复杂的鸡兔同笼问题

1、复杂的鸡兔同笼问题专题训练一、知识要点和基本方法 1鸡兔同笼的基本问题是：已知鸡、兔总头数和总脚数，求鸡、兔各有多少只 (1)解决鸡兔同笼问题的方法通常是用假设法，解题思路是： 先假设笼子里装的全是鸡，根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔 (2)解决鸡兔同笼问题的基本关系式是： 鸡数=(兔脚数总头数-总脚数)(兔脚数-鸡脚数) 兔数=(总脚数-鸡脚数总头数)(兔脚数-鸡脚数) 注意，这两个基本关系式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，又知总数，所以另一个也就知道了 2

2、鸡兔同笼问题的变型有两类： (1)将鸡、兔的总头数和总脚数中的“两数之和”变成“两数之差”，这样得到三种情况： 已知鸡、兔头数之差和总脚数，求鸡兔各有多少只； 已知鸡、兔脚数之差和总头数，求鸡兔各有多少只； 已知鸡、兔头数之差和脚数之差，求鸡兔各有多少只 (2)将基本问题中同笼的是鸡、兔两种不同东西，还可以引伸到同笼中不同东西是三种，四种等等 注意：鸡兔同笼问题的两种变型均可转化成基本问题来解决 二、例题精讲 例1、在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40个头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只?分析：题目中给出了鸡、兔共有40只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来

3、，看作是一只脚，两只后脚也捆起来，也看成是一只脚，那么兔子就成了2只脚(即把兔子都当成两只脚的鸡)鸡兔总的脚数是402=80(只)比题中所说的130只要少 130-80=50(只) 现在松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2，即80+2=82再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，即82+2=84，一直继续下去，直至增加到50因此，兔子数是 502=25(只) 实际上，这就是上述基本关系式(2) 解：(130-402)(4-2) =(130-80)2=502=25(只) 40-25=15(只) 答：笼子中有兔子25只，有鸡15只 例2、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和

4、1对翅膀，现在这三种小虫共21只，有140条腿和24对翅膀，求每种小虫各几只?分析：此题中出现了3种昆虫，不仅有腿的比较，而且又出现了翅膀，显然比例1复杂了解此题的关键就是将3种昆虫转化为2种昆虫，这样解起来就比较容易了 突破口在于：蝉和蜻蜓都有6条腿 解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目考虑，可以把昆虫分成“8条腿”和“6条腿”两种，利用基本关系式算出8条腿的 蜘蛛数=(140-621)(8-6)=(140-126)2=142=7(只) 因此，知道了6条腿的昆虫共有 21-7=14(只)， 也就是蜻蜓和蝉共有14只因为蜻蜓和蝉共有24对翅膀，现在再用一次基本关系式，得 蝉数=(142-

5、24)(2-1)=(28-24)1=4(只) 因此，蜻蜓数是14-4=10(只) 答：有7只蜘蛛，4只蝉，10只蜻蜓 例3、鸡与兔共40只，鸡的脚数比兔的脚数少70，问鸡与兔各多少只?解：假设再补上70只鸡脚，也就是再有鸡702=35(只)，则鸡与兔的脚数就相等，兔的脚数是鸡的脚数42=2(倍)于是鸡的只数是兔的只数的2倍 因此，兔的只数是 (40+702)(2+1)=25(只)， 鸡的只数是 40-25=15(只) 答：鸡15只，兔25只 例4、在一个停车场上，停放的车辆(汽车和三轮摩托车)数恰好是24其中每辆汽车有四个轮子，每辆摩托车有三个轮子这些车共有86个轮子那么，三轮摩托车有多少辆?

6、分析：我们可将汽车“看作兔子”，将三轮摩托车“看作鸡”，轮子“看作腿”，就可用鸡兔同笼的原理来解此题 解：24辆车如果都算作汽车，那么将有244=96(个)轮子比现有的86个多10个轮子每一辆三轮摩托车比每一辆汽车少一个轮子，故要有10辆三轮摩托车来抵消10个轮子 答：共有10辆三轮摩托车 公式套用：若用基本关系式，鸡数=(兔脚数总头数-总脚数)(兔脚数-鸡脚数)“翻译”为摩托车车辆数计算公式(这里将摩托车看作“鸡”)： 摩托车数=(汽车轮子数车辆总数-轮子总数)(汽车轮子数-摩托车轮子数)， 即有 摩托车数：(424-86)(4-3)=10(辆) 三、专题特训 1有一首民谣：“一队猎手一队狗

7、，二队并着一起走，数头一共三百六，数腿一共八百九。”问民谣中有多少个猎手和多少条狗?2用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张?3春风小学3名同学去参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道倒扣3分，不做得0分，这3名同学都做了所有题小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分问他们三人一共答对了多少题?4某班同学外出春游，买车票99张，共花280元，其中单程每张2元，往返每张4元，问单程票与往返票相差几张?5某商场为招揽顾客举办购物抽奖，奖金有三种：一等奖1000元，二等奖250元，三等奖50元，共有100人中奖，奖金总额为9500元问其中二等奖有多

8、少名?6有一堆硬币，面值为1分、2分、5分三种，其中1分硬币个数是2分硬币个数的11倍，已知这堆硬币面值总和是1元，问5分的硬币有多少个？ 7箱子里有红、白两种颜色的玻璃球红球数是白球数的3倍多2个每次从箱子里取出7只白球，15只红球若经过若干次取球以后，箱子里剩下3只白球，53只红球那么箱子里原有红球多少只?8甲、乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分，若不中甲失2分，乙失3分，每人各射10发，共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，问甲、乙各中几发?9姣姣和甜甜两位同学进行数学比赛，商定算对一题给20分，错一题扣12分姣姣和甜甜各算了10道题，两人共得208分，姣姣比甜甜多得64分，问姣

9、姣和甜甜各算对了多少道题?10某种考试已举行了24次，共出了426题，每次出的题数有25道，或者16道，或者20道，那么，其中考25题的有多少次?答案与解析参考答案1猎手有275人，狗有85人。2最多可买1角邮票6张。3共答对了20道。解：三人共得87+74+9=170(分)，比满分少300-170=130(分)，因此3人共做错130(10+3)=10(道)所以，共答对30-10=20(题)。4单程票比往返票多17张。解：设99张均为往返票，应花994=396(元)，比实际多花396-280=116(元) 因一张往返票比一张单程票多2元，所以单程票1162=58(张)，往返票有99-58=41

10、(张)，两者相差17张。5二等奖13名。设都是三等奖，奖金就多下9500-50100=4500（元），一个一等奖要增加1000-50=950（元），一个二等奖要增加250-50=200（元）.因此950一等奖个数+200二等奖个数=4500（元）.很明显一等奖个数是偶数，2，4，6，.69504500.4950余下的钱就不能被200整除，因此一等奖个数只能是2.二等奖个数是（45009502）200=13（个）.6有5分硬币7个。设2分硬币x个，则1分硬币11x个；1元100分，则100（2x11x）能被5整除，试验可知当x5时，符合要求。那么，100（2x11x）1006535（分）。355

11、7（个）。7原有红球数为158只.解：如果每次红球取37=21(只)，那么最后剩下的红球数仍应是剩下的白球数的3倍多2只，即33+2=11(只)，比现在少53-11=42(只)这是由于每次多取了2l-15=6(只)红球所以共取了426=7(次)，因此，原有红球数为：715+53=158(只)。8甲中8发，乙中6发。解：假设甲中10发,乙就中14-10=4(发).甲得410=40(分),乙得54-36= 2(分).比题目条件“甲比乙多10分”相差(40-2)-10=28(分),甲少中1发,少4+2=6(分),乙可增5+3=8(分).28(6+8)=2.甲中10-2=8(发).乙中1486（发）。9姣姣算对8道，甜甜算对6道。解：姣姣得分（20864）2136（分）；甜甜得分20813672（分）；假设她们都做对10道题，则每个人的总分各是200分。姣姣差了20013664分，姣姣错了64（2012）2（道），做对了1028（道）。甜甜差了20072128分，甜甜错了128（2012）4（道），做对了1046（道）。10其中考25题的有2次。解：假设