实变函数题库集答案

1、实变函数试题库及参考答案 本科一、题 1设为集合，则（用描述集合间关系的符号填写）2设是的子集，则 （用描述集合间关系的符号填写）3如果中聚点都属于，则称是闭集4有限个开集的交是开集5设、是可测集，则（用描述集合间关系的符号填写）6设是可数集，则=7设是定义在可测集上的实函数，如果，是可测集，则称在上可测8可测函数列的上极限也是可测函数9设，则10设在上可积，则在上可积11设为集合，则（用描述集合间关系的符号填写）12设，则=（其中表示自然数集的基数）13设，如果中没有不属于，则称是闭集14任意个开集的并是开集15设、是可测集，且，则16设中只有孤立点，则=17设是定义在可测集上的实函数，如果

2、，是可测，则称在上可测18可测函数列的下极限也是可测函数19设，则20设是上的单调增收敛于的非负简单函数列，则21设为集合，则22设为有理数集，则=（其中表示自然数集的基数）23设，如果中的每个点都是内点，则称是开集24有限个闭集的交是闭集25设，则026设是中的区间，则=的体积27设是定义在可测集上的实函数，如果，是可测集，则称在上可测28可测函数列的极限也是可测函数29设，则30设是上的非负可测函数列，且单调增收敛于，由勒维定理，有31设为集合，则=32设为无理数集，则=（其中表示自然数集的基数）33设，如果中没有不是内点的点，则称是开集34任意个闭集的交是闭集35设，称是可测集，如果，3

3、6设是外测度为零的集合，且，则=37设是定义在可测集上的实函数，如果，是可测，（）则称在上可测38可测函数列的上确界也是可测函数39设，则40设，那么由黎斯定理，有子列，使于41.设为两个集合,则.（等于）42.设,如果满足(其中表示的导集),则是闭.43.若开区间为直线上开集的一个构成区间,则满(i) (ii)44.设为无限集.则的基数(其中表示自然数集的基数) 答案：45.设为可测集, ,则. 答案： 46.设是定义在可测集上的实函数,若对任意实数,都有是可测集上的可测函数.47.设是()的内点,则. 答案48.设为可测集上的可测函数列,且,则由_黎斯_定理可知得,存在的子列,使得.49.

4、设为可测集()上的可测函数,则在上的积分值不一定存在且在上不一定可积.50.若是上的绝对连续函数,则是上的有界变差函数.51设为集合，则 答案=52设，如果满足（其中表示的内部），则是开集53设为直线上的开集，若开区间满足且，则必为的构成区间54设，则的基数=(其中表示自然数集的基数)55设为可测集，且，则 答案 =56设是可测集上的可测函数，则对任意实数，都有是可测集57若是可数集，则 答案=58设为可测集上的可测函数列，为上的可测函数，如果，则 不一定成立59 设为可测集上的非负可测函数，则在上的积分值一定存在60若是上的有界变差函数，则必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差）多项选择

5、题（每题至少有两个以上的正确答案）1设，则（ ACD ） 是不可数集 是闭集 中没有内点 2设是无限集，则（ AB ） 可以和自身的某个真子集对等 （为自然数集的基数） 3设是上的可测函数，则（ABD ） 函数在上可测 在的可测子集上可测 是有界的 是简单函数的极限4设是上的有界函数，且黎曼可积，则（ABC ） 在上可测 在上可积 在上几乎处处连续 在上几乎处处等于某个连续函数5设，如果至少有一个内点，则（ BD ） 可以等于 可能是可数集 不可能是可数集6设是无限集，则（ AB ） 含有可数子集 不一定有聚点 含有内点 是无界的7设是上的可测函数，则（ BD ） 函数在上可测 是非负简单函数

6、列的极限 是有界的 在的可测子集上可测8设是上的连续函数，则（ ABD ） 在上可测 在上可积，且 在上可积，但 在上有界9设是狄利克莱函数，即，则（ BCD ） 几乎处处等于 几乎处处等于 是非负可测函数 是可积函数10设，则（ ABD ） 是可测集 的任何子集是可测集 是可数集 不一定是可数集11设，则（ AB ） 当是可测集时，是可测函数 当是可测函数时，是可测集 当是不可测集时，可以是可测函数 当是不是可测函数时，不一定是可测集12设是上的连续函数，则（BD ） 在上有界 在上可测 在上可积 在上不一定可积13设在可测集上可积，则（AC ） ，都是上的非负可积函数 和有一个在上的非负可

7、积 在上可积 在上不一定可积14设是可测集，则（ AD ） 是可测集 的子集是可测集 的可数子集是可测集15设，则（ CD ） 几乎处处收敛于 一致收敛于 有子列，使于 可能几乎处处收敛于16设是上有界函数，且可积，则（BD ） 在上黎曼可积 在上可测 在上几乎处处连续 在上不一定连续17. 设,则(CD)（A）是可数集（B）是闭集（C）中的每个点均是聚点（D）18.若()至少有一个内点，则（BD）（A）可以等于（B）（C）可能是可数集（D）不可能是可数集19设是可测集，则的特征函数是（ABC）（A）上的符号函数（C）上的连续函数（B）上的可测函数 （D）上的连续函数20 设是上的单调函数，则

8、（ACD）（A）是上的有界变差函数（B）是上的绝对连续函数（C）在上几乎处处收敛（D）在上几乎处处可导21设，则（ AC ）（A）是可数集 （B）是闭集（C） （D）中的每一点均为的内点22若的外测度为0，则（ AB ）（A）是可测集 （B）（C）一定是可数集 （D）一定不是可数集23设，为上几乎处处有限的可测函数列，为上几乎处处有限的可测函数，如果，则下列哪些结果不一定成立（ ABCD ）（A）存在 （B）在上-可积（C） （D）24若可测集上的可测函数在上有积分值，则（ AD ）（A）与至少有一个成立（B）且 （C）在上也有-积分值（D）三、 单项选择1下列集合关系成立的是（ A ） 2若

9、是开集，则（ B ） 4设是上一列非负可测函数，则（ B） 5下列集合关系成立的是（ A ） 6若是闭集，则（ C ） 7设为无理数集，则（ C ） 为闭集 是不可测集 9下列集合关系成立的是（B ） 10设，则( A ) 11设为康托集，则（ B ） 是可数集 是不可数集 是开集13下列集合关系成立的是（ A） 若则 若则 若则 若则14设，则（ A ） 15设，则（ B ） 是中闭集 是中完备集16设，是上的可测函数，则（ B ） 不一定是可测集 是可测集 是不可测集 不一定是可测集7下列集合关系成立的是（A）（A） （B）（C） （D）18. 若是开集，则 （ B ）（A）的导集 （B）

10、的开核（C） （D）的导集19. 设的康托集，则(C)（A）为可数集 （B）为开集（C） （D）20、设是中的可测集，是上的简单函数，则 （ D ）（A）是上的连续函数 （B）是上的单调函数（C）在上一定不可积 （D）是上的可测函数21下列集合关系成立的是（ A ）（A） （B）（C） （D）22. 若是闭集，则 （ B ）（A） （B）（C） （D）23. 设的有理数集，则（ C ）（A） （B）为闭集（C） （D）为不可测集24.设是中的可测集，为上的可测函数，若，则 （ A ）（A）在上，不一定恒为零 （B）在上， （C）在上， （D）在上， 四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （

11、）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称在上几乎处处相等是指使的全体是可测集. （ ）5. 可数个集的交是集. （ ）6. 可数个可测函数的和使可测函数. （ ）7. 对等的集合是相等的. ( )8. 称在上几乎处处相等是指使的全体是零测集. （ ）9. 可数个集的并是集. （ ）10. 零测集上的函数是可测函数. （ ）11. 对等的集合不一定相等. （ ）12. 称在上几乎处处相等是指使的全体是零测集.（ ）13. 可数个开集的交是开集 （ ）14. 可测函数不一定是连续函数. （ ）15. 对等的集合有相同的基数. （ ）16. 称在上几乎处处

12、相等是指使的全体的测度大于 （ ）17. 可列个闭集的并集仍为闭集 （ ）18. 任何无限集均含有一个可列子集 （ ）19. 设为可测集，则一定存在集，使，且. （ ）20. 设为零测集，为上的实函数，则不一定是上的可测函数（ ）21. 设为可测集上的非负可测函数，则 （ ） 22. 可列个开集的交集仍为开集 （ ）23. 任何无限集均是可列集 （ ）24. 设为可测集，则一定存在集，使，且. （ ）25. 设为零测集，则为上的可测函数的充要条件是：实数都有是可测集 （ ）26. 设为可测集上的可测函数，则一定存在. （ ） 五、简答题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.答：

13、因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合，的幂集的基数大于的基数.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4. 上单调函数与有界变差函数有什么关系？答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.5. 简述集合对等的基本性质.答：；若，则；若，且，则.6. 简述点集的内点、聚点、边界点和孤立点之间关系.答

14、：内点一定是聚点，内点不是孤立点，边界点由点集的孤立点和聚点组成.7. 可测集与开集、集有什么关系？答：设是可测集，则，开集，使，使，或 集，使，且.8. 上单调函数、有界变差函数与绝对连续函数有什么关系？答：绝对连续函数是有界变差函数，反之不然；有界变差函数是单调增函数的差，而单调函数是有界变差函数.9. 简述证明集合对等的伯恩斯坦定理.答：若，又，则10. 简述中开集的结构.答: 设为中开集，则可表示成中至多可数个互不相交的开区间的并.11. 可测集与闭集、集有什么关系？答：设是可测集，则，闭集，使或 集，使.12. 为什么说绝对连续函数几乎处处可微？答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当

15、分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微.13. 简述连续集的基数大于可数集的基数的理由.答:连续集是无限集，因而包含可数子集，又连续集是不可数集，所以连续集的基数大于可数集的基数.14. 简述中开集的结构.答：中开集可表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并15. 可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？答：设是可测集上的一列可测函数，那当时，于，必有.反之不成立，但不论还是，存在子列，使于.当时，于，由定理可得近一致收敛于，反之，无需条件，结论也成立.16. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？答：由若当分解定理，有界变

16、差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.17. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？答：不一定，如18. 可测集上的可测函数与简单函数有什么关系？答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式.19. 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差.20. 简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？答：不一定 如21. 可测集上的可测函数与连续函数有什么关系？答：上连续函数必为可测函数但上的可测函数不一定时连续函数，上可测函

17、数在上是“基本上”连续的函数22. 上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数六、计算题1. 设，其中为中有理数集，求.解：因为，所以于，于是，而在上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，因此.2. 设为中全体有理数，求.解：显然在上可测，另外由定义知，于所以 因此.3. 设，为康托集，求.解：因为，所以于于是而在上连续，所以因此.4. 设，求.解：因为在上连续，所以可测又而，所以.因此由有界控制收敛定理5. 设，为中有理数集，求.解：因为，所以于于是而在上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式因此6. 设，求.解：

18、因为在上连续，所以可测又而，所以.因此由有界控制收敛定理7. 设，为康托集，求.解：因为，所以于于是而在上连续，所以因此.8. 求.解：令显然在上可测，且因为不难验证，当足够大时，是单调递减非负函数，且，所以由勒贝格控制收敛定理故.9. 设，求.证明 记是中有理数集，是中无理数集，则，且，所以 .10 求.证明 易知对任意，设，则，当时，.则是单调减函数且非负（）；又，由单调收敛定理得，即，再由控制收敛定理得11. 设，其中为康托集，求.解：因为为康托集，故，所以所以12. 求，求.解：易知：令，则所以又因为在上可积，所以由控制收敛定理，得 七、证明题1证明集合等式：证明2设是中的无理数集，则

19、是可测集，且证明 设是中的有理数集，则是可数集，从而，因此是可测集，从而可测，又，故是可测集.由于，所以，故3设是上的可测函数，则是可测集证明 设为全体有理数所成之集，则因为是上的可测函数，所以，是可测集，于是由可测集性质知是可测集4设是上的可测函数，则对任何常数，有证明 因为在上可测，所以在上非负可测，由非负可测函数积分性质， 而，所以 5设是上的可积函数，是的一列可测子集，且，则证明 因为，所以，当时，又在上可积，所以由积分的绝对连续性，当时于是当时，因此，即6证明集合等式：证明 7设是的可测子集，且，则证明 因为，所以，于是另一方面，所以 于是8设是定义在可测集上的实函数，为的可测子集（

20、），且，则在上可测的充要条件是在每个上可测证明 对任何实数，因为 所以在上可测的充要条件是对每个，在每个上可测9设是上的可测函数，则对任何常数，有证明 因为在上可测，所以是非负可测函数，于是由非负可测函数积分性质，而，所以 10设是上的可积函数，为的一列可测子集，如果则证明 因在上可积，由积分的绝对连续性知，对任意，存在，对任何，当时有，由于，故对上述的，存在，当时，且有，于是 ，即 11证明集合等式：证明 12设是零测集，则的任何子集是可测集，且证明 设，由外测度的单调性和非负性，所以 ，于是由卡氏条件易知是可测集13设是上几乎处处有限的可测函数，且，则.证明 对任何正数，由于 所以 于是 故14设是上可积函数，则在上也是可积的证明 因是上可积，所以在上可积，从而 可积，又故在上可积15设是可测集上的非负可测函数，如果，则于证明 反证，令，则由的可测性知，是可测集.下证，若不然，则由于，所以存在，使 于是因此，矛盾，故于16证明等式：证明 17设是有界集，则.证明 因为是有界集，所以存在开区间，使 由外测度的单调性，而（其中表示区间的体积），所以 18上的实值连续函数是可