圆锥曲线方程-曲线知识点、典型例题、考点、练习

1、曲线. 知识点一直接法求曲线的方程已知线段AB的长度为10，它的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，则AB的中点P的轨迹方程是_解析设点P的坐标为(x，y)，则A点坐标为(2x,0)，B点坐标为(0,2y)由两点间的距离公式可得10，即(2x)2(2y)2100，整理、化简得x2y225.答案x2y225知识点二代入法求曲线的方程已知ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线yx23上运动，求ABC重心的轨迹方程分析由重心坐标公式，可知ABC的重心坐标可以由A、B、C三点的坐标表示出来，而A、B是定点，且C在曲线yx23上运动，故重心与C相关联因此，设出重心与C点坐标

2、，找出它们之间的关系，代入曲线方程yx23即可解设G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x，y)，则由重心坐标公式，得顶点C(x，y)在曲线yx23上，3y(3x6)23，整理，得y3(x2)21，故所求轨迹方程为y3(x2)21.知识点三定义法求曲线的方程设A(1,0)，B(1,0)，若动点M满足kMAkMB1，求动点M的轨迹方程解如图所示，设动点M的坐标为(x，y)由题意知：MAMB.所以MAB为直角三角形，AB为斜边又因为原点O是AB的中点，所以，|MO|=， |AB|=1，所以，动点M在以O(0,0)为圆心，|MO|为半径的圆上根据圆的方程的定义知：方程为x2+y2=1.又因

3、为动点M不能与点A，B重合，所以，x1，所以，动点M的轨迹方程为x2+y2=1 (x1)知识点四参数法求曲线的方程已知定点P(a，b)不在坐标轴上，动直线l过点P，并分别交x轴，y轴于点A，B，分别过A，B作x轴，y轴的垂线交于点M，求动点M的轨迹方程解设M(x，y)，并设l：ybk(xa)，由题意知k存在，且k0，则得A(a，0)，B(0，bak)，又AM，BM分别是x轴，y轴的垂线，得M(a，bak)即消去参数k，得xyaybx0.所以动点M的轨迹方程是xyaybx0.知识点五交轨法求曲线的方程如果两条曲线的方程是f1(x，y)0和f2(x，y)0，它们的交点是P(x0，y0)，证明：f1

4、(x，y)f2(x，y)0的曲线也经过P点(R)，并求经过两条曲线x2y23xy0和3x23y2y0的交点的直线方程解P(x0，y0)是两曲线的交点，f1(x0，y0)0，f2(x0，y0)0，f1(x0，y0)f2(x0，y0)0.即方程f1(x，y)f2(x，y)0的曲线经过P点3得9x4y0.即过两曲线的交点的直线方程为9x4y0.考点赏析1.(福建高考) 如图，已知点F（1,0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且=.求动点P的轨迹C的方程.解方法一设点P(x，y)，则Q(1，y)，由 得：(x1,0)(2，y)(x1，y)(2，y)，化简得C：y2

5、4x.方法二由 得：()0， )()0，2220， |.所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为： y24x.2.（陕西高考）如图所示，三定点A（2，1），B（0， 1），C（2，1）；三动点D，E，M满足=t，=t， =t，t0，1. (1)求动直线DE斜率的变化范围；(2)求动点M的轨迹方程解(1)设D(xD，yD)，E(xE，yE)，M(x，y)由=t，=t，知（xD 2，yD 1）= t（2， 2），同理kDE12t.t0,1，kDE1,1（2） tt，(x2t2，y2t1)t(2t2t2,2t12t1)t(2,4t2)(2t,4t22t)y，即x24y.t0,1，x2(12t

6、)2,2所求轨迹方程为x24y，x2,21如果命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题中正确的是()A坐标满足f(x，y)0的点都不在曲线C上B曲线C上的点的坐标不都满足方程f(x，y)0C坐标满足方程f(x，y)0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D至少有一个不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)0答案D解析对于命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”的否定是“坐标满足方程f(x，y)0的点不都在曲线C上”，即至少有一个不在曲线C上的点，它的坐标满足方程f(x，y)0.2ABC中，若B、C的坐标分别是(2,0)、(2,0)，中线AD的长度是3，

7、则A点的轨迹方程是()Ax2y23 Bx2y24Cx2y29(y0) Dx2y29(x0)答案C解析易知B、C中点D即为原点O，所以|OA|3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因ABC中，A、B、C三点不共线，所以y0.所以选C.3已知A(1,0)，B(2,4)，ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A4x3y160或4x3y160B4x3y160或4x3y240C4x3y160或4x3y240D4x3y160或4x3y240答案B解析由两点式，得直线AB的方程是，即4x3y40，线段AB的长度|AB|5.设C的坐标为(x，y)，则510，即4x3y160或4x3y240

8、.4在下列图中方程表示图中曲线的是()答案C解析对于A，方程x2+ y2=1表示一个完整的圆对于B，x2y2=(x+y)(xy)=0，它表示两条相交直线对于D，由lgx+lgy=0知xy=1，x0且y0.5. 设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若=2，且= 1，则P点的轨迹方程是 ()A3x2y21(x0，y0)B3x2y21(x0，y0)C.x23y21(x0，y0)D.x23y21(x0，y0)答案D解析如图所示，若P(x，y)，则A，B(0,3y)，(x，y)，1，x23y21(x0，y0)，即为点P轨迹方程6设

9、动点P是曲线y2x21上任意一点，定点A(0，1)，点M分PA所成的比为21，则点M的轨迹方程是()Ay6x2 By3x2Cy3x21 Dx6y2答案A解析设点M的坐标为(x0，y0)，因为点A(0，1)，点M分PA所成的比为21，所以P点的坐标为(3x0,3y02)，代入曲线y2x21得y06x，即点M的轨迹方程是y6x2.7点P(a，b)是单位圆上的动点，则Q(ab，ab)的轨迹方程是_答案x22y10解析设Q(x，y)则因为a2b21，即(ab)22ab1.所以x22y1.所以点Q的轨迹方程是x22y10.8平面上有三个点A(2，y)，B(0，)，C(x，y) 若，则动点C的轨迹方程为_

10、答案y28x解析，(0，)(2，y)(2，)，(x，y)(0，)(x，)因为,所以,所以(2，)(x，)0，即y28x.所以动点C的轨迹方程为y28x.9过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程解方法一设点M的坐标为(x，y)M为线段AB的中点，A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)l1l2，且l1、l2过点P(2,4)，PAPB，kPAkPB1.而kPA(x1)，kPB，1(x1)整理，得x2y50(x1)当x1时，A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4)，线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x2y50.

11、综上所述，点M的轨迹方程是x2y50.方法二设M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连结PM.l1l2，2|PM|=|AB|.而|PM|=，|AB|=，化简，得x+2y5=0，为所求轨迹方程. 方法三l1l2，OAOB，O、A、P、B四点共圆，且该圆的圆心为M，|MP|=|MO|，点M的轨迹为线段OP的中垂线 kOP= = 2，OP的中点坐标为(1,2)，点M的轨迹方程是y 2= (x 1)，x+2y5=0.方法四设点M的坐标为(x，y)，则A(2x,0)，B(0,2y)，PAPB，即， =0.（2x-2，-4）（-2，2y-4）=0，即-2（2x-2）-4

12、（2y4）=0，化简得：x+2y-5=0.10. 设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且=2， .当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程.解 设 M（a,0）,P(0,b),动点N（x,y）,则=（x-a,y）,=(-a,b),(1，b)因为2， ，所以且ab20.上述方程组消去a，b，得y24x.所以动点N的轨迹方程为y24讲练学案部分21.1曲线与方程对点讲练知识点一曲线的方程与方程的曲线如果曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)0，则下列说法正确的是()A曲线C的方程是F(x，y)0B方程F(x，y)0的曲线是CC坐标不满足方程F(x，y)0的点都不在曲线C上D坐标满足方程F

13、(x，y)0的点都在曲线C上答案C解析直接法：原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)0”，其逆否命题即“若M点的坐标不适合方程F(x，y)0，则M点不在曲线C上”，此即说法C.特值方法：作如上图所示的曲线C，考查C与方程F(x，y)=x2 1=0的关系，显然A、B、D中的说法全不正确【反思感悟】“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上点的坐标没有不满足方程的，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外，“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏设方程f(x，y)0的解集非空，如果命题“坐标满足

14、方程f(x，y)0的点都在曲线C上”是不正确的，则下面命题中正确的是()A坐标满足f(x，y)0的点都不在曲线C上B曲线C上的点的坐标都不满足f(x，y)0C坐标满足f(x，y)0的点有些在C上，有些不在曲线上D一定有不在曲线上的点，其坐标满足f(x，y)0答案D解析“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”不正确，就是说“坐标满足方程f(x，y)0的点不都在曲线C上”是正确的，这意味着一定有这样的点(x0，y0)，虽然f(x0，y0)0，但(x0，y0)C，即一定有不在曲线上的点，其坐标满足f(x，y)0.故应选D知识点二判断方程是否为曲线的方程(1)过P(0，1)且平行于x轴的直线l的

15、方程是|y|1吗？为什么？(2)设A(2,0)，B(0,2)，能否说线段AB的方程是xy20？为什么？解(1)如图所示，过点P且平行于x轴的直线l的方程为y1，因而在直线l上的点的坐标都满足|y|1，但是以|y|1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l上所以|y|=1不是直线l的方程，直线l只是方程|y|=1所表示曲线的一部分(2)由方程x+y 2=0知，当x=4时，y= 2.故点(4， 2)的坐标是方程x+y 2=0的一个解，但点(4， 2)不在线段AB上x+y 2=0不是线段AB的方程【反思感悟】判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐

16、标的点是否在曲线上下列命题是否正确？若不正确，说明原因(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程是|x|2；(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是yx.解(1)错误因为以方程|x|=2的解为坐标的点，不都在直线l上，直线l只是方程|x|=2所表示的图形的一部分(2)错误因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线l1和l2，直线l1上的点的坐标都是方程y=x的解，但是直线l2上的点(除原点)的坐标不是方程y=x的解故y=x不是所求的轨迹方程知识点三证明方程是曲线的方程证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xyk.证明(1)如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点因

17、为点M与x轴的距离为| y0|，与y轴的距离为|x0|，所以| x0 | y0|=k，即(x0，y0)是方程xy=k的解(2)设点M1的坐标(x1 ，y1)是方程xy=k的解，则x1y1=k，即| x1| y1|=k.而| x1|、| y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点由(1)(2)可知，xy=k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k0)的点的轨迹方程【反思感悟】要证某轨迹的方程为f(x，y)，由曲线的方程的概念可知，既要证轨迹上的任意一点M(x0，y0)的坐标都是f(x，y)=0的解，也要证明方程的任一解(x1，y1)对应的点都在轨

18、迹上已知两点A(0,1)，B(1,0)，且|MA|2|MB|，求证：点M的轨迹方程为22.证明设点M的坐标为(x，y)，由两点间距离公式，得|MA|MB|又|MA|2|MB|，2.两边平方，并整理得3x23y22y8x30，即22所以轨迹上的每一点的坐标都是方程的解；设M1的坐标(x1，y1)是方程的解，即22.即3x3y8x12y130，|M1A|22|M1B|即点M1(x1，y1)在符合条件的曲线上综上可知：点M的轨迹方程为22.课堂小结： 1.称曲线C的方程是f(x,y)=0(或称方程f(x,y)=0的曲线是C)必须具备两个条件:(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x , y)=0的解(

19、纯粹性);(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上(完备性).2.设曲线C的方程是f(x , y)=0,则点P(x0 , y0)在曲线C上f(x0 , y0)=0.课时作业一、选择题1已知曲线C的方程为x3xy10，则下列各点中在曲线C上的点是()A(0,0) B(1,3)C(1,1) D(1,1)答案B解析点P(x0，y0)在曲线f(x，y)上f(x0，y0)0.2已知直线l的方程是f(x，y)0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)f(x0，y0)0表示的曲线是()A直线l B与l垂直的一条直线C与l平行的一条直线 D与l平行的两条直线答案C解析方程f(x，y)f(

20、x0，y0)0表示过M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线选C.3已知圆C的方程f(x，y)0，点A(x0，y0)在圆外，点B(x，y)在圆上，则f(x，y)f(x0，y0)f(x，y)0表示的曲线是()A就是圆CB过A点且与圆C相交的圆C可能不是圆D过A点与圆C同心的圆答案D解析由点B(x，y)在圆上知f(x，y)0.由A(x0，y0)在圆外知f(x0，y0)为不为0的常数，点A(x0，y0)代入方程f(x，y)f(x0，y0)0成立所以f(x，y)f(x0，y0)0表示的曲线过A点因此选D.4下列各组方程中表示相同曲线的是()Ayx，1 Byx，yC|y|x|， D|y|x|，y2x2答

21、案D解析A中yx表示一条直线，而1表示直线yx除去(0,0)点；B中yx表示一条直线，而y表示一条折线；C中|y|x|表示两条直线，而表示一条射线；D中|y|x|和y2x2均表示两条相交直线，故选D.5“以方程f(x，y)0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析f(x，y)0是曲线C的方程必须同时满足以下两个条件：以f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上；曲线C上的点的坐标都符合方程f(x，y)0，故选B.二、填空题6求方程|x|y|1所表示的曲线C围成的平面区域的面积为_答案2解析方

22、程|x|+|y|=1所表示的图形是正方形ABCD(如图)，其边长为.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的平面区域的面积为2.7到直线4x3y50的距离为1的点的轨迹方程为_答案4x3y100和4x3y0解析可设动点坐标为(x，y)，则1，即|4x3y5|5.所求轨迹为4x3y100和4x3y0.8若方程ax2by4的曲线经过点A(0,2)和B，则a_，b_.答案1682三、解答题9已知直线l1：mxy0，l2：xmym20.求证：对mR，l1与l2的交点P在一个定圆上证明l1与l2分别过定点(0,0)及(2,1)，且l1l2，l1与l2的交点P必在以(0,0)，(2,1)为端点的直径的圆

23、上，其方程为x2y22xy0.10曲线x2(y1)24与直线yk(x2)4有两个不同的交点，求k的范围，若有一个交点呢？无交点呢？解由得(1k2)x22k(32k)x(32k)240，4k2(32k)24(1k2)(32k)2448k20.0，即k时，直线与曲线有两个不同的交点；0，即k时，直线与曲线有一个交点；0，即k时，直线与曲线没有交点21.2求曲线的方程. 对点讲练知识点一直接法求轨迹的方程 设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2+2y2=4交于A、B两点，P是l上满足=1的点，求点P的轨迹方程.解设P点的坐标为(x，y)，又由方程x22y24得2y24x2，y ，A、B两点的坐标分别为(

24、x, )，(x，)1.(0, y)(0，y)1，即y21，1又直线l与椭圆交于两点，2x2点P的轨迹方程为1(2x0)射线OB的方程为y= x( x 0)设Px1 , x1, Q x2 , x2M(x，y)由题意得x= ( x1+x2),又SPOQ=|OP|OQ|sin60= x1 x2 = x1x2由(x1+x2)2 (x1 x2)2=4x1x2，消去x1，x2得x2 3y2=8由于x10，x20，故x0，动点M的轨迹方程为x2 3y2=8 (x0)【反思感悟】参数法：根据条件，将所求动点的坐标用恰当的参数(如角度、直线斜率等)解析式表示出来，再利用某些关系式消去参数得到轨迹方程过点P1(1

25、,5)作一直线交x轴于点A，过点P2(2，7)作直线P1A的垂线，交y轴于点B，点M在线段AB上，且BMMA12，求动点M的轨迹方程解设P2B的直线方程为：y7k(x2)，则P1A的方程为：y5(x1)，则有A(5k1,0)、B(0，2k7)设M(x，y)，则由BMMA12，得消去k，并整理得12x15y740. 动点M的轨迹方程为12x15y740.课堂小结：1.坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同.2.一般的，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是（x，y），而不要设成（x1，y1）或（x,y）等.3.方程化简到什么程度,课本上没有给出明确的规定,一般指将方程f(x,y)=0化成x,y

26、的整式.如果化简过程破坏了同解性,就需要剔除不属于轨迹上的点,找回属于轨迹而遗漏的点.求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线,求轨迹方程则不必说明.课时作业一、选择题1已知点A(2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则ABC底边AB的中线的方程是()Ax0 Bx0(0y3)Cy0 Dy0(0x2)答案B解析直接法求解，注意ABC底边AB的中线是线段，而不是直线所以选B.2与点A(1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为1的动点P的轨迹方程是()Ax2y21 Bx2y21(x1)Cy Dx2y29(x0)答案B解析设P(x，y)，则kPA，kPB，所以kPAkPB1.整理得x2y21，又kPA、k

27、PB存在，所以x1.所以所求轨迹方程为x2y21 (x1)，所以选B.3. 设动点P是抛物线y=2x2+1上任意一点，定点A（0， 1），点M分所成的比为21，则点M的轨迹方程是（ ）Ay6x2 By3x2Cy3x21 Dx6y2答案A解析 设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0 , y0)，因点P在抛物线上，即y0=2x02+1，由题意 =所以PM=2, 即（x x0 , y y0）=2(x, 1 y),所以即 因此有 ：= 29x2 +1,即y=6x2 .4自圆x2y21外动点P作该圆的两条切线，切点分别为A，B.若APB，则动点P的轨迹方程是()Ax2y24 Bx2y22C.y21

28、 D.y21答案B解析四边形PAOB为正方形，故|OP|.5已知点A(2,0)及原点O，动点P满足(|PA|PO|)(|PA|PO|)1，则点P的轨迹方程是()Ax Bx Cx Dx答案C解析设P(x，y)，条件即|PA|2|PO|21，故(x2)2y2(x2y2)1，化简得x.二、填空题6方程(xy1)0表示的曲线是_答案射线xy10(x1)与直线x1解析由(xy1)0得：或即xy10(x1)，或x1.所以，方程表示的曲线是射线xy10(x1)和直线x1.7. 已知两点M（-2，0），N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足|+= 0，则动点P(x,y)的轨迹方程为. _答案y28x解析 由题意知 (4,0)， (x2，y)，(x2，y)，所以|4，|，4(x2)，根据已知条件得44(2x)，整理，得y28x，所以点P的轨迹方程为y28x.8两条直线axy10和xay10(a为参数且a1)的交点的轨迹方程是_答案x2y2xy0解析设两条直线的交点为(x0，y0)则有求出(x0，y0)的方程即为轨迹的方程当a