高二数学2-2变化率与导数导学案

1、1.1 变化率与导数学案学习目标：1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.教学难点：平均变化率的概念.二、新课学习（阅读课本1-4页）(一)问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?hto 分析： (1)当从增加到时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 (2)当从增加到时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 可以看出： 思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率

2、是多少? 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算: 和的平均速度探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ (二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数从到的平均变化率.2.若设, (这里看作是对于的一个“增量”可用代替,同样)则平均变化率为思考: 观察函数的图象平均变化率表示什么?三、典例分析例1 已知函数的图象上的一点及临近一点则 .

3、解: . 例2求y2x21在x0到x0x之间的平均变化率变式题 ：已知函数f(x)x22x，求f(x)从a到b的平均变化率(1)a1，b2；(2)a3，b3.1；(3)a2，b1.5.例3求函数yx3在x0到x0x之间的平均变化率，并计算当x01，x时平均变化率的值变式题 ：过曲线f(x)x3上两点P(1,1)和Q(1x,1y)作曲线的割线，求出当x0.1时割线的斜率四 。平均变化率的应用例4试比较正弦函数ysinx在x0和x附近的平均变化率哪一个大？五、课堂反馈及作业一、选择题1在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量x()A大于零B小于零C等于零 D不等于零2设函数yf(x)，当自变量

4、x由x0变化到x0x时，函数的改变量y为()Af(x0x) Bf(x0)xCf(x0)x Df(x0x)f(x0)3已知函数f(x)x2x，则f(x)从1到0.9的平均变化率为()A3 B0.29C2.09 D2.94已知函数f(x)x24上两点A，B，xA1，xB1.3，则直线AB的斜率为()A2 B2.3C2.09 D2.15已知函数f(x)x22x，函数f(x)从2到2x的平均变化率为()A2x B2xC2x D(x)22x6已知函数yx21的图象上一点(1,2)及邻近一点(1x,2y)，则等于()A2 B2xC2x D2(x)27质点运动规律S(t)t23，则从3到3.3内，质点运动的

5、平均速度为()A6.3 B36.3C3.3 D9.38在x1附近，取x0.3，在四个函数yx、yx2、yx3、y中，平均变化率最大的是()ABCD9物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数ss(t)，则物体在时间间隔t0，t0t内的平均速度是()Av0 B.C. D.10已知曲线yx2和这条曲线上的一点P，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为()A. B.C. D.二、填空题11已知函数yx32，当x2时，_.12在x2附近，x时，函数y的平均变化率为_13函数y在x1附近，当x时的平均变化率为_14已知曲线yx21上两点A(2,3)，B(2x,3y)，当x1时，割线AB的斜率是

6、_；当x0.1时，割线AB的斜率是_三、解答题15已知函数f(x)2x1，g(x)2x，分别计算在区间3，1，0,5上函数f(x)及g(x)的平均变化率16过曲线f(x)的图象上两点A(1,2)，B(1x,2y)作曲线的割线AB，求出当x时割线的斜率17求函数yx2在x1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？18路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率1.1.2 导数的概念学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化

7、率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.教学难点：导数的概念.学习过程：（阅读课本4-6页） hto (一)平均变化率：(二)探究探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 二、学习新知1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,时的瞬时速度是多少？考察附近的情况:思考:

8、当趋近于时,平均速度有什么样的变化趋势？结论: 小结: 2.导数的概念从函数在处的瞬时变化率是:我们称它为函数在出的导数,记作或即说明: (1)导数即为函数在处的瞬时变化率; (2),当时,所以.三、典例分析例1 用定义求函数在某点处的导数(1)求函数在处的导数.(2)求函数在附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析: 先求,再求,最后求.解: (1) (2) 一用定义求函数在某点处的导数的步骤： (1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)x趋近于0时，若趋近于一个常数，则这个常数就是函数在该点处的导数例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进

9、行冷却和加热,如果第时,原油的温度(单位:)为,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解: 注: 一般地,反映了原油温度在时刻附近的变化情况.、二定义的应用例3若函数f(x)在xa处的导数为A，求：(1)li ；(2)li .四、课堂练习1.质点运动规律为,求质点在的瞬时速度为.2.求曲线在时的导数.3.例2中,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、课堂反馈及课后作业一、选择题1函数在某一点的导数是()A在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B一个函数 C一个常数，不是变数D函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率2如果质点A按照规律s3t2运动，则在t

10、03时的瞬时速度为()A6B18C54D813yx2在x1处的导数为()A2xB2 C2x D14一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)4t23(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t5时的瞬时速度为()A37B38C39D405已知函数yf(x)，那么下列说法错误的是()Ayf(x0x)f(x0)叫做函数值的增量B.叫做函数在x0到x0x之间的平均变化率Cf(x)在x0处的导数记为yDf(x)在x0处的导数记为f(x0)6函数f(x)在xx0处的导数可表示为y|xx0，即()Af(x0)f(x0x)f(x0) Bf(x0)lif(x0x)f(x0)Cf(x0) Df(x0

11、)li 7函数yax2bxc(a0，a，b，c为常数)在x2时的瞬时变化率等于()A4a B2ab Cb D4ab8如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()A圆 B抛物线 C椭圆 D直线9一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s3tt2，则物体的初速度为()A0 B3 C2 D32t10设f(x)，则li 等于()A B. C D.二、填空题11已知函数yf(x)在xx0处的导数为11，则li_；li _.12函数yx在x1处的导数是_13已知函数f(x)ax4，若f(2)2，则a等于_14已知f(x0)li ，f(3)2，f(3)2，则li 的值是_三、解答题15设f(x

12、)x2，求f(x0)，f(1)，f(2)16枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6103s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度17在曲线yf(x)x23的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1x,4y)，求(1)(2)f(1)18函数f(x)|x|(1x)在点x00处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由1.1.3 导数的几何意义学习目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.教

13、学难点：导数的几何意义.学习过程：阅读课本6-9页(一) 平均变化率、割线的斜率设函数yf(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0)与点B(x0x，f(x0x)的一条割线，此割线的斜率是=-(二)瞬时速度、导数我们知道,导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢？二、学习新知(一)曲线的切线及切线的斜率如图,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么？我们发现:问题: (1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？ (2)切线的斜率为多少？说明: (1)设切线的倾斜角为,那么当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.这个概念: 提供了求曲线上某点切

14、线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数在处的导数.(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.(二)导数的几何意义函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,即说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出点的坐标;求出函数在点处的变化率得到曲线在点的切线的斜率;利用点斜式求切线方程.(三)导函数由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.记作:或,

15、即.注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.(四)函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的,就是函数的导函数.(3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是求函数在点处的导数的方法之一.三、典例分析例1 (1)求曲线在点处的切线方程.(2)求函数在点处的导数.解: 例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,根据图像,请描述、比较曲线在、附近的变化情况.解: 四、课堂练习1.求曲线在点处的切线.2.求曲线在点处的切线.五

16、、课堂反馈及课后作业一、选择题1如果曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为x2y30，那么()Af(x0)0Bf(x0)0 Cf(x0)0 Df(x0)不存在2曲线yx22在点处切线的倾斜角为()A1 B. C. D3在曲线yx2上切线的倾斜角为的点是()A(0,0) B(2,4) C. D.4曲线yx33x21在点(1，1)处的切线方程为()Ay3x4 By3x2 Cy4x3 Dy4x55设f(x)为可导函数，且满足 1，则过曲线yf(x)上点(1，f(1)处的切线斜率为()A2B1 C1D26设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线()A不存在 B与x轴平

17、行或重合 C与x轴垂直 D与x轴斜交7已知曲线yf(x)在x5处的切线方程是yx8，则f(5)及f(5)分别为()A3,3 B3，1 C1,3 D1，18曲线f(x)x3x2在P点处的切线平行于直线y4x1，则P点的坐标为()A(1,0)或(1，4) B(0,1) C(1,0) D(1,4)9设点P是曲线yx3x上的任意一点，P点处的切线倾斜角为，则的取值范围为()A. B. C. D.10(2010福州高二期末)设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0，则点P横坐标的取值范围为()A1， B1,0 C0,1 D，1二、填空题11已知函数f(x)x23，则f(x)在(2，f(2)处的切线方程为_12若函数f(x)x，则它与x轴交点处的切线的方程为_13曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直