容斥原理之数论问题.教师版

1、7-7-4容斥原理之数论问题目1雌 教学目标1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成： AUB=A+BAp|B（其中符号“”读作并”，相当于中文 和”或者 或”的意思；符号 “ 读作 交”，相当于中文 且”的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部

2、分，记为：Af B，即阴影面积图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积.先包含一一A - B重叠部分AB计算了 2次，多加了 1次;2.再排除一一A B A门B把多加了 1次的重叠部分 AB减去.包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AjB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合 A、B的元素个数，然后加起来，即先求A B（意思是把A、B的一切元素都 包含”进来，加在一起）;第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=AriB（意思是 排除”了重复计算的元素个数）.二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和

3、=A类元素的个数 B类元素个数 C类元素个数-既是A类又是B类 的元素个数-既是B类又是C类的元素个数一既是A类又是C类的元素个数 同时是A类、B类、C类的元 素个数.用符号表示为： A lB =A B- AB - Bp|C -AflC A BC .图示如下：ABCAB、BC、CA重叠了 2次，多加了 1次.A B C -A“B -bC1C -aP1CaCI B| C重叠了 3次，但是在进行 A B C -图中小圆表示 A的元素的个数，中圆表示 B的元素的个数, 大圆表示C的元素的个数.1. 先包含：重叠部分2. 再排除：重叠部分aAb -bCIc -A|C计算时都被减掉了.在解答有关包含排除

4、问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考.目tM怔 例题精讲【例1】在1100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题【难度】【解析】如图，用长方形表示1 100的全部自然数， A圆表示1100中3的倍数，B圆表示1 100中5的倍 数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数.由100 “3=33朴|1可知，1 100中3的倍数有33个；由100 “5 =20可知，1100中5的倍数有20个; 由100 - （3 5） =6川10可知，1100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个.由包含排除法，3或5的倍数有：33 - 20

5、6 47（个）.从而不是3的倍数也不是 5的倍数的数有100 47 =53（个）.【答案】53【巩固】 在自然数1100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】100亠3 =33山1 , 100“ 5 =20, 100 （3 5）= 6山10 .根据包含排除法，能被 3或5中任一个整除的 数有 33 +206 =47（个）.【答案】47【巩固】 在前100个自然数中，能被 2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被 2整除的数，B圆内是前100个自然数中

6、所有能被 3整 除的数，C为前100个自然数中既能被 2整除也能被3整除的数.前100个自然数中能被2整除的数有：100“2=：50（个）.由100-：-3鸟3|1知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个由100 （2 3） = 16川4知，前100个自然数中既能被 2整除也能被3整除的数 有16个.所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数.因为A , B都包含C，根据包含排除法得到， 能被2或3整除的数有：50 +3316=67（个）.【答案】67【例2】 在从1至1000的自然数中，既不能被 5除尽，又不能被 7除尽的数有多少个 ？【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题

7、型】解答【解析】11000之间，5的倍数有I000 =200个，7的倍数有1000 =142个，因为既是5的倍数，又是IL 5 .IL 77的倍数的数- -定是 35的倍数，所以这样的数有个.IL 35所以既不能被5除尽，又不能被 7除尽的数有1000-200-142+-28=686个.【答案】686【巩固】 求在1至100的自然数中能被 3或7整除的数的个数.【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】 记 A： 1100中3的倍数，100亠3=331，有33个；B: 1 100 中 7 的倍数，100-：-7 =141 川2，有 14 个；AB : 1100中3和7的公倍数，

8、即21的倍数，10021 =4|川H16，有4个.依据公式，1100中3的倍数或7的倍数共有33+144=43个，则能被3或7整除的数的个数为 43 个【答案】43【例3】以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】解答【解析】 以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3X5X7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的 倍数有 5个，35的倍数有 3个，105的倍数有 1个，所以 105以内与105互质的数有 105-35-21-15

9、+7+5+3-仁48个，显然如果n与105互质，那么（105-n）与n互质，所以以105为分母 的48个最简真分数可两个两个凑成1,所以它们的和为 24.【答案】48个，和24【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】解答【解析】385=5X7X11,不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的 数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的 数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-仁240.对于某个分数a/385如

10、果是最简真分数的话，那么（385-a） /385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1,所以这些真分数的和为120.【答案】240个，120个【例4】在1至2008这2008个自然数中，恰好是 3、5、7中两个数的倍数的数共有 个.【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星 【题型】填空【关键词】西城实验【解析】1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有=133个，3和7的倍数有=95个，5IL 15 .IL 21和7的倍数有,3、5和7的倍数有所以，恰好是 3、5、7中两个数IL 35 .105的倍数的共有 133 19 +95 19+57 19 =228 个.【答案】228个

11、【例5】 求1到100内有个数不能被2、3、7中的任何一个整除。【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第12题【解析】 被2整除的有50个，被3整除的有33个，被7整除的有14个同时被2和3整除的有16个，同时被2和7整除的有7个，同时被3和7整除的有4个同时被2和3和7整除的有2个，10 50 33 14 -16 -7 -4 2 =100 -72 =28个【答案】28个。【例6】 在从1到1998的自然数中，能被 2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？【解析】a示取商的整数部分.例如,【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】解答-=3 要注意的

12、是，符号 与、-、“符号一样，也是 H2一种运算，叫取整运算.本题中，先求出能被 2整除的数有多少个，再分别求出能被2和3、能被2和7分别整除的数的个数，那么用能被 2整除的数的个数减去能被 2和3整除的数的个数，再减去能被2和7整除的数的个数，所得的差是不是所求的得数呢？仔细想想你会发现不是的，因为它多减了能同时被 2、3、7整除的数.故能被2整除的有：199:=999（个）. 能被2和3同时整除的有：1998 （2 3）=333（个）.能被2和7同时整除的有：1998 （2 7） =142 .能被2、3、7同时整除的有:1998 + （2x3x7） =47 （个）.所以，能被2整除，但不能

13、被 3或7整除的数有999_333 _142 *7=571（个）. 【答案】571个【例7】50名同学面向老师站成一行老师先让大家从左至右按1 , 2, 3,，49, 50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问：现在面向老师的同学还有多少名？【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第13题【解析】在转过两次后，面向老师的同学分成两类：第一类是标号既不是 4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数.150之间，4的倍数有50 =12,6的倍数有50 =8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定 46是12的

14、倍数，所以有于是，第一类同学有 50-12-8+4=34人，第二类同学有 4人,*2所以现在共有34+4=38名同学面向老师.【答案】38名【例8】 体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，60，然后，老师让所报的数是 4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有 人。【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第15题，4分【解析】 可知其中4的倍数有15个，5的倍数有12个，6的倍数有10个，同时是4和5的倍数的有3 个, 同时是5和6的倍数

15、的有 2个，同时是4和6的倍数的有5个，同时是4、5、6的倍数的数有1个，现在背向老师的有15+12+10-3-2-5+1=28个，面向老师的学生有 60-28=32人。转过两次的有：3 1+2- 1+5- 1 = 7。最后面向老师的学生数 =32+7 = 39个。【答案】39个【例9】 有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1, 2, 3,，2000,然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，二次拉完后，亮着的灯有多少盏？【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】解答【解析】 三次拉完后，亮着的灯包括不是

16、 2、3、5的倍数的数以及是 6、10、15的倍数但不是30的倍数的数.1 2000这2000个正整数中，2的倍数有1000个，3的倍数有666个，5的倍数有400个，6的倍数有 333个，10的倍数有 200个，15的倍数有 133个，30的倍数有 66个，亮着的灯一共有 2000-1000-666-400+2（333+200+133） -4 66=1002 盏.【答案】1002盏【巩固】2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1, 2, 3,2006。将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。拉完后这着

17、的灯数为（）盏。【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，第11题，六年级，第11题【解析】因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的这道题实际上是求1到2006中不能被2、3、5整除的数和只能同时被 2、3、5中2个数整除的数的总个数.我们可以求得被 2整除的数有2006-：-2 =1003（盏），被3整除的数有2006-3 =668川2，共668（盏），被5整除的数有2006-：-5二401川1，共401（盏）.其中，同时被2、3整除的数有2006-：-（2 3） 334川2，共334（盏）;同时被3、5整除的有2006“（3 5）

18、=13311，共133（盏）; 同时被2、5整除的数有2006-：-（2 5）=200|6，共200（盏）；同时被2、3、5整除的数有2006（2 3 5）=66川26，共66（盏），所以，只能同时被 2、3、5中2 个数整除的数的个数为334 133 203 66 =469（盏），不能被2、3、5整除的数的个数为2001003 - 668 40=334 133 200 66 =35（盏）.所以，最后亮着的灯一共为 4 6 95 351（盏）.【答案】1004盏【巩固】写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么

19、亮着的灯还有多少盏？【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】解答【解析】因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的.没拉的灯有 100（f00冷詈L30；=100-（33 +20 -6） =53（盏），拉两次的有56（盏），最后亮着的 灯一共为53 - 6 =59（盏）【答案】59盏【例10】200名同学编为1至200号面向南站成一排第 1次全体同学向右转（转后所有的同学面朝西）;第2次编号为2的倍数的同学向右转；第 3次编号为3的倍数的同学向右转；;第200次编号 为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有 名.【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】

20、填空【关键词】迎春杯，五年级，初赛， 10题 【解析】只有约数个数被4除余3的数，最后面向东.约数个数为3的数有22、32、52、72、112、132，共8个数.约数个数为7的数有26 , 1个，约数个数为15的数有32 24 1 44 , 1个一共有8个满足条件的编号.【答案】8名【例11】下编号是1、2、3、36号的36名学生按编号顺序面向里站成一圈.第一次，编号是1的同学向后转，第二次，编号是 2、3的同学向后转，第三次，编号是 4、5、6的同学向后转，；第36 次，全体同学向后转.这时，面向里的同学还有 名.【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，复

21、试， 10题【解析】整个过程中一共转了 1+2+3+4+36=666人次，每转过 72人次所有学生的朝向就会和原来一样，那 么666- 72=918于是应该有18名同学面朝里，18名同学面朝外。【答案】18名【例12】在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券.按奖券标签号发放奖品的规则如下:（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖 1支铅笔.那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支？【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】解答【解析】1100, 2的倍数有 100

22、=50, 3的倍数有 100 =33 个，因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一IL 2 .IL3定是6的倍数，所以标签为这样的数有=16个.于是，既不是 2的倍数，又不是3的倍数的16数在1100中有100-50-33+16=33 .所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有： 50 2+33 X3+33 Xl=232 支.【答案】232支【例13】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成段.【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【解析】假设木棍长60cm，则沿第一种刻

23、度线锯成的木棍每段长60-：-10=6cm ,沿第二种刻度线锯成的木棍每段长60+12=5cm，沿第三种刻度线锯成的木棍每段长60刊4 =4cm .因为，沿三种刻度线可将木棍分别锯成10、12、15段；沿第一、二种重合的刻度线可将木棍锯成60亠6,5 =2段，沿第一、三种重合的刻度线可将木棍锯成60“6,4 =5段，沿第二、三种重合的刻度线可将木棍锯成 60-：-5,4 =3段；沿三种刻度重合的刻度线可将木棍锯成6-6,5,4 =1段应该减去重复计算的沿任意两种重合的刻度线锯成的段数，应加上多减去的沿三种刻度重合的刻度线锯 成的段数.所以，沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成10 +12 +15 -2 _5 -3 +1 =28段.【答案】28段【例14】一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔 5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出 段.【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】填空【关键词】101中学【解析】要求出截出的段数，应当先