中南大学复变函数考试试卷A及答案

1、中南大学考试试卷(A)2008-2009学年第二学期 分钟110时间 复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 总分100分，占总评成绩70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 分）分，每小题3一、单项选择题（15 。） 下列方程中，表示直线的是（ 1?z?(5?4i?4i)z?zAz5 ?4i)?z?B15?4i5z?( ? ?i?z?C?z1i?21ze?2zRD?z222f(z)?(x?y?x)?i(2xy?y)在（ 2 函数）处可导。 ?处处不可导Dy?B2x?2CA全平面 3 下列命题中，不正确的是（ ）。 ?z?f的可去奇点,那么,R

2、?0Ae如果无穷远点?是fsz?在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数内解析则,zfD在z.B若fDz0 ?.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数Czie? m将带形域z()?映射为单位圆0?1.?DI函数? zie? 4 下列级数绝对收敛的是（ ）。 页 6 共 页 1 第 试题nn?ii1i?n?AB1?iCD ? 22nnn2?1n?n?1nn?11? ?1z?limzf?zfReszf0?z?1,0 。 那么（ 设在内解析且），50z? ?1C1?A22ii?BD 分） 3二、填空题（15分，每空?i1Ln?。 的主值为 1 ?zRe+zImzf(z)= 处可导。仅在点z= 2函数 ?z?

3、sinzz?edz 。 3 1z?z1ln?0z?。 在 处的泰勒展开式 4 函数 n?1z? 。 的收敛半径为 5幂级数 n 1n?22i?1?,?xyf(i)?u?x?yivu)=+f(z。，分)求解析函数已知(10三 求下列积分的值(20分)四ze?dz 12?21zz? 4?z xsinx?0adx? 2 2ax?0?zz解析，试分析在下列情形：(15 五分)若函数在点0?zzf的m阶零点； 1为函数0?zzf m为函数阶极点；的20 页 6 共 页 2 第 试题?zf?,zzRes。求 ? ?0zf?1?z?i?zf为中心的洛朗级数。以（15分）试求 六 2z1?0t?0?1?tu。

4、，试证明其傅氏变换为分）已知单位阶跃函数七（10? ?j0t?1? 中南大学考试试卷(A)答案 2008-2009学年第二学期 时间110分钟 复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 总分100分，占总评成绩70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 3分，每小题分）三、单项选择题（15 A 6 B 7 A 8 C 9 10 C 分，每空3分）四、填空题（15? i?ln2。1 4i? 。2 2?z?3?3。3 1?wReR 半平面。4 2 。05三(10分)解:容易验证u是全平面的调和函数。利用C-R条件，先求出v的两个偏导数。 页 6 共 页

5、 3 第 试题 ?v?u?v?u?2y?x,?2x?y ?x?y?y?x?yx,?dy?yxCdx?则v(x,y)x22y?0,0 xy?Cdy?2?x?xydx?001122?C?xy?2xy? 22四(20分)求下列积分的值 ?i2?e3 12这里m=2，n=1，m-n=1，R(z)在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的 x?izix?ai,(z)ex?2iResRed 22a?x? aiz?ezea?iei?22ilim? 2?iaziaz? xsinx1x1?aix?.?e?Im(因此edx)dx 2222x?a2x?a2?0五(15分) 页 6 共 页 4 第 试题?的一个邻域内

6、解析等价于在zz在点z解:函数00?n?zn?0?zzz?zz?zz000!n?的一个邻域内的mzf(1)z为阶零点等价于在z 00m?zzz?z?f0?的去心领域zz0,z解析,其中?z于是在在点00?zfmzz?zz? ?zzzz?f0?zzzmm?1n?0?z?m?z?z? ?0?zn!z?z?1?n0?zf?zzm,由此可知,Resz? ?00zf? ?zf?zRes2,z?m与上面类似z? ?00zf? 六（15分）2z?e函数距原点最近的奇点?,其距离就是函数在幂级数 cosz2? .z?,展开式的收敛半径,即R=收敛范围为 22 11?2nz422 ?1由e?z?z?z?z? !2!nn?1?11 ?n242 ?zz?z?z?1zcos? ?!2!4!n2 页 6 共 页 5 第 试题可设,及幂级数的除法2z?e?2 ?z?z?c?cz?c? 2102cosz?21z2n?,注意到e项与cosz均为偶函数,其展开式中不含z 0c?可知c?3111?2224n?c?c?zz?z于是1?z? 20!2!n n?1?11 422n?z?z?z?1? ?!2n2!4!?293 ,比较同次系数得c?1,c?,c 4202422z?29e3? 24 ?z?1?z