231直线与平面垂直的判定（共27张PPT）

1、23直线、平面垂直的判定及其性质 23.1直线与平面垂直的判定,第二章点、直线、平面之间的位置关系,学习导航 学习目标 重点难点 重点：对直线与平面垂直的判定定理的理解及应用 难点：对直线与平面垂直的判定及线面角的求法,1直线与平面垂直的有关概念 (1)定义：如果直线l与平面内的_一条直线都_,我们就说直线l与平面互相垂直,记作_. (2)相关概念：若直线l与平面垂直，其中直线l叫做平面 的_，平面叫做直线l的_直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做_,任意,垂直,l,垂线,垂面,垂足,(3)画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直如图： (4)符号语言：任意

2、a，都有lal. 其中“任意直线”等同于“所有直线”,2直线与平面垂直的判定定理 (1)文字语言：一条直线与一个平面内的两条_直线都_，则该直线与此平面垂直 (2)图形语言：如图所示 (3)符号语言：a，b，abA，la，lbl.,相交,垂直,想一想 1.若直线l与平面内的无数条直线垂直，能否一定得出直线l与平面垂直？ 提示：不一定如果这无数条直线是一组平行线，就得不出垂直 2若直线m 直线n，且直线m平面，能否推出直线n平面？ 提示：能任取直线a，b，abP，又直线m平面，所以ma，mb，又直线m直线n，所以na，nb，于是得直线n平面.,做一做 1.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直

3、线OA垂直于() A平面OAB B平面OAC C平面OBC D平面ABC 解析：选C.由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.,3直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是_；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是_,锐角,直角,0的角,做一做 2. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于_；AB1与平面ADD1A1所成的角等于_；AB1与平面DCC1D1所成的角等于_ 解析：B1AB为AB1与面ABCD所成的角即45；B1AA1为AB1与面AD

4、D1A1所成的角，即45；AB1与面DCC1D平行，即所成的角为0. 答案：45450,题型一线面垂直的判定定理的理解,如图所示，直角ABC所在的平面外一点S，SASBSC，点D为斜边AC的中点则直线SD与平面ABC的位置关系为_,【题型探究】,【解析】SASC，点D为斜边AC的中点，SDAC. 连接BD，在RtABC中，则ADDCBD， ADSBDS， SDBD.又ACBDD， SD平面ABC. 【答案】垂直 【名师点评】“线线垂直，则线面垂直”中“线线”指一条直线和平面内的两相交直线；“线面”指这条直线和两相交直线所在的平面,互动探究 1在本例中，若ABBC，其他条件不变，则BD与平面SA

5、C的位置关系为_ 解析：ABBC，点D为斜边AC的中点，BDAC. 又由例题知SD平面ABC，SDBD. 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线， 故BD平面SAC. 答案：垂直,已知四棱锥PABCD的底面是菱形，且PAPC，PBPD.若O是AC与BD的交点，求证：PO平面ABCD. 【证明】在PBD中，PBPD，O为BD的中点，POBD. 在PAC中，PAPC，O为AC的中点，POAC， 又ACBDO， PO平面ABCD.,题型二直线与平面垂直的判定,【名师点评】证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可直线垂直于平面内的两条相交直线，此直线与两相交直线

6、有无公共点均可,跟踪训练 2如图所示，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，过点A作AEPC于点E，求证：AE平面PBC. 证明：PA平面ABC，PABC. 又AB是O的直径，BCAC. 而PAACA，BC平面PAC. 又AE平面PAC，BCAE. PCAE，且PCBCC，AE平面PBC.,如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PAAB，则直线PB与平面ABC所成的角等于_ 【解析】因为PA平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以PBA即为直线PB与平面ABC所成的角在PAB中，BAP90，PAAB，所以PBA45，即直线PB与平面ABC所成的角等

7、于45. 【答案】45,题型三斜线与平面所成的角,【名师点评】寻找斜线在平面内的射影，是解决斜线和平面所成角问题的关键要找射影就要寻找过斜线上一点与平面垂直的垂线没有垂线的，还要在斜线上取点作平面的垂线，垂足和斜足连线(有时也可以是两垂足)就是斜线在平面内的射影，但要注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才便于计算,跟踪训练 3如图，RtABC的斜边AB在 平面内，AC和BC与所成的角分别是30，45，CD是斜边AB上的高，求CD与平面所成的角 解：作CC1平面于点C1，连接AC1、BC1、DC1，则CAC130，CBC145，CDC1为CD与所成的角,1判定线面垂直的方法有：

8、 利用线面垂直的定义：一条直线垂直于平面内的任意直线，则该直线垂直于这个平面； 利用线面垂直的判定定理； 证明线线(或线面)垂直时，除了利用平面几何知识(勾股定理逆定理，菱形对角线、圆周角定理等)之外，还需要注意运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化,【方法感悟】,2求斜线与平面所成角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算 (2)证明：证明

9、某平面角就是斜线与平面所成的角 (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算如例3.,(本题满分12分)如图，已知P是ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两互相垂直，H是ABC的垂心求证：PH平面ABC.,规范解答 证明线面垂直,【证明】如图所示， PCAP，PCBP， APBPP，AP平面APB，BP平面APB， PC平面APB. 3分 AB平面APB，PCAB.5分 连接CH，H为ABC的垂心，CHAB， 7分 PCCHC，PC平面PHC，CH平面PHC， AB平面PHC，PH平面PHC， ABPH. 9分 同理可证PHBC.10分 AB平面ABC，BC平面ABC且ABBCB， PH平面ABC.12分,抓关键促规范 应用线面垂直判定定理勿漏掉条件，证明要严密 CHAB是由H为ABC的垂心而得到的，证明过程中要说明 线面垂直则线线垂直，此处易漏掉说明线在面内这一条件,跟踪训练 4如图，已知点P为平面ABC外一点， PABC，PCAB.过P作PO平面ABC 于O，连接OA，OB，OC. 求证：AC平面P