稳定裕度和校正

1、第14讲程向红,奈奎斯特稳定判据 对数稳定判据和稳定裕度 控制系统的校正,5.3.5 极坐标图的一般形状,0型系统：极坐标图的起点,是一个位于正实轴的有限值,极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切,1型系统,的相角是,极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段,幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切,在总的相角中,项产生的,在总相角中,的相角是由,项产生的,2型系统,图5-34b高频区域内的极坐标图,如果,的分母多项式阶次,的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点,时,轨迹将与实轴或虚轴相切,高于分子多项式阶次，那么,当,5.5奈奎斯特稳定判据(Nyquist S

2、tability Criterion,图3-35 闭环系统,闭环传递函数为,为了保证系统稳定，特征方程,的全部根，都必须位于左半s平面,的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的,虽然开环传递函数,充要条件,5.5.2影射定理,设,为两个s的多项式之比，并设P为,的极点数，Z为,的零点数，它们位于s平面上的某一封闭曲线内,的任何极点和零点。于是，s平面上的这一封闭曲线影射到,平面上，也是一条封闭曲线。当变量s顺时针通过封闭曲线时,平面上，相应的轨迹顺时针包围,原点的总次数R等于Z-P,且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不通过,在,若R

3、为正数，表示,的零点数超过了极点数,的极点数超过了零点数,很容易确定,的P数。因此，如果,的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数,若R为负数，表示,在控制系统应用中，由,很容易确定,两者的极点数相同,5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用,为了分析线性控制系统的稳定性，令s平面上的封闭曲线包围整个右半s平面。这时的封闭曲线由整个,轴(从,到,该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺时针方向)。因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半s平面，所以它包围了,和右半s平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成,的所有正实部的极点和零点,则不存在闭环极点，因而系统是稳定的,如果,在右半s平面不存在零点,

4、图5-37 s平面内的封闭曲线,曲线对原点的包围，恰等于,轨迹对-1+j0点的包围,这一判据可表示为,函数,在右半s平面内的零点数,对-1+j0点顺时针包围的次数,函数,如果P不等于零，对于稳定的控制系统，必须,或,这意味着必须反时针方向包围-1+j0点P次,5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明,式中,在右半s平面内的极点数,如果函数,在右半s平面内无任何极点，则,因此，为了保证系统稳定,的轨迹必须不包围-1+j0点,5.5.6,含有位于,上极点和/或零点的特殊情况,变量,沿着,轴从,运动到,从,到,变量,沿着半径为,的半圆运动，再沿着正,轴从,运动到,对于包含因子,的开环传递函数,当变量

5、s沿半径为,的半圆运动时,的图形中将有,个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。例如，考虑开环传递函数,当s平面上的,时,的相角,在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹包围,点两次。所以函数,在右半s平面内存在两个零点。因此，系统是不稳定的,如果在s平面内，奈奎斯特轨迹包含,和P个极点，并且当s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时，不,通过的任何极点或零点，则在,平面上相对应的曲线将沿顺时针方向包围,点,次（负R值表示反时针包围,点,5.6稳定性分析,的Z个零点,a)不包围-1+j0,如果这时,在右半s平面内没有极点，说明系统是稳定的；否则，系统是不稳定的,点。如果反时针方向包围的次数，

6、等于,在右半s平面内没有极点数，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的,点。系统是不稳定的,c)顺时针包围-1+j0,b)反时针包围-1+j0,例5-3 设闭环系统的开环传递函数为,的轨迹如图5-41所示,在右半s平面内没有任何极点，并且,的轨迹不包围,所以对于任何的值，该系统都是稳定的,图5-41 例5-3中的,极坐标图,例5-4 设系统具有下列开环传递函数,试确定以下两种情况下，系统的稳定性：增益K较小增益K较大,小K值时是稳定的,大K值时是不稳定的,例5-5 设开环传递函数为,该系统的闭环稳定性取决于,和,相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性,的轨迹不包围,系统是稳定的,的

7、轨迹通过,点，这表明闭环极点位于轴上,的轨迹顺时针方向包围,点两次，因此系统有两个闭环极点位于右半s平面，系统是不稳定的,始,开,例5-6 设一个闭环系统具有下列,试确定该闭环系统的稳定性,开环传递函数,极坐标图,图5-44,解,在右半s平面内有一个极点,图5-44中的奈奎斯特图表明,轨迹顺时针方向包围-1+0点一次,这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，因此系统是不稳定的,1,2,3,极坐标图,图5-44,例5-7 设一个闭环系统具有下列开环传递函数试确定该闭环系统的稳定性,图5-45,极坐标图,解,渐近线,渐近线,渐近线,图5-45,极坐标图,在右半s平面内有一个极点,因此开环系统是不稳定

8、的,轨迹逆时针方向包围-1+j0一次,说明,没有零点位于右半s平面内，闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子,图5-45表明,1,2,3,继续例5-7,例5-8,一单位反馈控制系统的开环传递函数为,式中,均为正值。为使系统稳定，开环增益,与时间常数,之间满足什么关系,解,频率特性,令虚部为零即可,与负实轴相交于,展开,与负实轴的交点,5.7.1相位裕度和增益裕度,图5-46,的极坐标图,对于大的K值，系统是不稳定的。当增益减小到一定值时,的轨迹通过-1+j0点,对于小的K值，系统是稳定的,的轨迹对-1+j0点,点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量(对条件稳定

9、系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示,5.7相对稳定性,相位裕度、相角裕度(Phase Margin,设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为,定义相角裕度为,相角裕度的含义是,度，则系统将变为临界稳定,对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后,当,时，相位裕量为正值,为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。在极坐标图上的临界点为0分贝和,时，相位裕度为负值,当,Positive Gain Margin,Positive Phase Margin,Negative Gain Margin,Negative Phase Margin,Stable

10、 System,Unstable System,0,dB,0,dB,增益裕度、幅值裕度(Gain Margin,设系统的相位穿越频率(Phase cross-over frequency,定义幅值裕度为,幅值裕度,对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大,倍，则系统将变为临界稳定状态,的含义是,若以分贝表示，则有,当增益裕度以分贝表示时，如果,增益裕度为正值,则,正增益裕度(以分贝表示)表示系统是稳定的；负增益裕度(以分贝表示)表示系统是不稳定的,如果,增益裕度为负值,Positive Gain Margin,Positive Phase Margin,Negative Gain Marg

11、in,Negative Phase Margin,Stable System,Unstable System,0,dB,0,dB,Positive Gain Margin,Positive Phase Margin,1,1,Negative Gain Margin,Negative Phase Margin,1,1,Stable System,Unstable System,判断系统稳定的又一方法,一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小

12、的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的,对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应当减少多少,一阶或二阶系统的增益裕度为多少,只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量,增益裕度应当大于6分贝,5.7.2关于相位裕度和增益裕度的几点说明,控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0点 靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则,对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时

13、，系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响，并且指明了频率值,为了得到满意的性能，相位裕度应当在,之间,例5-9 一单位反馈系统的开环传递函数为,K=1时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益K的调整，使系统的增益裕度20logh=20dB，相位裕度,解,即,相位穿越频率,增益裕度,在,处的开环对数幅值为,根据K=1时的开环传递函数,相位裕度,增益穿越频率,截止频率,由题意知,验证是否满足相位裕度的要求。 根据,的要求，则得,不难看出,就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求,例5-11 设一单位反馈系统对数幅频特性如图5-50所示(最小相位

14、系统)。写出系统的开环传递函数判别系统的稳定性如果系统是稳定的，则求,时的稳态误差,解：由图得,看对数幅频特性,20dB/dec,20dB/dec,40dB/dec,40dB/dec,0.01,0.1,1,5,rad/s,dB,由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度,是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知,在,处,则得,单位斜坡输入时，系统的稳态误差为,0 系统稳定,5.7.3 标准二阶系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系,在图3-8所示的标准二阶系统中，单位阶跃响应中的最大超调量可以精确地与频率响应中的谐振峰值联系在一起。因此，从本质上看，在频率响应中包含的系统动态特性信息与在瞬态响应

15、中包含的系统的动态特性信息是相同的,书上例5-13p203,设截止频率,则有,根据相位裕度的定义,上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关,图5-51标准二阶系统的相位裕度与阻尼比之间的关系,相位裕度与阻尼比直接相关。图5-51表示了相位裕度与阻尼比的函数关系。对于标准二阶系统，当时，相位裕度与阻尼比之间的关系近似地用直线表示如下,因此，相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对主导极点的高阶系统，当根据频率响应估计瞬态响应中的相对稳定性（即阻尼比）时，根据经验，可以应用这个公式,对于小的阻尼比，谐振频率与阻尼自然频率的值几乎是相同的。因此，对于小的阻尼比，谐振频率的值表征了系统瞬态响应的速度,的值越小,和,

16、的值越大,和,与,之间的函数关系如图5-52所示。可以看出，当,时,和,之间存在相近的关系。对于很小的,值,将变得很大，而,却不会超过1,5.7.4截止频率与带宽(Cutoff frequency and bandwidth,图5-53 截止频率与系统带宽,参看图5-53，当闭环频率响应的幅值下降到零频率值以下3分贝时，对应的频率称为截止频率,对于的,系统,闭环系统滤掉频率大于截止频率的信号分量，但是可以使频率低于截止频率的信号分量通过。 闭环系统的幅值不低于-3分贝时，对应的频率范围称为系统的带宽。带宽表示了这样一个频率，从此频率开始，增益将从其低频时的幅值开始下降,因此，带宽表示了系统跟踪

17、正弦输入信号的能力。对于给定的,上升时间随着阻尼比,的增加而增大。另一方面，带宽随着,的增加而减小。因此，上升时间与带宽之间成反比关系,带宽指标取决于下列因素： 1、对输入信号的再现能力。大的带宽相应于小的上升时间，即相应于快速特性。粗略地说，带宽与响应速度成反比。 2、对高频噪声必要的滤波特性。 为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号，系统必须具有大的带宽。但是，从噪声的观点来看，带宽不应当太大。因此，对带宽的要求是矛盾的，好的设计通常需要折衷考虑。具有大带宽的系统需要高性能的元件，因此，元件的成本通常随着带宽的增加而增大,一阶系统的带宽为其时间常数的倒数。 二阶系统，闭环传递函数为,因为,由带宽的定义得,于是,第六章 控制系统的校正 在前面几章中。讨论了控制系统几种基本方法。掌握了这些基本方