空间点线面复杂问题求解方法V1.0

1、第3章 空间点线面复杂问题求解方法3.1 直线与平面、平面与平面的相对位置在日常生活中，我们可以观察到的直线与平面、平面与平面的相对位置包括三种，即平行、相交、垂直。垂直是相交的一种特殊形式。本节我们将分别分析一下直线与平面处于这几种位置关系时的复杂问题求解的方法。3.1.1 平行（1）直线与平面平行直线与平面平等的几何条件是：直线平行于平面上任一直线，根据此条件，可以投影图上解决作直线平等于平面，或作平面平行于直线，或判别直线是否平行于平面等作图的问题。如图3.1所示，直线AB平行于平面P上的直线CD，那么直线AB与平面P平行；反之，如果直线AB与平面P平等，则在平面P上必可以找到与直线AB

2、平行的直线CD。图3.1 直线与平面平行的几何条件上述原理是解决直线与平面平行问题的依据。例题3-1 试判断直线AB是否平行于定平面DEC。如图3.2右图的求解过程所示，在DEC平面的主视图投影中，先做属于平面的FG直线的投影fg，使fg/ab。然后按照点的从属性及点的投影规律，做出FG的俯视图的投影fg，如果发现fg与ab不平行，因而，可以判定直线AB与平面DEC不平行。 图3.2 判别直线与平面是否平行若直线平行于具有积聚性投影的平面，那么平面具有积聚性的投影与该直线的同面投影必平行,反之亦然，如图3.3所示。图3.3 判别直线与平面是否平行例3-2 过点A作一般位置平面平行于已知直线MN

3、。 图3.4 过已经点做已经直线的平行平面如图3.4右侧的作图过程所示。 首先，作AB/NM；然后，过点A任作一直线AC，平面BAC/NM。例3-3 过点A作正垂面P平行于已知直线MN。 图3.5 过已经点做已知直线的平行平面如图3.5所示，只要使所作平面PV/mn即可。例3-4 试过点K作水平线AB平行于CDE平面。 图3.6 过已经点做已知平面的平行线如图3.6右图的求解过程，首先分析题目，要求解的问题是需要做出一条水平线，那么应该联想到的是水平线投影的特点，即主视图投影与X轴平行。另外，还要求该水平线平行于CDE平面，因而很容易的一个思路就是在平面CDE内先作出一条属于该平台的水平线EF

4、，然后过K点做这个水平线的平行线AB，AB即为所求。（2）平面与平面平行两平面平行的判定条件：若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行，如图3.7所示。图3.7 两平面平行的判定条件特别注意，对于这两条相交的直线，虽然判定条件中提及的可以是任何平面内的两相交直线，但在求解过程中，经常使用的是平面内的正平线与水平线。例3-4 试判断两平面ABC及DEF是否平行。图3.8 判断两平面的平行性分析：在ABC平面及DEF平面内分别做条相交的直线，但这两条直线可以作得特殊点，一点是正平线一条是水平线，通过这两组线是否相互平行就可以知道两个平面是否平行了。当然，对于此题目

5、来说，我们可以随便两两条相交直线来求解的。作图：在ABC平面内作一条正平线AM，作一条水平线BN；在平面DEF平面内作一条正平线DS，作一条水平线RE；通过观察可知这两组相交的直线是相互平行的关系，因而这两个平面相互平行如图3.9所示。图3.9 判断两平面是否平行的求解例3-5过点K作一平面平行于平面ABC。分析：要作出的平面只需要用两条相交直线进行表达就可以。这两条直线只要是分别平行于已经平面内的两条相交直线就行。作图：作直线KM/AB；作直线KN/AC；KMN平面即为所求，如图3.10所示。 图3.10 过已知点作已知平面的平行平面3.1.2 相交（1）直线与平面相交如图3.11所示，直线

6、与平面相交，其交点是直线与平面的共有点，它即在直线上又在平面上。求交问题的本质是求共有点。图3.11 直线与平面相交为了使问题简化，我们先来研究特殊位置的相交问题。所谓特殊位置的相交问题是指相交的两元素（直线或平面）中至少其一为垂直于投影面的情况。此时该元素的一个投影具有积聚性。利用积聚性，交点或交线投影可直接求出。 l 当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。l 当直线的某个投影具有积聚性，平面为一般位置时，交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上找点的方法在平面的另一个投影上得到。

7、例3-6 如图3.12所示，求直线MN与平面ABC的交点K，并判断可见性。图3.12 一般位置直线与铅锤面相交分析：如图3.13所示，平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为交点K的水平投影。作图：利用直线上取点法求交点K的正面投影。判别可见性。由水平投影可知，MK段在平面ABC的前方，故正面投影上mk可见，画成实线。以交点K为可见性分界点，kn被平面ABC遮住的部分不可见，画成虚线。图3.13 一般位置直线与铅锤面相交的图解例3-7 求铅垂线EF与三角形ABC的交点，并判断可见性。图3.14 铅锤线与一般位置平面相交分析：直线EF为铅垂线，其水平投影积聚为一个点

8、，故交点K的水平投影也积聚在该点上。作图：用面上取点法求交点K。判别可见性。由水平投影可知，KF段边AC的前方，故正面投影上kf可见。以交点K为可见性分界点，ek被三角形ABC遮住的部分不可见。如图3.15所示，也可通过重影点判别可见性。图3.15 铅锤线与一般位置平面相交的图解（2）平面与平面相交空间的两平面若不平行就必定相交。相交两平面的交线是一直线，该交线为两平面的共有线，交线上的每个点都是两平面的共有点。当求作交线时，只要求出两个共有点事一个共有点以及交线的方向即可。其实两一般位置平面求交线是有一点复杂的，但若相交两平面之一为投影面垂直面或投影面平行面时，则可利用该平面有积聚性的特点

9、，很容易求得交线的投影。图3.16 两平面相交例3-8 求平面ABC与铅垂面DEFG的交线。图3.17 一般位置平面与铅垂面相交分析：平面DEFG为铅垂面，其水平投影积聚为直线，该直线与ab、ac的交点m、n即为两个共有点的水平投影，它们的连线即为交线的水平投影。另外，利用交点是共有点，他也同样属于平面ABC的，因而，m与n的求得就变成了平面内取点的问题。作图：如图3.18所示。判别可见性：由俯视图可直观的看出，AMN在平面DEFG之前，对于主视图来说AMN是可见的。其实也可以利用重影点来判别可见性。图3.18 一般位置平面与铅垂面相交的求解3.1.3 垂直（1）直线与平面垂直直线与平面垂直的

10、几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线，如图3.19所示。图3.19 直线与平面垂直的几何条件既然直线与平面垂直，那么直线就垂直于该平面内的所有直线。据此，结合直角投影定理，很自然的就可以推导出定理：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影，如图3.20所示。图3.20 直线与平面垂直的几何特点相反，若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面，如图3.21。图3.21 直线与平面垂直的判别条件例3-8 试过点M作一直线

11、三角形ABC相垂直。分析：要想作出些垂线，那么该垂线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；同时，该垂线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。作图：（1）作水平线CD，使mncd；（2）作正平线AE，使mn ae；（3）N点是在MN直线上随意取的，MN即为所求，如图3.22所示。 图3.22 过已经点作已知平面的垂线例3-9 试过点A作一平面与已知直线MN相垂直。分析：要求解的平面只需要用两条相交直线进行表达就可以了，很自然的就会联想前文提到的定理，这两条线只需要是一条正平线和一条水平线就可以了。作图：作正平线AB，使ab mn；作水平线AC，使；ABC平面即为所求acmn。

12、MN即为所求 图3.23 过已经点作已知直线的垂面（2）平面与平面垂直两平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一给定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。图3.23 两平面垂直的几何条件反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。图3.24 两平面垂直的几何条件例3-10 试过点M作一平面与三角形ABC相垂直。分析：由前面直线与平面垂直的介绍就已经知道，过M点是可以作出一条与ABC相垂直的直线的，那么这条直线随便与哪条过M点的其他直线组合所构成的平面都是本题目的解。作图：作MNABC；作直线MK，平面MNK为所求。 图3.25 过已知点作已经平面

13、的垂面3.2 辅助平面法如果细心品味就会发现，在直线与平面相交的介绍中，只介绍了一般位置直线与特殊平面和特殊直线与一般位置平面的交点问问题；在介绍平面与平面相交时，也只介绍了其中一个面为特殊平面时的交线求解问题。那对于一般位置直线与一般位置平面的交点如何求解？两一般位置平面又如何求交线？此类问题的求解稍有复杂，将介绍辅助平面法来求解这两类问题。辅助平面法的思路在于将困难的一件事情通过一个特殊的辅助平面（正垂面或铅垂面）的引入而转化为可以直接求解的问题。这里我们不再重复可见性的差别问题，利用重影点的方法可以解决。3.2.1 一般位置直线与一般位置平面求交点面临的问题如图2.26所求，求作平面AB

14、C与直线MN的交点。因为平面与直线都是一般位置排放，没有任何的积聚性可利用，因而问题看上去无从下手。因而，需要将问题转移。这时使用辅助平面法。可以包括MN这条线，加一个辅助的特殊平面（正垂面或铅垂面），求出这个特殊平面与已经的一般位置平面的交线，这个交线是已经平面与辅助平面的公用线。之后在辅助平面里，求已知直线与交线的交点，因而交点是已知直线与交线的公有点，那么交点也是已知直线与已知平面的共有点，即要求解的交点。这就是辅助平面法的核心思想。这的技术来源是加上去的特殊平面是很容易就可以被找出来的。（1）以正垂面为辅助平面求线面交点按照上面的解题思想，以正垂面为辅助平面来求线面交点。即，包括已经的

15、MN这条线作一个正垂面Q，那么Q平面与ABC平面相交于EF，之后求出MN与EF的交点K，问题求解完成。 图3.26 以正垂面为辅助平面求线面交点作图步骤：过EF作正垂平面Q（迹线表示法）；求Q平面与ABC的交线EF；求交线EF与EF的交点K（如图3.27所示）。通过图3.27观察可知，画出三条线ee、ff、kk就可以求出交点K的投影。图3.27 以正垂面为辅助平面求线面交点的求解过程（2）以铅垂面为辅助平面求线面交点 除了使用上面的解法外，还可以通过填加另一个特殊辅助平面的方法来解决这个问题。就作一个包括MN直线的铅垂面，这个正垂面也会与ABC平面相关，会产生交线，同样交线也会与MN直线相交，

16、交点即为本问题的答案。作图的过程看上去与上一解法相反（如图3.28所示），先是从俯视图的两个交点处，向上划两条竖线，然后停在相应的边上得到两个点，两个点连线与mn的交点，即为k，从k再向下画竖线，停在mn上即得到k。图3.28 以铅垂面为辅助平面求线面交点的求解过程3.2.2 两一般位置平面求交线除了一般位置直线与一般位置直线求交点的题目外，还有一个比较复杂的问题就是两一般位置平面求交线。其实刚刚的求解搞清楚之后，当前这个问题就变得简单得多了。因为，两一般位置平面相交，交线为直线，我们只需要求出交线上的两点就算是完成任务了。而这两点的求出只需要在一个平面内随意取两个不跟平行的线，分别求这两条线

17、与另一已知平面的交点即可。而求交点的问题在上面已经研究过了，这里只是重复两次而已。作图过程如图3.29所示。3.3 轨迹法和逆推法目前接触的题目多是点线面综合问题，需要一个解题的思路，还要熟练掌握一个基本的作图操作，这里将介绍求解复杂问题时经常用到的解题方法，轨迹法与逆推法。3.3.1 轨迹法所谓的轨迹法是根据已知条件和题目要求进行空间分析，分别作出满足题目各个要求的轨迹，然后求出这些轨迹间的交点或交线等，即得所求答案。其实对于轨迹感觉交不陌生，大家在高中几何是就有过接触。一些比较典型的轨迹也是很常识性的，如常用空间轨迹：（1）关于点：l 与点定距离的点的轨迹圆球面；l 与两点等距离的点的轨迹

18、两点连线的中垂面；l 与不在同一直线上的三点等距离的点的轨迹任意两点连线的中垂面的交线。（2）关于直线l 与直线定距离的点及与直线平行且定距离的直线的轨迹圆柱面；l 与线段两端点的连线成等夹角或与两端点距离相等的点的轨迹线段的中垂面；l 过直线外一点与直线相交的直线的轨迹点与已知直线所决定的平面；l 过直线上一点与直线相交成定夹角的直线的轨迹两个同顶、同轴且对称的圆锥面；l 与平行两直线等距离的点的轨迹两直线间公垂线的中垂面；l 与相交两直线等距离的点的轨迹通过角平分线且垂直角平面的两个互相垂直的平面；l 过点与直线垂直的直线的轨迹过点与已知直线垂直的平面。（3）关于平面l 与平面定距离的点及

19、定距离的直线的轨迹已知平面两侧的两个平行平面；l 与两平行平面等距离的点及等距离的直线的轨迹两平面间公垂线的中垂面；l 过点与平面成定夹角的直线的轨迹两个同顶、同轴且对称的圆锥面；l 与相交两平面等距离的点的轨迹两个互相垂直的交平分面。例3-11 作一直线与两交叉直线AB、CD分别交于K、L点，并垂直于EFG（图中egefOX）。图3.29 作与两直线相交的已经平面的垂线分析：直线KL的轨迹为包含直线CD所作垂直于 EFG 的平面Q，直线KL的轨迹也是过AB垂直于 EFG 的平面S，两轨迹平面Q与S的交线即为KL。实际上AB与平面Q的交点就是点K，过点K在平面Q内作直线垂直于 EFG ，并与直

20、线CD相交，则交点即为点L。另一思路，直线KL的轨迹为包含直线CD所作垂直于EFG的平面Q，K点的轨迹既是平面Q，又是直线AB自身，因此，直线AB与平面Q的交点就是K点，过点K在平面Q内作直线垂直于EFG，并与直线CD相交，则交点即为L点。作图过程如图 3.30所示。注意EFG平面中，EF为正平线，EG为水平线，因而过D点向EFG作垂线就很简单，直接使用直角投影定理。然后些垂线与CD构成了一个平面；再求AB与该平面的交战K，过K做刚才那条垂线的平行线（这条线肯定与EFG平面也垂直），与CD交于L，KL线即为所求。图3.30 作与两直线相交的已经平面的垂线的作图过程例3-12 已知点K到ABC的

21、距离为20mm，求点K的正面投影k。图 3.31 点到平面的距离分析：点K的轨迹是与ABC距离为18mm的平面P，点K即在平面P内，则可利用平面内求点的作图方法求出所缺投影k。作图：如图3.32所示（由于与ABC距离为20mm的平面有位于ABC两侧的两个平行平面，因此本题有两解，另一解未作出）。图 3.32 点到平面的距离的求解常见的有关等距离的轨迹有（如图3.33）：l 与两点等距离的直线其轨迹是平行两点连线的任一直线和通过连线中点的任一直线，如图a。直线EF和CD均与A、B两点等距离；l 与两点等距离的平面其轨迹是平行两点连线的任一平面和通过连线中点的任一平面。如图b中平面P和平面Q均是A

22、、B两点等距离的平面；l 与三点等距离的直线是过三角形任何两边中点，且垂直于三角形的平面内的平行于三角形的任何直线，如图c上KL线和P平面上平行于KL的所有线；与三点等距离的平面是与三角形平行的任何平面以及过三角形任何两边中点连线的任何平面。图3.33 常见的有关等距离的轨迹例3-13 在直线AB上求作一点K与已知两点E、F等距离。图3.34 点到点的距离分析：点K要与E、F两点等距离，其轨迹之一是E、F两点连线的中垂面P，而点K又要求在直线AB上，则另一轨迹即是直线AB自身，因此，上述中作图：面P与直线AB的交点就是所求点K，如图3.35所示。图3.35点到点的距离求解3.3.2逆推法所谓的

23、逆推法是先假设最后解答已经作出， 然后应用有关的几何定理进行空间分析和逻辑推理，找出最后解答和已知条件之间的几何联系，并由此得到解题的方法和步骤。例3-14 过点M作直线MN同时与ABC及EFG平行。图3.36 作直线的平行线分析：（用逆推法）假设要求的直线MN已作出，则根据几何定理直线MN必平行于ABC与EFG的交线KL，因此要求直线MN，只要先求出ABC与EFG的交线KL，然后过M点作直线平行交线KL即可。作图：如图3.37所示。图3.37 作直线的平行线的求解3.4 投影变换法图解问题的难易程度不仅取决于问题本身的复杂程度，而且在很大程度上，还取决于几何元素与投影面的相对位置。 当直线或

24、平面相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与投影面的倾角，当它们处于垂直位置时，其中有一投影具有积聚性。当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影就不具备上述的特性。投影变换就是将直线或平面从一般位置变换为与投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的定位和度量问题。一般点线面与特殊点线面对比如图3.38所示。这里讨论的是变换投影面的方法，帮称其为换面法。图图3.38 一般点线面与特殊点线面对比换面法的核心思想就是保持空间几何元素不动，用新的投影面替换旧的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。在这一部分有四个主要内容要进行介绍：

25、换面法的基本概念及新投影面的选择原则；点的投影变换规律；四个基本的换面问题。（1）换面法的根本概念及新投影面的选择原则换面法空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。如图3.39所示。新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：l 新投影面必须垂直于某一个原有的投影面，以构成一个相互垂直的两投影面新体系，只有这样，正投影原理才能继续有效；l 新投影面对空间几何元素应处于有利于解题的位置，否则换面将失去意义。图3.39 投影变化的方法（2）点的投影变换规律l 点的一次变换点是最基本的几何元素，掌握点的换面规律，是

26、进行其它几何元素换面的基础。如图a所示，已知点A在V/H投影面体系中的投影a、a。若以V1面替换V面，则点A在新的V1H投影面体系中的投影为a、a1。现分析投影a、a及a1，三者之间的关系。由图a可见，新投影面V1垂直于H面，与H面相交于O1x1，O1x1即为新的投影轴。根据正投影原理，在V1/H投影体系中，a与a1的连线必定垂直于投影轴O1X1，投影a1 到O1X1轴的距离即为空间点A到H面的距离，也即等于a到OX轴的距离(a1ax1=aax=Aa)。由此归纳出点在换面法中的变换规律： 点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴； 点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。

27、根据上述的变换规律，点在一次换面法中的作图步骤（如图3.40所示） 选择新的投影面，画出新的投影轴O1X1； 过a作O1X1轴的垂线； 在垂线上截取a1ax1等于aax，即得到点A在V1面上的新投影a1。若更换H面，建立V/H1投影面体系时，点的变换作图与上述步骤类似，如图3.41所示，其中a1a垂直于O1X1轴，a1ax1等于aax，也等于Aa。图3.40 点的一次变换（换V面）图3.41 点的一次变换（换H面）l 点的二次变换有些问题需要经过两次或两次以上的变换才能获得解答，为此现研究点的两次换面作图。两次换面就是在上述第一次换面（由V/H变换为v1/H或V/H1）的基础上继续进行第二次换

28、面。它的原理和作图与第一次换面完全类同。但必须注意投影面要交替进行更换。即以V/HV1/HV1/H2顺序变换，或以V/H-V/H1V2/H1顺序变换。 在投影图中，点的两次换面的作图步骤如图所示，即： 作O1X1轴，以V1面更换V面，进行由V/HV1/H的第一次变换，求得在V1面上的投影a1 (aa1O1X1;a1ax1=aax)； 作O2X2轴，以H2面更换H面，进行由V1/H V1/H2的第二次变换，求得在H2面上的投影a2(a1a202X2;a2ax2=aax1)。图3.42 点的两次变换（3）四个基本的换面问题直线在换面法中的变换作图实质上就是直线上两端点的变换作图，平面的变换作图常常

29、是通过平面上的三个点或一点和一直线的变换来实现的。l 一般位置直线变换成投影面平行线很明显一般位置直线经过一次变换能使其成为新投影面的平行线。只要选择一个既与已知直线平行，又与原来一个投影面垂直的新的投影面就可实现这个变换。如过空间的一点做一条线与已经直线平行，同时再过这一点作某投影面的垂直线，那么这两条线组成的平面就符合换面的条件。如图3.43就是选择一个既与直线AB平行，又垂直于H面的新投影面V，来更换V面，从而建立新的V1/H投影面体系，使直线AB成为V1面的平行线，在V1面上的投影为a1b1。其具体作图步骤如图。 作投影轴O1X1，O1X1必须平行于直线AB的水平投影ab，离ab的距离

30、可任意选择，与解题无关； 将直线的两端点A、B进行变换，得投影a1、b1； 连接a1b1，a1b1即为直线AB在V1面上的新投影。图3.43 一般位置直线变换成投影面平行线l 一般位置直线变换成投影面垂直线凭直观的想象与感觉也可以发现，一般位置直线变换为垂直线只经一次变换是无法实现的。因此，要进行两次变换，首先将一般位置直线变换成投影面的平行线，然后再将投影面平行线变换成投影面垂直线。如图3.44所示，第一次变换以V1面更换V面，使直线AB成为V1面的平行线;第二次变换以H2面更换H面，使直线成为H2面的垂直线。其具体作图步骤： 作O1x1平行于ab，得投影a1b； 作O2X2垂直于a1b1，求得投影a2b2，a2b2必定积聚一点。 图3.44 一般位置直线变换成投影面垂直线例3-15求点C到直线AB的距离。分析：直线AB为一般位置直线，如果采用前面的作图方法是很繁琐的（请大家思考有前面方法解题的思路）。现在采用换面法来求解。