专题四第3讲空间向量与立体几何理科独具

1、战考场1. (2011东阳模拟)如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，/ BAC = 30, BM 丄 AC 交 AC 于点 M , EA丄平面 ABC, FC / EA, AC = 4, EA = 3, FC = 1.(1) 证明：EM 丄 BF ;I(2) 求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.解：证明：因为 AC是圆O的直径，所以/ ABC = 90又/BAC = 30 AC = 4,所以 AB= 2 3，而 BM 1AC,易得 AM = 3, BM =3.直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系.如图，以A为坐标原点，垂直于 AC的直线、AC、AE所在的由已知条件得A(0,0

2、,0),F(0,4,1),M(0,3,0), E(0,0,3), B( 3, 3,0),ME = (0, - 3,3),BF = (- . 3, 1,1).由MEBF = (0 , 3,3) (- 3 ,1,1) = 0 ,得 ME 丄BF ,.EM JBF.BF = (- 3 , 1,1).(2)由(1)知 BE = (- 3, - 3,3),设平面BEF的法向量为n= (x , y , z),由 n -BE = 0 , n -BF = 0,得-3x- 3y+ 3z= 0 ,-.3x+ y+ z= 0 ,令 y= 1，得 z= 2 , x =3 ,5= ( 3 , 1,2),由已知EA丄平面

3、ABC ,T所以平面ABC的一个法向量为 AE = (0,0,3),设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为 0,| .3 X 0+ 1X 0+ 2 X 3|2贝U cos0= |cos n , AE | =-=亏故平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为 舟.2. (2011广州模拟)如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD 是矩形，PA丄平面 ABCD , PA= AD = 2, AB = 1, BM丄PD于点 M.(1) 求证：AM丄PD ;(2) 求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值.解: (1)证明：TPA丄平面 ABCD , AB?平面 ABCD ,PAIAB.AB

4、!AD, AD A PA= A, AD?平面 PAD, PA?平面 PAD , /AB 丄平面PAD.PD ?平面 PAD , /AB _LPD,BM _LPD, AB A BM = B, AB?平面 ABM ,BM?平面 ABM , /PD丄平面ABM.AM ?平面 ABM , /AM _LPD.如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系 A xyz,/AC = (1,2,0) , AM = (0,1,1) , CD = ( 1,0,0).设平面 ACM的一个法向量为 n= (x , y , z),则 A(0,0,0), P(0,0,2), B(1,0,0), C(1,2,0) , D(

5、0,2,0), M(0 , 1,1).x+ 2y= 0 , 由n丄AC , n丄AM可得 ly+ z= 0 ,令 z= 1，得 x= 2 , y= 1./n= (2 , 1,1).设直线CD与平面ACM所成的角为a,贝U sina=|CD|n|_63 .COSa=_33 ./直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为AD / EF , EF / BC, BC = 2AD = 4, EF = 3, AE = BE = 2, G 是 BC 的中点.求证：AB /平面DEG ;(2) 求证：BD丄EG ;(3) 求二面角C-DF E的余弦值.解：证明：TAD /EF , EF /BC，/AD BC.又-

6、.BC = 2AD , G是BC的中点，AD 綊 BG,四边形ADGB是平行四边形.AB /DG.AB?平面 DEG , DG ?平面 DEG ,AB /平面DEG.(2)证明：-EF丄平面AEB , AE ?平面 AEB ,EF 丄AE , EF JBE ,又 AE JEB,EB , EF , EA两两垂直.以点E为坐标原点，EB , EF, EA分别为x , y, z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得,A(0,0,2) , B(2,0,0) , C(2,4,0) , F(0,3,0) , D(0 , 2,2) , G(2,2,0).EG = (2,2,0) , BD = ( 2,2,

7、2).BD -EG=2X 2 + 2X 2= 0.BD 丄EG .(3)由已知得EB = (2,0,0)是平面EFDA的一个法向量.设平面DCF的法向量为 n= (x , y , z),FD = (0 , 1,2) , FC = (2,1,0),FD n= 0, y+ 2z= 0 ,即FC n = 0 ,|2x+ y= 0 ,令 z= 1, 得 n= (- 1,2,1).设二面角C DF E的大小为0,贝U cos0= cos n,EB2 =_迟2,6 6，面角C DF E的余弦值为一4. (2011新课标全国卷)如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为 平行四边形，/ DAB = 60 A

8、B= 2AD , PD丄底面 ABCD.(1)证明：PA丄BD ;若PD = AD，求二面角 A PB C的余弦值.解：(1)证明：因为/ DAB = 60 AB= 2AD ,由余弦定理得 BD= 3AD.从而 BD2+ AD2 = AB2, 故 BD 丄 AD.又PD丄底面ABCD，可得BD丄PD. 所以BD丄平面PAD.故 PA丄BD.如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz,则A(1,0,0), B(0,3, 0), C( 1,3, 0), P(0,0,1).AB = ( 1,3, 0), PB = (0,3, 1),BC = ( 1,0,0).

9、设平面PAB的法向量为 n= (x, y, z),n -AB = 0, 则n -PB = 0,x+ 3y= 0, 即3y z= 0,因此可取n = ( 3,1,3).m -PB = 0, 设平面PBC的法向量为 m,则m *BC = 0,7可取 m= (0, 1,贝U cos m, n42d7217 .故二面角A PB C的余弦值为一 葺.E5. (2011嘉兴模拟)如图，ABCD是边长为3的正方形，DE丄平 面 ABCD , AF / DE , DE = 3AF , BE 与平面 ABCD 所成角为 60(1) 求证：AC丄平面BDE ;(2) 求二面角F BE D的余弦值；(3) 设点M是

10、线段BD上一个动点，试确定 M的位置，使得 AM /平面BEF，并证明你的结论.解：(1)证明：因为 DE丄平面ABCD ,所以DE 1AC.因为ABCD是正方形，所以 ACJBD ,从而AC丄平面BDE.(2)因为DA, DC , DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D xyz如图所示.因为BE与平面 ABCD所成角为60即 ZDBE = 60所以Di=3.因为正方形 ABCD的边长为3,所以BD = 3 2,所以 DE = 3 .6, AF = 6.则 A(3,0,0) , F (3,0 , .6) , E(0,0,3 6) , B(3,3,0) , C(0 , 3,0),所以 BF = (0 , 3 ,6),EF=(3,0 , 26),设平面BEF的法向量为n= (x , y , z),n BF = 0, 3y+ ,6z= 0 ,则即n -EF = 0 ,3x 2 6z= 0 ,所以 cosn, CA n匹|n|C