411圆的标准方程

1、4.1.1圆的标准方程,学习目标:,让学生掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标，半径熟练地写出圆的标准方程，从圆的标准方程熟练地求出它的圆心和半径。并能利用圆的标准方程解决一此简单的实际问题。,平面内到定点距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫做半径。,一、圆的定义:,已知圆心C(a,b),半径等于r,求圆的方程。,设M(x , y)为圆上任意点,解:,P = M | |MC| = r ,x,y,O,C,三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.,x,y,O,C,M(x,y),圆心C(a,b),半径r,特别地,若圆心为O(0，0),则圆的方程为：,二、圆的标准方程:,(1) (x-3)2

2、+(y+2)2 =4,(2) (x+4)2+(y-2)2 = 7,(3) x2+(y+1)2 = 16,(4) 2x2+2y2=8,(3,-2) r=2,(-4,2),(0,-1) r=4,(0,0) r=2,练习1:(口答):求圆的圆心及半径,(1)圆心在原点,半径是3.,x2+y2=9,(x-3)2+(y-4)2=5,练习2：写出下列圆的方程,(2)圆心在(3,4),半径是,思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？,思考2:在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？,OAr,OAr,OA=r,探究:,思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C： ，如何判断点M在圆外、圆上、圆

3、内？,点M在圆上,点M在圆内,(x0-a)2+(y0-b)2=r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,点M在圆外,例1:已知圆心A(2, -3) ，半径等于5的圆的方程，试判断点M(5, -7)、N(1，0)、Q(7, 1)是在圆上，在圆内，在圆外？,(x-2)2+(y+3)2=25,例2:已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和 B(2,2 )，圆心C在直线l: xy10 上，求圆心为C的圆的标准方程.,圆心：两条直线的交点,半径：圆心到圆上一点,x,y,O,A(1,1),B(2,-2),弦AB的垂直平分线,解：A(1, 1)和B(2, 2)，所以线段AB

4、的中点D的坐标,直线AB的斜率:,因此线段AB的垂直平分线 的方程是,即,所以，圆心为C的圆的标准方程是,例3:ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5, 1)，B(7, 3)，C(2, 8)，求它 的外接圆的方程.,解：设所求圆的方程为：,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上,所求圆的方程为,待定系数法,圆心：两条弦的中垂线的交点,半径：圆心到圆上一点,x,y,O,E,A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),几何方法,练习:AOB的三个顶点的坐标 分别是A(4, 0)，B(0, 3)，O(0, 0)， 求它的外接圆的方程.,【总一总成竹在胸】,圆心C(a,b),半径r,1

5、.圆的标准方程,2.圆心,两条直线的交点 (弦的垂直平分线),直径的中点,3.半径,圆心到圆上一点,x,y,O,C,A,B,C,求圆的标准方程时，一般有两种方法: (1)待定系数法，其一般步骤如下： 根据题意，设出所求圆的标准方程(xa)2 (yb)2r2. 根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组 解方程组，求出a，b，r的值,将a，b，r的值代入所设的方程，即为所求圆的方程 (2)由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程这种方法要充分利用圆的几何性质，但计算相对较容易,1(1)已知圆的圆心为(2，3)，一条直径的两个端 点分别落在x轴、y轴上，求此圆的方程 (2)一个圆经

6、过A(10，5)，B(4，7)两点，半径 为10，求圆的标准方程,解：(1)法一：设直径的两个端点为(a，0)，(0，b)，,整理得7ab150，即b7a15. 将代入得a26a80. a2或a4，则b1，或b13. 故所求圆的方程为 (x2)2(y1)2100或(x4)2(y13)2100.,知识迁徙,此类问题，根据我们现在所学的知识一般利用数形结合的方法解决：(1)看作圆上动点到定点的距离或定直线的距离；(2)看作圆上动点与圆外一定点连线的斜率,方法技巧与圆有关的范围(或最值)问题,思路分析 (1)看作(x，y)与(0，0)连线的斜率； (2)看作(x，y)与(2，3)两点间的距离,题后反思 与圆有关的范围(或最值)问题我们现在有两类基本方法 (1)数形结合：能化为完全平方式的多项式转化为圆上动点到圆外点的距离；求圆上动点到定直线的距离最小值，利用圆心到直线的距离公式；分式的最值转化为切线的斜率 (2)利