实际问题与二次函数-详解与练习含答案

1、 初中数学专项训练：实际问题与二次函数（人教版）一、利用函数求图形面积的最值问题一、 围成图形面积的最值1、 只围二边的矩形的面积最值问题例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。（1） 设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；（2） 当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。解：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18- x）（米）， 根据题意，得：；又（2）中，a= -10，y有最大值，即当时，故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。点评：在回扣问题实际时，一定注意

2、不要遗漏了单位。2、 只围三边的矩形的面积最值例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（）（米）， 根据题意，得：；又中，a=0，y有最大值，即当时，故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为平方米。点评：如果设养鸡场的宽为x，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。3、 围成正方形的面积最值例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形 (1)要使这两个正方形的面积之和等于

3、17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm 由题意得： 解得： 当时，20-x=4；当时，20-x=16答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。（2）不能 理由是：设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为cm，围成两个正方形的面积为ycm2，根据题意，得：，中，a= 20，y有最小值，即当时，=12.512,故两个正方形面积的和不可能是12cm2.练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形A

4、BCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 .图（1） 图（2）.【解析】试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解.试题解析：设此函数解析式为：，；那么（2，-2）应在此函数解析式上则即得，那么考点：根据实际问题

5、列二次函数关系式.练习1某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是.请回答下列问题：(1)柱子OA的高度是多少米？(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？2一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.（1）如图1，若把桥

6、看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.求抛物线的解析式；要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.求圆的半径；要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?三、利用抛物线解决最大利润问题例题1 某市政府大力扶持大学生创业李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y10x500.（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）（3）物价部门

7、规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本进价销售量) （3分）答案：（1）35；（2）30或40；（3）3600.【解析】试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可试题解析：（1）由题意得出： ，当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润 （2）由题意，得：，解这个方程得：x1=30，x2=40李明想要每月获得2

8、000元的利润，销售单价应定为30元或40元（3），抛物线开口向下. 当30x40时，W2000.x32，当30x32时，W2000.设成本为P（元），由题意，得：，k=2000，P随x的增大而减小当x=32时，P最小=3600答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元考点：二次函数的应用练习1某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只（1）平均每天的销售量y(只)与销售价x(元只)之间的函数关系式为 ；（2）求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售只x(元只)之间的函数关系

9、式；（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元2为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：. 设这种产品每天的销售利润为w元.（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？3某公司营销两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售种产品所获利润(万元)与所售产品(吨)之间存在二次函数关系.

10、当时， ；当时，信息2：销售种产品所获利润 (万元)与所售产品(吨)之间存在正比例函数关系根据以上信息，解答下列问题：(1)求二次函数解析式；(2)该公司准备购进两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？4为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定

11、为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？5某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x元/个.（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个（用含x的式子表示）；（2）求该文具店这种签字笔

12、平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；（3）当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？6一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系：x3000320035004000y100969080（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元用含x（x3000）的代数式填表:租出的车辆数 未租出的车辆数 租出每辆车

13、的月收益 所有未租出的车辆每月的维护费 （3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元4、 利用二次函数解决动点问题例1如图8，如图9，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，A=60，BDAD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿ABC的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PMAD .(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求APE的面积；(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿ABC的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QNP

14、M. 设点Q运动的时间为t秒(0t10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 . 求S关于t的函数关系式； 求S的最大值.解：(1) 当点P运动2秒时，AP=2 cm，由A=60，知AE=1，PE=. SAPE=.(2) 当0t6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=. 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.当6t8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动. 设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4-，QF=，BP=t-6，CP=10-t

15、，PG=，而BD=，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.当8t10时，点P和点Q都在BC上运动. 设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20-2t，QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=. 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.故S关于t的函数关系式为当0t6时，S的最大值为当6t8时，S的最大值为当8t10时，S的最大值为所以当t=8时，S有最大值为 . 初中数学专项训练：实际问题与二次函数参考答案一、1（1）y=2x2-2ax+a2 (2) 有.当点E是AB的中点时，面积最大.【解析】本题考查了二次函数的应用.（1）先由AAS证明AEFDHE，得出AE

16、=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，再根据勾股定理，求出EF2，即可得到S与x之间的函数关系式；（2）先将（1）中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解解：四边形ABCD是边长为a米的正方形，A=D=90，AD= a米四边形EFGH为正方形，FEH=90，EF=EH在AEF与DHE中，A=D，AEF=DHE=90-DEH，EF=EHAEFDHE（AAS），AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，y=EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2x2-2ax+ a2，即y=2x2-2ax+ a2；（2）y=2x2-2ax+ a2=2（x-）2+，当x=时，S有

17、最大值故当点E是AB的中点时，面积最大2、 练习1（1） （2） （3）【解析】本题考查了二次函数的应用.（1）本题需先根据已知条件把x=0代入抛物线的解析式，从而得出y的值，即可求出答案（2）通过抛物线的顶点坐标求得（3）本题需先根据已知条件把y=0代入抛物线求出所要求的式子，再得出x的值，即可求出答案解：（1）把x=0代入抛物线的解析式得：y=，即柱子OA的高度是（2）由题意得：当x=时，y=,即水流距水平面的最大高度（3）把y=0代入抛物线得：=0，解得，x1=(舍去，不合题意)，x2=故水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外2（1）；10；（2）14.5；【解析】试题分析：（

18、1）利用待定系数法求函数解析式即可；根据题意得出y=3时，求出x的值即可；（2）构造直角三角形利用BW2=BC2+CW2，求出即可；在RTWGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.51=13.5，根据勾股定理知：GF2=WF2WG2，求出即可试题解析：（1）设抛物线解析式为：，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米，A（10，0），B（10，0），D（0，4），解得：，抛物线解析式为：；要使高为3米的船通过，则，解得：，EF=10米；（2）设圆半径r米，圆心为W，BW2=BC2+CW2，解得：；在RTWGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.51=13.5，根据勾股定理知：GF2=

19、WF2WG2，即GF2=14.5213.52=28，所以GF=，此时宽度EF=米考点：1二次函数的应用；2垂径定理的应用三、1(1）y=-3x+240；(2)w=-3x2+360x-9600；(3)定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.【解析】试题分析：（1）根据题意知销售量y(只)与销售价x(元只)之间的函数关系式为y=90-3（x-50）=-3x+240；(2)根据“总利润=每件商品的利润销售量”可知w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600；(3)求获得最大利润，也就是求函数w=-3x2+360x-9600的最大值.试题解析：( 1）y=90

20、-3（x-50）即y=-3x+240； （2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600；(3)当x60，y随x的增大而减小，当x=55时，w最大=1125所以定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.考点：（1）一次函数；（2）二次函数2（1）；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.【解析】试题分析：（1）根据销售额=销售量销售价单x，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.试题解析：（1）由题意得：，w与x的函数关系式为：.（2），20，当x=30时，w有最大值w最

21、大值为200.答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值.3见解析【解析】试题分析：（1）因为当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，代入得 解得 ，所以，二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x； （2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据题意可列函数关系式为：W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6，因为-0.10，根据二次函数的性质知当m=6时，W有最大值6.

22、6， 试题解析：（1）当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6， 解得 ，所以，二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x； 3分（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，则W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6，-0.10，当m=6时，W有最大值6.6， 购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元 考点：1.待定系数法求解析式.2.二次函数性质.4（1）政府这个月为他承担的总差价为600元；（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000；（3）销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.【解析】试题分析：（1）根据每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可求得每月销售量，又由单价和成本间关系得到每件节能灯的差价，则可得到总差价.（2）求每月可获得最大利润，即为求该二次函数的最大值，将二次函数配方法，可得该函数的最大值.（3）同时满足，根据函数图象的性质知道，随的增大而减小，当时，该函数有最大值时，有最小值500.试题解析：（1）当时，政府这个月为他承担的总差价为600元。（2）依题意得，当时，有最大值4000.当销售单价定为30元时，每月可获得最