冲激响应和阶跃响应

1、二、系统解法：零输入响应和零状态响应,一、经典解法：微分方程的求解,复习,零输入响应：为齐次解，初始条件不跃变，即,零状态响应：令初始状态为零，即,零状态响应 = 齐次解+特解,由系数匹配法定,2 冲激响应和阶跃响应,一、冲激响应的概念及求解,主要内容,二、阶跃响应的概念及求解,重点,冲激响应和阶跃响应的求解,学习 冲激响应和阶跃响应的原因,冲激函数和阶跃函数代表了两种典型信号， 求它们引起的零状态响应是线性系统分析中 常见的典型问题,2. 信号分解为许多冲激信号的基本单元之和或 阶跃信号之和，当要计算某种激励信号对于 系统产生的零状态响应时，可先分别计算冲 激信号或阶跃信号引起的零状态响应，

2、然后 叠加即得所需之结果,卷积法的原理,冲激响应和阶跃响应,2.2.1 冲激响应 一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激信号(t)所引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号(t)时，系统的零状态响应。其示意图如下图所示,冲激响应示意图,一、冲激响应,1.定义：当激励f(t)=(t)时lti系统的零状态响应,激励f(t)=(t,系统的零状态响应,2.求解,将冲激信号的作用转换为系统的初始条件， 然后求冲激响应,思路,冲激响应用h(t)表示,1）写出系统微分方程,2）写出微分方程的齐次解,3）在微分方程中利用 (t)匹配的方法定初

3、始条件，即：h(0,4）将初始条件代入，确定待定系数，得到 冲激响应,步骤,1.冲激平衡法 冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲激响应h(t)。 例:已知某线性时不变系统的动态方程式为,试求系统的冲激响应h(t,解:根据系统冲激响应h(t)的定义，当f(t)=(t)时，即为h(t)，即原动态方程式为 由于动态方程式右侧存在冲激信号(t)，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧也必须含有(t)。这样冲激响应h(t)必为aetu(t)的形式。考虑到该动态方程的特征方程为,解得a=2，因此，系统的冲激响应为,特

4、征根1=-3，因此可设 ，式中a为待定系数，将h(t)代入原方程式有,2.等效初始条件法 系统冲激响应h(t)的求解还有另一种方法，称为等效初始条件法。冲激响应h(t)是系统在零状态条件下，受单位冲激信号(t)激励所产生的响应，它属于零状态响应。 例:已知某线性非时变(lti)系统的动态方程式为 y(t)+3y(t)=2f(t)，t0 试求系统的冲激响应h(t)。 解:冲激响应h(t)满足动态方程式 h(t)+3h(t)=2(t)，t0,由于动态方程式右边最高次为(t)，故方程左边的最高次h(t)中必含有(t)，故设 因而有 将h(t)与h(t)分别代入原动态方程有 解得 a=2，b=-6,3

5、.其它方法 系统的冲激响应h(t)反映的是系统的特性，只与系统的内部结构和元件参数有关，而与系统的外部激励无关。但系统的冲激响应h(t)可以由冲激信号(t)作用于系统而求得。在以上两种求解系统冲激响应h(t)的过程中，都是已知系统的动态方程,例2.2-1 求二阶lti系统的冲激响应,分析：根据冲激响应的概念，该题目隐含了以下条件,解,例2.2-2 求二阶lti系统的冲激响应,解：利用系统的线性和微分性质求解,设,则,3.冲激响应的一般形式,左边为n阶，右边为m阶的微分方程,当n m时,当n =m时,h(t)具有自由响应（齐次解）的形式,h(t)有自然响应的形式并含有冲激 (t,2.2.2 阶跃

6、响应 一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数u(t)时，系统的零状态响应，如图2.17所示,阶跃响应示意图,二、阶跃响应,1.定义：当激励f(t)=(t)时lti系统的零状态响应,激励f(t)=(t,系统的零状态响应,阶跃响应用g(t)表示,2.阶跃响应和冲激响应的关系,对于同一个lti系统,3. 阶跃响应的求法： 1）经典法； 2）从冲激响应求阶跃响应,如果描述系统的微分方程式是 y(n)(t)+an-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t) ， 将 代入，可求得其特解 上的特征根i(i=1，2，n)均为单根，则系统的阶跃响应的一般形式(nm)为,信号的时域分解,一、信号分解为冲激信号的叠加,在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问题简单化，且可以使信号与