高考冲刺重点突破1-三角形的四心的应用

1、三角形的四心的应用：内容类型重心外心内心垂心几何定义三边中线交点三边中垂线交点三内角平分线交点三边高线交点几何性质重心到顶点与到对边中点距离之比为2：1到三顶点距离相等到三边距离相等垂心分每条高线的两部分乘积相等重心与三顶点组成三角形面积相等钝三角外心在三角形外直三角外心在斜边中点锐三角外心在三角形内双曲线焦点三角形的内切圆与轴相应双曲线的相应顶点重心到三边距离与三边长成反比重心到三顶点的距离的平方和最小向量表示=例1、已知P是所在平面内任意一点，且，则G 是的 （ ） A内心 B. 外心 C.重心 D.垂心例2、已知是平面内的一个点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足：，则点P的轨迹

2、一定过的 （ ）A内心 B.外心 C.重心 D. 垂心例3、已知的三边长分别为，是平面内一点，若，则是的 （ ） A内心 B.外心 C.重心 D. 垂心例4、的外接圆的圆心为，两边边上的高的交点为H ，若，则实数 . 例5、已知点是的重心，那么_；若，则的最小值是_. 例6、已知中，过重心的直线交边于，交边于，设的面积为，的面积为，则的取值范围是 例7、已知的外接圆是单位圆，且，则_ 例8、若ABC的外接圆的圆心为O，半径为4，220，则在方向上的投影为 ( )A4 B. C. D1例9、已知ABC的顶点，设ABC的重心与内心分别为，且，则顶点的轨迹方程为_例10、已知，为ABC的内心，则的值

3、为 例11、若ABC的外接圆的圆心为O，半径为4，220，则在方向上的投影为 ( )A4 B. C. D1例12、已知的重心为，过任做一直线分别交边，于，两点，设，则的最小值是 例13、已知为的外心，,若，则的最小值为_例14、在中，分别为的重心和外心，且，则的形状为 ( )A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 上述三种情况都有可能例15、在ABC中，则的最大值为_例16、已知点G是ABC的重心，A120，2，则|的最小值是 ( )A. B. C. D.例17、在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光

4、线QR经过ABC的重心，则AP等于 ( )A. 2 B. 1 C. D. 例18、已知点A(1,0)与点B(1,0)，C是圆x2y21上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程 例19、椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1点，若ABF2的内切圆的周长为，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1y2|的值为 ( )A. B. C. D.例20、抛物线y22px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)若点F恰为ABC的重心，则直线BC的方程为 ( )Axy0 Bxy0 C2xy10 D2xy10三角形的四心

5、的应用：内容类型重心外心内心垂心几何定义三边中线交点三边中垂线交点三内角平分线交点三边高线交点几何性质重心到顶点与到对边中点距离之比为2：1到三顶点距离相等到三边距离相等垂心分每条高线的两部分乘积相等重心与三顶点组成三角形面积相等钝三角外心在三角形外直三角外心在斜边中点锐三角外心在三角形内双曲线焦点三角形的内切圆与轴相应双曲线的相应顶点重心到三边距离与三边长成反比重心到三顶点的距离的平方和最小向量表示=例1、已知P是所在平面内任意一点，且，则G 是的 （ C ） A内心 B. 外心 C.重心 D.垂心例2、已知是平面内的一个点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足：，则点P的轨迹一定过的

6、 （ A ）A内心 B.外心 C.重心 D. 垂心例3、已知的三边长分别为，是平面内一点，若，则是的 （ A ） A内心 B.外心 C.重心 D. 垂心例4、的外接圆的圆心为，两边边上的高的交点为H ，若，则实数 . 1例5、已知点是的重心，那么_；若，则的最小值是_. 例6、已知中，过重心的直线交边于，交边于，设的面积为，的面积为，则的取值范围是 .例7、已知的外接圆是单位圆，且，则_ 分析：，例8、若ABC的外接圆的圆心为O，半径为4，220，则在方向上的投影为 (C)A4 B. C. D1分析：设中点为，若ABC的外接圆的圆心为O，则例9、已知ABC的顶点，设ABC的重心与内心分别为，且

7、，则顶点的轨迹方程为_分析： 例10、已知，为ABC的内心，则的值为 例11、若ABC的外接圆的圆心为O，半径为4，220，则在方向上的投影为 (C)A4 B. C. D1分析：设中点为，若ABC的外接圆的圆心为O，则例12、已知的重心为，过任做一直线分别交边，于，两点，设，则的最小值是 例13、已知为的外心，,若，则的最小值为_ 分析1：坐标法分析2：基底法 ，平方，判别式法例14、在中，分别为的重心和外心，且，则的形状为 ( B )A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 上述三种情况都有可能分析1、坐标法分析2、基底法（为中点），由于例15、在ABC中，则的最大值为_分析：，例

8、16、已知点G是ABC的重心，A120，2，则|的最小值是 (C)A. B. C. D.例17、在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过ABC的重心，则AP等于 (D )A. 2 B. 1 C. D. 例18、已知点A(1,0)与点B(1,0)，C是圆x2y21上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程 分析1、利用重心进行相关点代入法得(x)2y2(y0)分析2、过P作BC的平分线，必得AB的三等分点，必有P在以AM为直径的圆上.例19、椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1点，若ABF2的内切圆的周长为，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1y2|的值为 (D)A. B. C. D.例20、抛物线y22px的焦点为F，点A、B、C在此