也就带来了许多“单方

2、程串线性回归模型”不曾有的问题。本章主要讨论联立的线性系统。内容有，联立方程模型的表述，各种估计和检验的假设条件，系统的可识别，以及一些专题。其中GMM方法是本章的特色。它把2SLS的方法又提高了一步。一、.基本概念和模型系统：多个变量间的相互联系，一般用方程表述。线性系统则认为它们的联系是线性的。变量：描述系统状态的基本要素。变量分成两类。一类是内生变量，含义是，一旦系统变量间的相互联系确定，这些变量的值就是完全确立的。内生变量一般是系统要关注的对象。另一类是先决变量，含义是，它们的值不是由系统直接确定。它又分成：（1）外生变量，它的值由系统的外部给定；（2）滞后的内生变量，它的值由内生变量

3、的前期确定。有时，（1）（2）不加区分统称为外生变量。不过这两种内生变量有实质性区别，后一种滞后变量会带来内生性问题。线性模型：系统中的变量通过线性方程或随机误差项联系，称为联系系统的线性模型。模型分成简约式（reduced formed）和结构式（structure form）两种：1、简约式：每个内生变量由系统的先决变量的线性式加随机项构成，先决变量前的系数称为简约系数。2、结构式：每个方向（方程式）由内生变量和先决变量的混合线性式或加随机项构成。结构式有以确定的经济内内涵，它们从理论模型简化而成。一般把结构式分成四类：可加随机项（1） 行为方程（2） 技术方程不可加随机项（3） 平衡方程

4、（4） 定义方程每个结构方程中，变量前的系数称为结构参数。系统的描述：Y表示内生变量，设共有G个内生变量：X表示先决变量，设有M个自变量：U表示随机误差，误差项的个数随行为和技术方程的个数来定。例：简单的宏观消费投资模型：消费方程：投资方程：平衡方程：则：内生变量：，先决定量： 随机误差：联立方程模型主要分成三类：（1） 似无关模型（Seemingly Unrelated Regression）(SUR模型)模型中每个方程都是reduced form,且有不同的先决解释变量和因变量，并有自己的参数值G。相关联的仅是误差项。可以理解为系统有一个相同的环境，且系统由间因果关系构成。由此设定：，g=

5、1G这是一个很强的假定，意味着任意与不相关，或弱一些的假定是：，g=1G,但不要求不相关。总体上，可能与其他外生变量（g不等于j）相关，似无关的含义是后一种含义。（2）面板数据模型（Panel Data）（ PD模型），t=1,2这里，先决解释变量，因变量和参数值都相同，区别的仅在于t,一般理解为不同时段，也可以是其它指标如不同地区、城市等，可理解为不同的t导致不同的随机误差。和可以不独立，也可以不同分布等，视各种实际情况而定。并假定：t=1, 注：1、这种简单形式的面板数据模型，可以看成是一类特殊的联立方程。面板数据模型的联立形式在第五章中介绍。SUR和PD是联立方程的特殊形式，其特点为每个

6、内生变量Yi都可以写成单方程的线性形式，回归正确设定。区别是：SUR模型每个Yi都有自己的外生变量，而PD则是所有Yi都有相同的外生变量。2、另一种介于SUR和PD模型的联立式称为跨方程的联立式，含义是：如果某与有中有相同的先决变量，且参数值相同，那么可将与合并成跨方程的联立式，如：并将其看成是一个整体。（3）同时性模型（Simultanious Equation）(SEM) 这里，是指不包括h在内的其它变量的部分（）；是批先决变量的部分（）；和是和的参数；是随机误差，即同时性模型是把每个内生变量写成其它部分内生变量和先决变量的线性式。因为SEM模型中右边方程含有其它内生变量，所以内生变量是同

7、时确定的。它不能象（1）和（2）那样，单独就可以确定。如果我们能够通过线性变换把SEM中的内生变量部分消去，得到它的简约式，那么SEM也可以象SUR和PD那样处理。我们把SEM的每个Yh移到方程的右边，使得模型形式上仍可看成一个方程左边是某内生变量，右边是其先决变量线性组合的联立方程系统，得到统一的紧凑形式：这里，是1矩阵，Z是1M矩阵，是可以观测抽样的；P是GG矩阵，是MG矩阵，是未知参数；U（）是1矩阵，是结构误差。假定P可逆，否则内生变量Y中的选择至少有一个是多余的，且时结构误差的协方差阵，是GG的非奇异矩阵，那么模型可以方便地转化成简约式： 因为P与是未知参数，且有经济含义，系统可识别

8、问题的提法是：当我们从简约式得到的估计，在什么条件下，我们可以从得到P和的估计和，称为系统的可识别问题。这个问题，我们放到后面讨论，先讨论联立方程模型的估计和检验。二、.联立方程的估计和检验 1、联立方程的OLS估计与检验（1）将SUR模型表示成矩阵形式如下： 对任意的观测个体（或第i次观测）， k1 k2kG（注：k1，k2，kG分别有k1，k2，kG列） 记成， 这里是G（k1+kG）=GK矩阵。 （2）将PDM模型统一表示成：，这里是TK矩阵。 （3）将SEM模型表示成矩阵形式如下： 三种表述统一成：，这样联立方程类似于单方程的回归模型。若采用ols方法，假定：Sols1: Sols2:

9、非奇异；则类似于单方程模型： 从母体中随机抽样，i=1,N,则得到Sols写成矩阵表达，Sols.对SUR：这里X是NGK矩阵，是NK矩阵，g1,2,G.对PD：是NTK矩阵；对SEM：X是工具变量Z。（3）这里，（4）的渐近协方差估计且称为稳健的协方差估计。注：1）在联立方程模型中，对误差项协差矩阵是没有任何限制的，故，所以ols方法仅能保证是无偏、一致的，但不一定是有效的。由于的复杂性，一般ols方法估计的效果是很差的。 2）关于检验，利用Wald统计量，对不同的问题选择适当的c和q，可进行关于的一切线性组合的检验，只要用代替V，不再需要任何其它假定。2、联立方程的GLS估计与检验Sols

10、估计尽管皮实，但毕竟有效性差。如果对随机误差有更强的假定，则可对Sols估计进行进一步的改进，称为广义最小二乘估计。假定：SGLS1：0,含义是中每个元素同中每个元素都不相关，是Kvoneclser积：，是一个对矩阵的线性变换。所以SGLS1含义是：；假定SGLS2：正定，且非奇异，那么对，用作变换，得，即，于是有E。随机抽取样本，对每个i,i=1,2,N,做Sols，i个变换后的新的广义最小二乘估计，记成， 这里X是NGK矩阵，Y是NG1矩阵,并仍可以证明，是渐近正态的，即，其中A，B=。由于未知，由向量组的弱大数定律（WLLN），有：这里，是做Sols，得到的残差估计，用做为的一致估计，代

11、入到上述表达式当中，便可得到可行的广义最小二乘估计FGLS （*）步骤：（1）Y on X得：和、 （2）由公式（*）得到可以证明，从而有，特别，即假定：假定：Sols3: = ,可得的渐近方差：AVar=有关的线性组合的假设检验：可用Wald检验，与OLS类似，但当SGLS成立，一种类似单方程基于残差形式的F检验则更方便。设对有Q个约束条件，是带约束条件下的FGLS的残差，是不带约束下FGLS的残差，那么，可以证明：其中Q是对的约束条件个数，进一步，在有限样本条件有，有残差形式的F统计量： 利用F统计量可以方便地做的部分参数为0的检验。注：这种方法在SOLS中是不能用的。原因是假定广义最小二

12、乘变换后，模型满足同方差独立条件的要求； FGLS是联立方程必须做的估计，这是一个整体性估计，SOLS只是一个形式上的整体估计，其实质仍然是单方程的估计，一般应当用SOLS与FGLS进行比较。3、联立方程的工具变量估计和GMM方法及检验 正如单方程模型会遇到内生性问题，联立方程模型更容易遇到内生性问题，特别对于SEM模型，内生性是不可避免的。因为结构式中，已包含有其它的内生变量，从而从结构式到简约式的转化中，自然也把误差项带入了其它的结构式中。由于内生性的存在，我们知道，这使得Sols和FGLS是有偏和不一致的，把联立模型写成类似SUR模型的形式：对每一个g，g=1,2G, 是1向量，即包含有

13、外生变量，也包含有内生变量，从而与有相关性。如是单方程工具变量法一样，对每一结构方程g，选择工具变量是1向量，它们是可观测的外生变量，且，中包含单位。满足条件：SIV1：SIV2：秩（i是第i次抽样）又对任意的i,将联立模型包装成矩阵形式：，（X为GK矩阵）K（k1+kG）；则；再令： L；如果，g-1,2G,由假定，是非奇异矩阵，从而，是KK非奇异矩阵，对i随机抽样，i=1,2N,设Z和X是NGK的样本观测矩阵，那么可得联立方程模型的工具变量估计，SIV，并由假定知。但是，如果，那么就不再是一个方阵，我们无法得到SIV，或者说，我们可以在L中选择K个工具变量，可等到许多SIV，选择哪一个？回

14、忆2sls，对过度识别的工具变量，我们是选择它们的线性组合作为工具变量，这事实上是对进行了特殊的线性变换。2 下面，我们换一种思路，即所谓的广义矩阵估计（GMM）方法。该方法的基本思路是，如果我们引入了外生的工具变量替代了原方程的变量，那么选择残差平方和最小就不一定最合理，更应当选择与工具变量相关的“加权”残差平方和最小。详细论述如下：假定：SIV1： 假定：SIV2：由大数律：。但固定N， ，这样的不一定存在。退一步，选择使得：以为“权”的平方和取最小值。这种思想是OLS方法的自然推广。特别当，就是OLS方法。更一般地，找一个与工具变量的协方差相关的矩阵。给定是一个LL的对称正定矩阵，称是广

15、义矩估计GMM，如果是求解的最优解。把对i求和改写成矩阵形式，就是： 注意正定，故= 这里，令， 故， （*）是一个样本统计量，证明是一致估计。假定：SIV3：，这里W是一给定的，非随机的LL对称正定矩阵。可以证明，是一致和渐近正态的，且AVar,其中C，特别，取，则（*）写成 类似于单方程的2SLS估计，故称联立的S2SLS。只要选择好工具变量矩阵Z，S2SLS有一致性和渐近正态性，但不一定是渐近有效的。下面的问题是，我们需要寻找一个更好的，保证N，估计是有最小方差性，称该为最优的权矩阵。最优权矩阵的求法：假定：SIV4：W，1） 设是的一个任意一致估计，大部分情况下，取是联立的2SLS；2

16、） 有了，对每个i，得到G1的残差向量：，i=1,N3)得到，且知是的方差阵的一致估计。4）选取，则可以证明： 为渐近最优的GMM估计，称为最小“卡方”估计，记成Kai-.又，记，是GG的，由FGLS的证明，知5）当选取 （注与不同）那么，称为的GMM三阶段最小二乘估计，记成G3SLS。假定SIV5：，其中，则3SLS是无偏、一致、渐近有效的。注：1.当SIV5不成立时，3SLS就不如最小卡方Kai-，即使SIV5成立，3SLS也不一定比最小卡方Kai-表现好。但现在仍多用3SLS，部分是历史原因，在相对少的样本情况下，3SLS有效性比最小卡方Kai-表现好。 2.传统观点下，3SLS与上述的

17、GMM方法得到的3SLS有所不同：1）设（是在Z上的投影）2） （在SIV1SIV3假定下，G3SLS是一致的，但传统的3SLS不一定是一致的）。3） 联立方程模型有多种估计方法，对模型的要求是，估计精度越高，要求越高。我们不一定要一味追求高精度。例如我们仅关注第一个结构式的，那么我们仅按单方程模型要求和秩，就可得的2sls，而不必对系统的其它方程寻找更多的工具变量。具体问题要具体分析。由于某些方程的设定采用了3SLS方法，会导致问题复杂化。数据、模型、计算机是为人服务的，在熟练掌握计算机软件的前提条件下，把多种估计方法加以比较，并做出合理解释。大量的实践经验是必不可少的。3. 关于联立方程模

18、型的假设检验（1）有了GMM Kai-和Kai-的渐近方差，或G3SLS， Avar= 这里，有时直接用代替，也不受影响。又当SIV5成立时，GMM3SL的方法是Avar=，这里，。那么，对一切的线性约束检验问题：。可采用Wald统计量，进行检验，其中R是QK矩阵，且秩RQ，W。（2）另一种类似F检验，有关用残差表达的统计量，在约束条件下，采用GMM方法，估计易得，如约束为部分系数为零，更为方便。设是GMM采用最优权矩阵得到的Kai-估计，令，又设是GMM方法，同样采用最优权矩阵，但在满足Q个线性约束条件下得到的估计，并令，可以证明，为真，那么：，又在SIV5成立的条件下，上式可约化成：，其中

19、，是联立方程的2SLS的残差。（3）有了GMM估计，还可以进行非线性检验。：C（）是Q1向量非线性函数，用表示的QK Jacobian矩阵，且秩Q，那么，Wald统计量：W其中是的渐近方差估计，不再详细讨论。附：GMM方法的Matlab编程。三、联立方程模型的可识别问题（一）回忆在2SLS的理论中，要求，选择工具变量Z满足秩，LK，否则就有可能不能识别，即不一定能得到IV。这种问题在联立方程模型中，由于内生变量允许在其它方程中出现，存在的可能性几乎肯定，而表现更复杂。例：供给方程：需求方程：其中：，那么由于和不可识别，故，不可观测，我们无法得到内生变量，的结构参数的任何信息。现在，在需求方程中

20、引入外生变量（收入），且可观测，考虑：且。那么可解得：得到：由于，可观测，我人这OLS方法可求得：，。又由于，这意味着供给方程是可识别的。因为供给方程中不包含有外生变量Y，它的信息可对供给方程提供帮助，但需求方程无法识别，没有系统的外生信息可以利用。如果再引入外生变量，增加税收，放到供给方程中：供给方程：需求方程：；则可解得：通过OLS方法可得：，并通过，可等到 结构参数和。但是，不是在供给方程中加入税收，而是在需求方程中再加入新的外生变量，如金融资产，那么供给方程就会增加一个外生信息来源的选择，而需求方程仍没有外生信息来源可没有。可见，联立方程模型的结构式的可识别与其它方程引入的外生变量和本

21、方程的内生变量的个数有关。一般，识别问题的提法是：设联立方程结构式为，如果能从联立方程模型的简约式，得到结构式的参数P和，则称联立方程模型是可识别的，否则称为不可识别的。又如果可识别的结构参数不存在唯一的取值，就称模型是恰好识别的，否则称为过度识别的。注：模型不可识别，指的是联立方程中有某一方程无法从简约式得出该方程的所有结构参数，如例中的需求方程。过度识别则是得到的结构参数值不唯一。这就意味着，过度识别的模型有一个取优的问题。如前述的GMM方法。现在，为要使联立方程模型可识别，当且仅当第一个结构方程可识别，我们考察第一个结构方程。从，第一个结构方程形式的可写为： （*）设简约式为， 。定义M

22、M1选择矩阵，它由0和1两元素构成，使得：成立，对单方程，（*）由2sls条件：秩，这里，表示第一个结构方程中内生变量的个数和外生变量的个数之和。但，由秩，秩即是列满秩的，即矩阵。 ，于是得到：定理1：可识别的阶条件（1）（必要条件）第i个结构方程中，不包含在方程中的外生变量的个数必须大于等于方程右边内生变量的个数。（二）联立方程结构式未知参数的约束前面给出了可识别的阶条件之一，但这并不充分，可以举出满足阶条件，但不可识别的例子。我们先讨论结构式与简约式的关系：由结构式，其中是1G的向量误差，P是GG矩阵， 是MG矩阵。假定：P非奇异，那么，可解得：这里，V，又令，如果，且秩，那么由OLS方法

23、和随机抽样，可以得和的一致估计，问题是，从和能否回到结构参数矩阵P，和？显然条件不够。因为对F是任意的非奇异GG矩阵，那么，即，与原结构方程有等同的简约式， 它们是同解方程。这样以模型对P，和有所限制，对任意的GG可逆阵F，PF，同样成立。所以，我们需求对P，和进行限制，一般通过模型认识的先验信息，使得F，这样可得到可识别的参数矩阵P，和。1、 归一化（标准化）约束：（normalization restriction）第i个结构方程，如第一个结构式为：，称为是归一化的。如果中有一个系数限制为-1.在一般的结构方程中，一般把方程左边的内生变量的系数规定为-1.2、同类线性约束（homogene

24、ous liner restriction） 令是一个（G+M）1的向量结构参数，且满足归一化约束条件，从而有GM1个未定参数，假定，关于的先验知识可以写成线性约束的形式：，(i=1,g),其中是一个（GM）的已知矩阵， 是关于的约束数，并假定秩。 例：一个三方程的联立系统，有G4和M4,设第一个结构方程为 那么：， 如果设定一个常数项，那么，又假定对的约束有：和，那么2,且，从而为满足对约束的同类线性约束条件。现在令是（GM）G矩阵，则就是B的第i列，又设F为GG非奇异，那么由线性变换，则的第i列就是。，。特别，对第一结构式，取，有。因为可识别，意味着齐次方程组，只有唯一的基础解系，又由于有

25、G列，从而可识别的充分必要条件是：秩G1。定理2：（可识别的秩条件）满足归一化给的结构方程i的参数是可识别的，当且仅当加在上的其它同类线性约束满足：G1。因为B有G列，秩=G（列满秩.否则设定B的某列参数无意义）。所以，我们必有秩，由秩，于是，我们得到另一种表述的阶条件。定理3：（可识别的阶条件（2）联立方程第i个结构式可识别的阶条件是，加在第i个结构式上的约束个数必须大于等于G1.从而，第i个结构式是不可识别的：例：（满足阶条件但不满足秩条件，不可识别的例）其中（截距项），G3且M4对第一个结构方程，按归一化约束，设和，方程右边的内生变量有两个，但不含的外生变量也有2个，第一个结构方程满足阶

26、条件。再检查秩条件。的限制条件是和，于是，又从第二个结构式知：，秩，不满足条件G12,故第一个结构方程式不可识别。下式说明：第2个结构式可识别的条件为或；第3个结构式不含内生变量是自然可识别的。3、 跨方程约束（Cross equation restriction）前述讨论结构参数的约束都在本方程中，毫无疑问，如果结构参数的约束是跨方程的，也将为可识别问题提供帮助。我们不一般讨论跨方程的约束的问题，因为太复杂。这里只是举例说明： （1） （2）且，与，不相关，可以是常数项，无任何其它先验信息，则，第一结构式是不可识别的；且第2个结构式，当且仅当是恰好可识别的。现在考虑一个跨方程的约束条件，假定

27、，意味着解释变量对因变量和的解释作用是等同的。于是由（2），作为的工具变量，用2SLS，可得到，再对；用作为的工具变量，只要，用2SLS，可得到，且估计是一致的。从而（1）可以识别。但是，用这种方法得到的方差估计cov或的标准差估计，由于初始的影响，可能是不一致的。解决的办法是：把跨方程约束代入，将原联立方程改写成如下形式：选择工具矩阵，即用所有的外生变量作为每一个方程的工具变量，那么，采用GMM方法或3SLS可得一致估计。4、协方差约束（Covarionance Restriction） 联立方程中误差项之间的不相关性也能为系统识别提供帮助，请看两例：例一： （1） （2） 那么，如果，则（

28、1）是恰好可识别的，（2）是不可识别的，现在假定，对误差项，有如下的协方差限制：0,即，则是对角矩阵。由于（1）可识别，从而可得到，的一致估计，由此可得到的一致估计，由已知与不相关，且与必定偏相关，因此我们可以用，工具变量估计（2），所以（2）也是可识别的，我们可以用2个2阶段最小来完成估计。步骤：首先，用，工具变量对（1）作2SLS，并得到残差；其次，用工具变量，对（2）作2SLS.但是，做检验条件还要加强，因为是一个广义工具变量（请参阅P116117,P227228.）例2：完全迭代（归纳）系统模型（fully recursive system） (1) (2) (G)系统中，如果假定，那

29、么，从（1）做OLS，得到，代入到（2）,满足OLS1和OLS2的条件，再做OLS，得到，如此下去，可得到迭代系统是可识别的，但是，OLS方法得到的估计有效性较差，特别是方程个数G很大。（三）最后的评论：1、 联立方程模型实质是，如何表达？它有三种基本形式：a) SUR Model;b) Panel data Model;c) SEM Model.2、 联立方程模型的可识别d) 如果某单方程右边不存在内生变量，那么该方程就不存在可识别的问题；e) 如果某单方程右边存在有内生变量，那么可通过在其它方程中增加外生变量，使得该单方程可以识别。从而，一个联立方程可识别，就是要“合理”地置外生变量；f)

30、 从联立方程中可以看出，单方程的内生性问题，实质是某解释是系统中的内生变量，它们在系统中相互影响，同时决定。从数据上看，内生性就是某解释变量的信息得到充分的表达。这些受到限制的数据自然成为不可“观测”的部分进入到误差项中；g) 从单方程看不可方程，可以从其它可识别的方程中获取信息，如跨方程约束，协方差的约束等，使其变得同样可识别。3、 联立方程模型的估计a) 联立方程模型可以对每个单方程进行估计，方法有Sols，FGLS，2SLS，也可以整体的进行估计，方法有3SLS，GMM；b) 选择什么样的估计方法？能简单的尽量不要复杂。但我们常常需求在稳健和有效之间做出取舍。一般，单方程估计稳健性较好，

31、但如果模型设定就有问题，或工具变量选择不当，产生误差传递，导致估计不一致，反而适得其反。c) 有时，联立方程模型还要为可识别损失估计的有效性，特别是在模型中通过引入了非线性的内生变量作为工具变量，将使问题的讨论变得复杂。一般，首先是选择系统中所有的外生变量作为每个单方程中的工具变量。尽量避免非线性内生变量作为工具变量；d) 有了的方差矩阵的一致估计，原则上用Wald统计量。特定条件下，可用残差表达形式。和基于回归方式的拉格郎日检验。4、 关于工具变量的说明：是在给定工具变量下的最优权矩阵，进一步的问题是，选择满足什么条件的工具变量是最优的。我们有如下定理：最优工具变量定理：如果对某一向量Z满足

32、：0,g=1,G,即对每个结构方程都是外生的。那么，其中，且秩K，则是最优工具变量。 该定理说明，一旦我们得到，所有其它有关的函数作为变量加入是多余的。问题是0的验证，我们没有更多的手段。附：联立方程模型的Matlab编程（暂略） the oil level to the normal oil level. (2) for the secondary prevention of the leakage of cooling water pipe fittings, valve parts before installation to check . 4.2 measures to elimin

33、ate quality defects of cables cable laying in front of the cable construction, design, supervision and construction units to deliver the design, and drawing the third. Combined the engineering field to find fault, adding omitted items. Because the unit used computer DCS control and adds a great deal of control and signal cables. So you should carefully review, checks for missing physical cabl