现代数值分析复习题

1、.复习题（一）一、填空题：1、求方程的根，要求结果至少具有6位有效数字。已知，则两个根为 ， .（要有计算过程和结果）2、，则A的LU分解为 。3、，则 ， .4、已知，则用抛物线（辛卜生）公式计算求得，用三点式求得 .5、，则过这三点的二次插值多项式中的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 . 二、单项选择题：1、 Jacobi迭代法解方程组的必要条件是（ ）. AA的各阶顺序主子式不为零 B. C. D. 2、设，均差=( ) . A.3 B. -3 C. 5 D.0 3、设，则为( ). A. 2 B. 5 C. 7 D. 34、三点的高斯求积公式的代数精度为( ). A. 2 B.5 C.

2、3 D. 45、幂法的收敛速度与特征值的分布（ ）。 A. 有关 B. 不一定 C. 无关三、计算题：1、 用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代四次(要求按五位有效数字计算).2、 求A、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求(保留四位小数)。3、 已知13452654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保留四位小数）.4、取步长，用预估-校正法解常微分方程初值问题 5、已知-2-101242135求的二次拟合曲线，并求的近似值。 6、证明方程=0在区间（0,1）内只有一个根，并用迭代法（要求收敛）求根的近似值，五位小数稳定。复习题（一）参考

3、答案一、 1、， 2、 3、，8 4、2.367 0.25 5、-1， 二、三、1、迭代格式 k000012.75003.8125 2.537520.20938 3.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、是精确成立，即 得求积公式为当时，公式显然精确成立；当时，左=，右=。所以代数精度为3。 2、 差商表为一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-10 4、解： 即 n01234500.20.40.60.81.011.825.879610.713719.422435.0279 5、解：0-244-816-8161-12

4、1-11-22201000003131113342548161020正规方程组为 复习题（二）一、填空题：1、近似值关于真值有( )位有效数字；2、的相对误差为的相对误差的( )倍；3、设可微,求方程的牛顿迭代格式是( )；4、对,差商( ),( )；5、计算方法主要研究( )误差和( )误差；6、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为( )；7、求解一阶常微分方程初值问题= f (x,y)，y(x0)=y0的改进的欧拉公式为( )；8、已知f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为( )；9、 两点式高斯型求积公

5、式( )，代数精度为( )；10、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为( )。二、单项选择题： 1、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中，A须满足的条件是( )。A. 对称阵 B. 正定矩阵 C. 任意阵 D. 各阶顺序主子式均不为零 2、舍入误差是( )产生的误差。A. 只取有限位数 B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C. 观察与测量 D.数学模型准确值与实际值 3、3.141580是的有( )位有效数字的近似值。 A. 6 B. 5 C. 4 D. 7 4、幂法是用来求矩阵( )特征值及特征向量的迭代法。A. 按模最大 B. 按模最小 C. 所有的 D. 任意一个 5

6、、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( )误差。A. 模型 B. 观测 C. 截断 D. 舍入 6、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( )。A.控制舍入误差 B. 减小方法误差C.防止计算时溢出 D. 简化计算 7、解线性方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收敛的充要条件是( )。A. B. C. D. 三、计算题：1、为了使的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？ 2、已知区间0.4，0.8的函数表0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求的近似值，如何选择节点才

7、能使误差最小？并求该近似值。3、构造求解方程的根的迭代格式，讨论其收敛性，并将根求出来，。 4利用矩阵的LU分解法解方程组 。 5对方程组 （1） 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；（2） 取初值，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求。 6用复合梯形求积公式计算，则至少应将0,1分为多少等份才能保证所得积分的近似值有5位有效数字?复习题（二）参考答案一、1、2； 2、倍； 3、；4、； 5、截断，舍入；6、； 7、； 8、 0.15； 9、；10、A的各阶顺序主子式均不为零。二、1、B 2、A 3、B 4、A、 5、C 6、A 7、D三、1、解：设有n位有效数字，由，知 令 ,

8、取 , 故 1、 解： 应选三个节点，使误差 尽量小，即应使尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点最好，实际计算结果， 且 3、解：令 .且，故在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为 则当时，故迭代格式 收敛。取，计算结果列表如下：n01230.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n45670.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008且满足 .所以.4、解： 令得，得.5、解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取,经7步迭代可得：.

9、 6、解：当0x1时，ex，则 ，且有一位整数. 要求近似值有5位有效数字，只须误差 .由 ，只要 即可，解得 所以 ，因此至少需将 0,1 68等份。复习题（三）一、填空题： 1、为了使计算 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 ，为了减少舍入误差，应将表达式改写为 。 2、用二分法求方程在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为 ,进行两步后根的所在区间为 . 3、设,则,. 4、计算积分,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 ，辛卜生公式的代数精度为 。 5、求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为 ，该迭代格式的迭代矩阵的

10、谱半径= 。二、计算题： 1、已知下列实验数据xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据. 2、用列主元素消元法求解方程组 . 3、取节点,求函数在区间0,1上的二次插值多项式,并估计误差。 4、用幂法求矩阵按模最大的特征值及相应的特征向量，取，精确至7位有效数字。 5、用欧拉方法求在点处的近似值。6、给定方程1) 分析该方程存在几个根；2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；3) 说明所用的迭代格式是收敛的。复习题（三）参考答案一、 1，； 20.5,1， 0.5,0.75； 3，； 40.4268，0.4309，

11、1，3； 5，收敛的；二、 1、解：列表如下01.3616.8441.849622.9078411.9517.3783.802533.887122.1618.4354.665639.81965.4752.65710.317796.61454设所求一次拟合多项式为，则解得 ，因而所求的一次拟合多项式为. 2、解： 回代得 。 3、解： 又 故截断误差 。 4、解：幂法公式为 ，取x0=(1,1)T，列表如下：kyTmkxT1(102，33.9)102(1,0.332353)2(99.997059,33.2991174)99.997059(1,0.3330009675)3(99.9990029,3

12、3.29970087)99.9990029(1,0.333000329)4(99.99900098,33.29970029)99.99900098(1,0.333000330)因为，所以 5、解：等价于 ()记,取,.则由欧拉公式, 可得 ,6、解：1）将方程 （1）改写为 （2） 作函数，的图形（略）知（2）有唯一根。2) 将方程（2）改写为 构造迭代格式 计算结果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463) ，当时，且所以迭代格式 对任意均收敛。复习题（四）一、填空题：

13、1、设,则 ，的二次牛顿插值多项式为 。 2、分别作为p的近似值有 , , 位有效数字。 3、求积公式的代数精度以( )求积公式为最高，具有( )次代数精度。； 4、解线性方程组的主元素消元法中，选择主元的目的是( )；5、已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用抛物线求积公式求( )。6、设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求( )。一、 单项选择题： 1、用1+近似表示所产生的误差是( )误差。 A. 舍入 B. 观测 C. 模型 D. 截断 2、-324.7500是舍入得到的近似值，它有( )位有效数字。 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3、

14、反幂法是用来求矩阵( )特征值及相应特征向量的一种向量迭代法。 A. 按模最大 B. 按模最小 C. 全部 D. 任意一个 4、( )是解方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收敛的一个充分条件； A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 5、用s*=gt2表示自由落体运动距离与时间的关系式 ( g为重力加速度 )， st是在时间t内的实际距离，则st- s*是（ ）误差。 A. 舍入 B. 观测 C. 模型 D. 截断 6、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为( )； A. 0.5 B. 0.5 C. 2 D. -2 7、三点的高斯型

15、求积公式的代数精度为( )。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 28、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中，A须满足的条件是( )。A. 对称阵 B. 各阶顺序主子式均大于零 C. 任意阵 D. 各阶顺序主子式均不为零三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）1、 已知观察值,用最小二乘法求n次拟合多项式时，的次数n可以任意取。 ( )2、 用1-近似表示cosx产生舍入误差。 ( )3、 表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( ) 4、任给实数及向量，则。 ( ) 5、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 ( ) 6、-23.1250

16、有六位有效数字，误差限 。 ( ) 7、矩阵A=具有严格对角占优。 ( ) 8、数据拟合的步骤是： 1）作散点图；2）解正规方程组；3）确定函数类型 ( ) 9、 LLT分解可用于求系数矩阵为实对称的线性方程组。 ( ) 10、幂法的收敛速度与特征值的分布无关。 ( )四、计算题：（每小题7分，共42分）2、 用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。2、已知 A=，求，。4、 已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式及f (1.5)的近似值，取五位小数。 4、n=3,用复合梯形公式求的近似值（取四位小数）,并求误差估计。 5、用

17、幂法求矩阵A=按模最大特征值及相应特征向量，列表计算三次，取x0=(1，1，1)T，保留两位小数。 6、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 =， 取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。 7、用预估校正法求解(0x1)，h=0.2，取两位小数。复习题（四）参考答案一、1、，； 2、 4 ,3 ,3； 3、高斯型，； 4、减少舍入误差； 5、12； 6、二、1D， 2C， 3B， 4A， 5C， 6A， 7C， 8B三、1、，2、，3、 4、，5、，6、，7、，8、，9、，10、四、1、解：是的正根，牛顿迭代公式为， 即 取x0=1.7, 列表如下：1231.732

18、351.732051.732052、 解：，得 ，所以 。5、 解：6、 解：，时，至少有两位有效数字。5、幂法公式为 ，取x0=(1,1,1)T，列表如下：kyTmkxT1(4， 0， 1)4.00(1, 0, 0.25)2(4， -1.25， 0.5)4.00(1,-0.31,0.13)3(4, -1.75, 0.57)4.00(1,-0.44,0.14),6、 解：Gauss-Seidel迭代格式为：系数矩阵严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.35

19、9-2.5267、解：预估校正公式为 其中，h=0.2，代入上式得：123450.20.40.60.81.01.241.582.042.643.42自测题一、填空题（15分）：1、-43.578是舍入得到的近似值，它有 ( ) 位有效数字，相对误差限为( )。2、二分法求非线性方程在区间(1,3)内的根时，二分9次后的误差限为( )。3、f(1)1，f(3)3.6，f(4)5.2，则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为( )，插值基函数l1(x)=( )，二次插值多项式P2(x)=( )。7、 已知f (1)1，f (3)2，f (5)4，用复合梯形求积公式求得( )。5、 (xi,yi) i=1,2, ,15的线性拟合曲线的正规方程组为( )。6、 幂法的迭代公式为( )