浅谈数学模型与小学数学解决问题

1、数学模型与小学数学解决问题【摘 要】模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。构建数学模型有助于快速、准确地掌握知识的核心，准确地解决典型类应用题，以促进学生建立起科学的数学观，提高其数学学习兴趣。本文以植树问题、鸡兔同笼问题的数学模型的建立作出例证，谈谈数学模型思想的建构和在实际生活解题中的应用。【关键词】植树问题 鸡兔同笼 数学模型在小学阶段，典型应用题如植树问题、鸡兔同笼问题、抽屉原理问题等，无疑是学生在学习中的难点、易错问题，有效地帮助学生建立数学模型，发展数学模型思想是解决此类问题的关键。义务教育数学课程标准（2011年版）指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与

2、外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。下面，我就以植树问题、鸡兔同笼问题为例，谈谈数学模型的建立与此类应用题的解题：一、植树问题植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。在现实生活中类似的问题还有：公路两旁安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵、上楼所需时间、锯木

3、问题等等，它们中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题，我们把这类问题统称为植树问题。可见，植树问题是我们生活中所必须的知识，学习的重要性就不言而喻了。模型的建立是基于学生主动的观察和发现，在讨论中总结出规律，然后利用规律求解，从而达到体会和理解数学与生活的联系。植树问题的关键在于发现棵数与间隔数之间的关系。教学中通过将一线段平均分成4份，引导学生去探究和发现。 （图1） （图2） （图3）上述三个图形充分表示了植树问题的三种情况：两端都栽（棵数=间隔数+1），只栽一端（棵数=间隔数），两端都不栽（棵数=间隔数-1）。同时我们辅助于5个手指，进一步强化这一数学模型：5层楼就是4个间隔，而上楼的时间

4、是和楼层的间隔相关的，学生在解题时自然就会摆出自己的手进行回想教学、思考解题的策略。充分利用了手的方便性来识记这一模型。封闭图形中，通过作图让学生观察构建其模型，辅以讲解，让学生明白封闭图形中植树其实属于“只栽一端”的情况。建立好植树问题的模型后，再拓展开来，让学生明白“公路两旁安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵、上楼所需时间、锯木问题”中“路灯、花盆、每层楼、锯下的每段木、方阵中站的人”其实就是所植的“树”，这样将知识集中于一点，便于学生掌握其核心，而后加以区别对待即可。这里不再赘述。二、鸡兔同笼的问题鸡兔同笼是中国古代著名趣题之一。大约在1500年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。然而，

5、现实生活中是不可能把鸡和兔关在一起的。那么今天我们再来学习这类题是否不再有意义了呢？答案是否定的。先来看下面这道题：钢笔每支8元，毛笔每支6元，两种笔共买了16支，花了108元。问钢笔和毛笔各买几支？此题表面看和鸡兔同笼没有关系，但仔细分析后可知它们之间是存在联系的。这样的题还可衍生出如乘车、上下坡等之类的多种问题。因此掌握好鸡兔同笼的数学解题模型，是发展学生思维、加强数学与生活联系的一个重要途径。鸡兔同笼问题的典型解法就是假设法。先来看这个问题：有若干只鸡和兔子，它们共有35个头，94只脚，鸡和兔各有多少只？将这35只鸡兔全部看成鸡，那么总的脚就是352=70（只），这比实际总脚数少了94-

6、70=24（只），而少的原因是因为每只兔子少算了4-2=2（只）脚，所以兔子的只数就是242=12（只），这样我们就可以构建出数学模型：兔子的只数=（总脚数-总头数鸡的只数）（每只兔子的脚数-每只鸡的脚数）。回到买笔的这道题中就是：钢笔的支数=（总金额-总支数毛笔单价）（钢笔单价-毛笔单价），即钢笔支数=（108-166）（8-6）=6（支），毛笔支数为16-6=10（支）。这里要注意的是两个量A和B,那么假如全部为A，则计算出的结果为B。再来看下面两题：1、某人领得工资240元，有2元，5元，10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多。那么2元，5元，10元各有多少张？此题有中三

7、个量，2元、5元、10元，其中2元与5元张数一样多，我们就可以看成是（2+5）2=3.5元一张的人民币。这样就有：“鸡脚”=3.5元，“兔脚”=10元，“总头数”=50张，“总脚数”=240元，假设全部为3.5元，则10元张数为：（240-3.550）（10-3.5）=10（张），2元和5元共有50-10=40（张），各有402=20张。2、一旅游队共124人，现有小车每辆可坐7人，大客车每辆可坐16人，两种车共有10辆，请问小车和大客车各有多少辆？（此题解法不再赘述）这种与生活密切相关的应用题不胜枚举，数学模型思想在小学数学教材中多有体现。“授人以鱼，不如授之以渔”，广大教师应该在平时的教学中不断渗透数学模型的思想。我们只有帮助学生建构好数学模型，交给学生解题的金钥匙，才能促使学生建