对数函数与指数函数的导数

1、对数函数 与指数函数 的导数,一、复习与引入,1. 函数的导数的定义与几何意义,2.常见函数的导数公式,3.导数的四则运算法则,4.复合函数的导数公式,5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数 函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容,有了指数函数、对数函数的导数,也就解决了初等函数的可导性.结合前一章节的知识,我们可知,初等函数在其定义域内都是连续而且可导,二、新课指、对函数的导数,1.对数函数的导数,下面给出公式的证明,中间用到重要极限,证,证:利用对数的换底公式即得,2.指数函数的导数,由于以上两个公式的证明,需要用到反函数的求

2、导法则,这已经超出了目前我们的学习范围,因此在这里我们不加以证明,直接拿来使用,三、例题选讲,例1:求下列函数的导数: (1)y=ln(2x2+3x+1) (2)y=lg (3)y=e2xcos3x (4)y=a5x,解:(1,2)法1,2)法2,3,4,例2:求下列函数的导数,解,解:设y=au,u=cosv,v=1/x,则,解,解:函数的定义域为,例3:已知f(x)为可导函数,试求下列函数的导数: (1)y=f(lnx); (2)y=f( ); (3)y=f(ex),解:(1,2,3,解此类题应注意: (1)分清是由哪些函数复合而成的. (2)用逐步的方法来进行求导,练习1:求下列函数的导

3、数,答案,例4:设一质点的运动规律为 为 常数,试求t=1/2时质点运动的速度v0,解,故当t=1/2时,质点运动速度v0为,例5:求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程,解:设该切线与曲线相切的切点为(x0,x0lnx0,故曲线在点(x0,x0lnx0)处的切线斜率为lnx0+1,由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切点为(1,0,所以所求切线方程为y-0=x-1,即x-y-1=0,答案:x+ey-2e=0,(1+e)x-ey-e2=0,练习2:分别求曲线y=logxe; 在点(e,1)处 的切线方程,延伸:设点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的 最小距

4、离,答案,四、小结,对数函数、指数函数的导数是常用的导数公式中较 难的两类函数的导数,要熟记公式,会用公式,用活公式,2)解决指、对数函数的导数问题,应充分重视指数、对 数的运算性质的准确使用,以保证变换过程的等价性,3)在求指、对数函数的导数过程中,要遵循先化简,再 求导的原则;要结合导数的四则运算法则和复合函数 的求导法则进行求导,例6:求下列函数的导数:(1)y=xx(x0);(2)y=f(x)g(x,解:(1)两边取对数,得lny=xlnx,由于y是x的函数,由复合函数的求导法则对上式两边对x求导,可得,2)两边取对数,得lny=g(x)lnf(x),两边对x求导,可得,说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny, y=f(x),则,2)本题用的求导方法习惯上称为对数求导法,即先两 边取对数,再对x求导.一般适用于下列两类函数,形如y=(x-a1)(x-a2)(x-an)的函数,取对数后,可 将积转化为和的形式,或 ,取对 数后,可转化为代数和的形式,无理函数或形如y=f(x)g(x)这类幂指函数,3)对数求导法的优点:一是可使问题简单化(积、商 变和、差,幂、根变积式),二是可使较复杂函数求 导变为可能(无求导公式变为有求导公式,例如我们利用上面例题中的(2)可知 中的n的范围可以扩大到全体实数,又如下面一题我们就有两种不同的解法,方